第一章 直角三角形的边角关系 综合评价卷
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列三角函数中,值为的是( )
A.cos 45° B.tan 30° C.sin 5° D.cos 60°
2.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,那么下列等式正确的是( )
A.sin A= B.cos A= C.tan A= D.tan A=
3.如图所示的网格是正方形网格,△ABC和△CDE的顶点都是网格线的交点,则∠ACD的正弦值是( )
A.1 B. C. D.
4.如果某人沿坡度为3∶4的斜坡前进10 m,那么他所在的位置比原来的位置升高了( )
A.6 m B.8 m C.10 m D.12 m
5.如图所示,在直角坐标平面内,射线OA与x轴正半轴的夹角为α,如果OA=,tan α=3,那么点A的坐标是( )
A.(1,3) B.(3,1) C.(1,) D.(3,)
6.如图所示,小明想测量操场上篮筐的高AB,当他站在点Q处时眼睛P与地面的距离PQ为1.7米,与AB的距离PC为2.5米,若仰角∠APC为θ,则篮筐的高AB为( )
A.(1.7+2.5tan θ)米 B.米
C.(1.7+2.5sin θ)米 D.米
7.在△ABC中,AB=2AC,tan B=,BC边上的高为2,则△ABC的面积为( )
A.5 B.7 C.5或7 D.12
8.如图所示是简化后的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图,AB段为助滑道,BC段为着陆坡,着陆坡的坡角为α,A点与B点的高度差为120米,A点与C点的高度差为h米,则着陆坡BC的长度为( )
A.(h-120)sin α米 B.(120-h)cos α米 C.米 D.米
9.如图所示,要测量河内小岛B到河岸L的距离,在A点测得∠BAD=
30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=a m,则小岛B到河岸L的距离为( )
A. m B.a m C.a m D.a m
10.将一副学生常用的三角板摆放在一起,组成一个四边形ABCD,如图所示,连接AC,则tan∠ACD的值为( )
A. B.+1 C.-1 D.2
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.在△ABC中,若+(-cos B)2=0,则∠C的度数是 .
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则cos B= .
13.一个正方体木箱沿斜面下滑,木箱下滑至如图所示的位置时,AB=
3 m,若BE=2 m,tan∠BAC=0.5,则木箱端点E与地面AC的距离为
m.
14.已知点P是△ABC内一点,且它到三角形三个顶点的距离之和最小,则点P叫做△ABC的费马点.已经证明:在三个内角均小于120°的
△ABC中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,点P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为 的等腰直角三角形DEF的费马点,则PD+PE+PF=
.
三、解答题(共74分)
15.(10分)计算:
(1)sin245°-cos 60°+tan 60°cos230°;
(2)-2sin 45° +2cos 60° +|1-|+()-1.
16.(12分)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,tan A=,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=,求AB的长.
17.(12分)已知△ABC为钝角三角形,其中∠A>90°,有下列条件:
①AB=10;②AC=6;③tan∠B=;④tan∠C=.
(1)你认为从中至少选择 个条件,可以求出BC边的长;
(2)你选择的条件是 (直接填写序号),并写出求BC的解答过程.
18.(13分)如图所示,已知在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点D是AC的中点,DE⊥BC于点E,ED与BA的延长线交于点F.
(1)求∠ABC的正切值;
(2)求的值.
19.(13分)如图所示是一种太阳能路灯的示意图,它由灯杆和灯管支架两部分组成.小明想知道灯管D距地面AF的高度,他在地面F处测得灯管D的仰角为45°,在地面E处测得灯管D的仰角为53°,并测得EF=2米,已知点A,E,F在同一条直线上,请你帮小明算出灯管D距地面AF的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:cos 53°≈0.60,sin 53°≈0.80,tan 53°≈1.33)
20.(14分)如图所示,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B,游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上.
(1)∠ACB= ,∠ABC= ;
(2)过点C作CD⊥AB于点D,求点C到直线AB的距离;
(3)A处与灯塔B相距多少海里 (结果精确到1海里,参考数据:≈1.41,≈1.73)第一章 直角三角形的边角关系 综合评价卷
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列三角函数中,值为的是( D )
A.cos 45° B.tan 30° C.sin 5° D.cos 60°
2.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,那么下列等式正确的是( A )
A.sin A= B.cos A= C.tan A= D.tan A=
3.如图所示的网格是正方形网格,△ABC和△CDE的顶点都是网格线的交点,则∠ACD的正弦值是( C )
A.1 B. C. D.
4.如果某人沿坡度为3∶4的斜坡前进10 m,那么他所在的位置比原来的位置升高了( A )
A.6 m B.8 m C.10 m D.12 m
5.如图所示,在直角坐标平面内,射线OA与x轴正半轴的夹角为α,如果OA=,tan α=3,那么点A的坐标是( A )
A.(1,3) B.(3,1) C.(1,) D.(3,)
6.如图所示,小明想测量操场上篮筐的高AB,当他站在点Q处时眼睛P与地面的距离PQ为1.7米,与AB的距离PC为2.5米,若仰角∠APC为θ,则篮筐的高AB为( A )
A.(1.7+2.5tan θ)米 B.米
C.(1.7+2.5sin θ)米 D.米
7.在△ABC中,AB=2AC,tan B=,BC边上的高为2,则△ABC的面积为( C )
A.5 B.7 C.5或7 D.12
8.如图所示是简化后的冬奥会跳台滑雪的雪道示意图,AB段为助滑道,BC段为着陆坡,着陆坡的坡角为α,A点与B点的高度差为120米,A点与C点的高度差为h米,则着陆坡BC的长度为( D )
A.(h-120)sin α米 B.(120-h)cos α米 C.米 D.米
9.如图所示,要测量河内小岛B到河岸L的距离,在A点测得∠BAD=
30°,在C点测得∠BCD=60°,又测得AC=a m,则小岛B到河岸L的距离为( D )
A. m B.a m C.a m D.a m
10.将一副学生常用的三角板摆放在一起,组成一个四边形ABCD,如图所示,连接AC,则tan∠ACD的值为( B )
A. B.+1 C.-1 D.2
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.在△ABC中,若+(-cos B)2=0,则∠C的度数是 105° .
