第三章 圆 综合评价卷
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如果☉O的半径为7 cm,圆心O到直线l的距离为d,且d=5 cm,那么☉O和直线l的位置关系是( A )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆O上,若∠B=60°,则∠A等于( D )
A.80° B.50° C.40° D.30°
3.在圆O中,∠AOB=100°,若点C是弧AB上一点,则∠ACB等于( D )
A.80° B.100° C.120° D.130°
4.如图所示,△ABC是☉O的内接三角形,已知∠ABC=30°,AC=6,则☉O的半径为( D )
A.1 B.3 C.3 D.6
5.如图所示,AB是☉O的直径,CD是弦,点C,D在直径AB的两侧.若
∠AOC∶∠AOD∶∠DOB=2∶7∶11,CD=4,则的长为( D )
A.2π B.4π C.π D.π
6.如图所示,四边形ABCD是圆内接四边形,∠BAD=108°,点E是BC延长线上的一点,若CF平分∠DCE,则∠DCF的大小是( B )
A.52° B.54° C.56° D.60°
7.如图所示,圆O内切于四边形ABCD,AB=10,BC=7,CD=8,则AD的长度为( D )
A.8 B.9 C.10 D.11
8.如图所示,AB是☉O的直径,☉O交BC的中点于D,DE⊥AC于E,连接AD,有下列结论:①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA=AC;④DE是☉O的切线.其中正确的有( D )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC=10,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB,tan∠CBF=,则BC的长为( B )
A.2 B.2 C. D.
10.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2.将△ABC绕着点A顺时针旋转90°到△AB1C1的位置,则边BC扫过区域(阴影部分)的面积为( B )
A.π B.π C.π D.2π
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.如图所示,为了美化校园,学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃,其圆心角∠AOB=120°,半径为6 m,则扇形的弧长是 4πm.
(结果保留π)
12.如图所示,点M,N分别是正八边形相邻两边AB,BC上的点,且AM=BN,则∠MON= 45 度.
13.如图所示,两个同心圆的半径之比为3∶5,AB是大圆的直径,大圆的弦BC与小圆相切,若AC=12,则BC= 16 .
14.如图所示,圆O的直径CD为6 cm,OA,OB都是圆O的半径,∠AOD=
2∠AOB=60°,点P在直径CD上移动,则AP+BP的最小值为 3 cm.
三、解答题(共74分)
15.(8分)如图所示,在圆O中,弦AB与弦CD相交于点E,连接BC,AB=CD.求证:CE=BE.
证明:∵AB=CD,
∴=,
∴-=-,
即=,
∴∠C=∠B,
∴CE=BE.
16.(12分)已知:如图所示,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,CD⊥AB,垂足为点D,E是AC的中点,连接OE并延长与☉O交于点F,AC=8,EF=2.
(1)求☉O的半径;
(2)求cos C的值.
解:(1)∵EF=2,∴设AO=r,则OF=r,OE=r-2.
∵E是AC的中点,∴AE=AC=4 且OF⊥AC.
在Rt△AEO中,AE2+OE2=OA2.
∴42+(r-2)2=r2,解得r=5,
∴☉O的半径为5.
(2)∵OE⊥AE,∴∠A+∠AOE=90°.
∵CD⊥AB,∴∠A+∠C=90°,
∴∠C=∠AOE,
∴cos C=cos∠AOE==.
17.(13分)如图所示,四边形ABCD内接于☉O,∠BAD=90°,BC=CD,过点C作CE,使得CD=CE,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AB=AE.
(2)若AD=DE=2,求CD的长.
(1)证明:如图所示,连接AC.
∵BC=CD,∴=.
∴∠BAC=∠EAC.
∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,BC=CE.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠CDE+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠E.
在△ABC与△AEC中,
∴△ABC≌△AEC,
∴AB=AE.
(2)解:如图所示,连接BD.
∵∠BAD=90°,∴BD是☉O的直径,
∴∠BCD=90° .
由(1)可得AB=AE.
∵AD=DE=2,∴AE=AB=4.
在 Rt△ABD 中,BD==2,
在Rt△BCD中,CD=BC=BD=.
18.(13分)如图所示,AB为☉O的直径,点C,D是☉O上的点,AD平分∠BAC,过点D作AC的垂线,垂足为E.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)延长AB交ED的延长线于点F,若☉O的半径为3,tan∠AFE=,求CE的长.
(1)证明:如图所示,连接OD.
∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠DAE.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODA=∠DAE,∴OD∥AE.
∵AC⊥DE,∴OD⊥DE.
∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.
(2)解:如图所示,连接BC,交OD于点M.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠AED=∠ODE=90°,
∴∠ECB=∠AED=∠ODE=90°,
∴四边形CEDM是矩形,
∴CE=MD,CM∥DE,
∴∠F=∠ABC.
在Rt△OBM中,OB=3,tan∠ABC=,
设OM=3x,则BM=4x,∴(3x)2+(4x)2=32,
解得x1=,x2=-(舍去),
∴OM=,∴CE=MD=OD-OM=3-=.
19.(13分)如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O交AC于点D,点E为BC的中点,连接OD,DE.
(1)求证:OD⊥DE;
(2)若∠BAC=30°,AB=12,求阴影部分的面积.