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则cos B= .
13.一个正方体木箱沿斜面下滑,木箱下滑至如图所示的位置时,AB=
3 m,若BE=2 m,tan∠BAC=0.5,则木箱端点E与地面AC的距离为
m.
14.已知点P是△ABC内一点,且它到三角形三个顶点的距离之和最小,则点P叫做△ABC的费马点.已经证明:在三个内角均小于120°的
△ABC中,当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,点P就是△ABC的费马点.若点P是腰长为 的等腰直角三角形DEF的费马点,则PD+PE+PF=
+1 .
三、解答题(共74分)
15.(10分)计算:
(1)sin245°-cos 60°+tan 60°cos230°;
(2)-2sin 45° +2cos 60° +|1-|+()-1.
解:(1)原式=-+×=.
(2)原式=-2×+2×+-1+(2-1)-1
=2-+1+-1+2
=2+2.
16.(12分)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,tan A=,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=,求AB的长.
解:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,tan A=,
∴∠A=30°,
∴∠ABC=60°.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠CBD=∠ABD=30°.
又∵CD=,∴在Rt△CBD中,BC==3.
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,
∴AB==6.
因此,AB的长为6.
17.(12分)已知△ABC为钝角三角形,其中∠A>90°,有下列条件:
①AB=10;②AC=6;③tan∠B=;④tan∠C=.
(1)你认为从中至少选择 个条件,可以求出BC边的长;
(2)你选择的条件是 (直接填写序号),并写出求BC的解答过程.
解:(1)3
(2)(答案不唯一)①②④
解答过程如下:
过点A作AD⊥BC于点D,如图所示.
设AD=x.
∵tan∠C=,∴CD=2x.
∵AC=6,
∴根据勾股定理,得x2+(2x)2=(6)2,
解得x=6或x=-6(不合题意,舍去),
∴AD=6,CD=2x=12.
∵AB=10,
∴根据勾股定理,得BD==8,
∴BC=CD+BD=12+8=20.
18.(13分)如图所示,已知在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点D是AC的中点,DE⊥BC于点E,ED与BA的延长线交于点F.
(1)求∠ABC的正切值;
(2)求的值.
解:(1)过点A作AH⊥BC于点H,如图所示.
∵AB=AC=10,BC=12,AH⊥BC,
∴BH=CH=BC=6.
在Rt△ABH中,AH===8,
∴tan∠ABC===.
(2)由(1),知tan∠ABC=,
∴tan C=,∴=.
∵点D是AC的中点,AC=10,∴CD=5,
∴DE=4,CE=3,
∴BE=BC-CE=12-3=9.
∵tan∠ABC=,∴=,
∴EF=12,
∴DF=EF-DE=12-4=8,
∴==2.
19.(13分)如图所示是一种太阳能路灯的示意图,它由灯杆和灯管支架两部分组成.小明想知道灯管D距地面AF的高度,他在地面F处测得灯管D的仰角为45°,在地面E处测得灯管D的仰角为53°,并测得EF=2米,已知点A,E,F在同一条直线上,请你帮小明算出灯管D距地面AF的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:cos 53°≈0.60,sin 53°≈0.80,tan 53°≈1.33)
解:过点D作DG⊥AF,垂足为G,如图所示.
设EG=x米.
∵EF=2米,
∴FG=EF+EG=(x+2)米.
在Rt△EGD中,∠DEG=53°,
∴DG=EG·tan 53°≈1.33x(米).
在Rt△DFG中,∠DFG=45°,
∴tan 45°==1,
∴DG=FG,
∴1.33x=x+2,
解得x≈6.06,
∴DG=FG=x+2≈8.1(米),
∴灯管D距地面AF的高度约为8.1米.
20.(14分)如图所示,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B,游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上.
(1)∠ACB= ,∠ABC= ;
(2)过点C作CD⊥AB于点D,求点C到直线AB的距离;
(3)A处与灯塔B相距多少海里 (结果精确到1海里,参考数据:≈1.41,≈1.73)
解:(1)105° 30°
(2)如图所示,由题意,得∠CAB=45°,∠ECB=15°.
∵∠ADC=90°,∠BAC=45°,
∴∠ACD=∠BAC=45°,
∴AD=DC,
∴△ACD是等腰直角三角形.
由题意,得AC=2×20=40,
∴CD=AC=40.
∴点C到直线AB的距离为40海里.
(3)由(1),知∠ACB=105°.
∵∠ACD=45°,
∴∠BCD=105°-45°=60°.
∵∠BDC=90°,
∴∠CBD=30°.
∵AD=CD=40,
∴BD=CD=40,
∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73≈109.
∴A处与灯塔B相距约109海里.