(1)证明:连接DB(图略).
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,∴∠CDB=90°.
∵点E是BC的中点,
∴DE=CE=BC,∴∠EDC=∠C.
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO.
∵∠ABC=90°,∴∠A+∠C=90°,
∴∠ADO+∠EDC=90°,
∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE.
(2)解:∵AB=12,∠BAC=30°,
∴∠BOD=60°,OA=AB=6,
∴∠AOD=120°,
∴阴影部分的面积=-×6×3=12π-9.
20.(15分)如图①所示,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点C作CD∥AB交☉O于点D,连接AD,延长CD至点F,使BF=BC.
① ②
(1)求证:BF∥AD;
(2)如图②所示,当CD为☉O的直径,且☉O的半径为1时,求弧BD,线段BF,线段DF所围成图形的面积.
(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵CD∥AB,∴∠ABC=∠DCB.
∴∠ACB=∠DCB.
∵∠ABC=∠ADC,∴∠ADC=∠DCB.
∵BF=BC,∴∠F=∠BCD.
∴∠F=∠ADC,
∴BF∥AD.
(2)解:如图所示,连接OA,OB.
∵CD为☉O的直径,且☉O的半径为1,
∴CD=2,OD=OB=OA=OC=1.
由(1)知∠ACB=∠BCD=∠ADC,
∴==,∴∠AOC=∠AOB=∠BOD=60°,
∴△AOC和△AOB是等边三角形,∴∠ACD=60°,∴∠ADC=30°.
∴∠F=30°,
∴∠FBO=90°,∴BF=,
∴所围成图形的面积为S△OBF-S扇形OBD=OB·BF-=-.第三章 圆 综合评价卷
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如果☉O的半径为7 cm,圆心O到直线l的距离为d,且d=5 cm,那么☉O和直线l的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆O上,若∠B=60°,则∠A等于( )
A.80° B.50° C.40° D.30°
3.在圆O中,∠AOB=100°,若点C是弧AB上一点,则∠ACB等于( )
A.80° B.100° C.120° D.130°
4.如图所示,△ABC是☉O的内接三角形,已知∠ABC=30°,AC=6,则☉O的半径为( )
A.1 B.3 C.3 D.6
5.如图所示,AB是☉O的直径,CD是弦,点C,D在直径AB的两侧.若
∠AOC∶∠AOD∶∠DOB=2∶7∶11,CD=4,则的长为( )
A.2π B.4π C.π D.π
6.如图所示,四边形ABCD是圆内接四边形,∠BAD=108°,点E是BC延长线上的一点,若CF平分∠DCE,则∠DCF的大小是( )
A.52° B.54° C.56° D.60°
7.如图所示,圆O内切于四边形ABCD,AB=10,BC=7,CD=8,则AD的长度为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
8.如图所示,AB是☉O的直径,☉O交BC的中点于D,DE⊥AC于E,连接AD,有下列结论:①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA=AC;④DE是☉O的切线.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC=10,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB,tan∠CBF=,则BC的长为( )
A.2 B.2 C. D.
10.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2.将△ABC绕着点A顺时针旋转90°到△AB1C1的位置,则边BC扫过区域(阴影部分)的面积为( )
A.π B.π C.π D.2π
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.如图所示,为了美化校园,学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃,其圆心角∠AOB=120°,半径为6 m,则扇形的弧长是 m.
(结果保留π)
12.如图所示,点M,N分别是正八边形相邻两边AB,BC上的点,且AM=BN,则∠MON= 度.
13.如图所示,两个同心圆的半径之比为3∶5,AB是大圆的直径,大圆的弦BC与小圆相切,若AC=12,则BC= .
14.如图所示,圆O的直径CD为6 cm,OA,OB都是圆O的半径,∠AOD=
2∠AOB=60°,点P在直径CD上移动,则AP+BP的最小值为 cm.
三、解答题(共74分)
15.(8分)如图所示,在圆O中,弦AB与弦CD相交于点E,连接BC,AB=CD.求证:CE=BE.
16.(12分)已知:如图所示,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,CD⊥AB,垂足为点D,E是AC的中点,连接OE并延长与☉O交于点F,AC=8,EF=2.
(1)求☉O的半径;
(2)求cos C的值.
17.(13分)如图所示,四边形ABCD内接于☉O,∠BAD=90°,BC=CD,过点C作CE,使得CD=CE,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AB=AE.
(2)若AD=DE=2,求CD的长.
18.(13分)如图所示,AB为☉O的直径,点C,D是☉O上的点,AD平分∠BAC,过点D作AC的垂线,垂足为E.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)延长AB交ED的延长线于点F,若☉O的半径为3,tan∠AFE=,求CE的长.
19.(13分)如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O交AC于点D,点E为BC的中点,连接OD,DE.
(1)求证:OD⊥DE;
(2)若∠BAC=30°,AB=12,求阴影部分的面积.
20.(15分)如图①所示,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点C作CD∥AB交☉O于点D,连接AD,延长CD至点F,使BF=BC.
① ②
(1)求证:BF∥AD;
(2)如图②所示,当CD为☉O的直径,且☉O的半径为1时,求弧BD,线段BF,线段DF所围成图形的面积.
