2.3确定二次函数的表达式～2.4二次函数的应用
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知抛物线的顶点坐标是(2,-1),且该抛物线与y轴交于点(0,3),则这条抛物线的表达式是( )
A.y=x2-4x+3 B.y=x2+4x+3
C.y=x2+4x-1 D.y=x2-4x-1
2.已知二次函数y=ax2+bx+2(a≠0,b是实数),函数y和自变量x的部分对应值如表所示,则该二次函数的表达式为( )
x … -1 0 1 2 3 …
y … 5 m n 2 p …
A.y=2x2-x+2
B.y=x2-2x+2
C.y=-2x2-5x+2
D.y=-x2+2x+2
3.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,则小球达到的离地面的最大高度为( )
A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m
4.某商场销售一种小商品,已知购进时单价是20元.经调查发现:当销售单价是30元时,月销售量为240件,而销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但商品的售价不能高于40元.当月销售利润最大时,销售单价为( )
A.35元 B.36元
C.37元 D.36元或37元
5.小英在用“描点法”探究二次函数性质时,画出了如下所示的表格,不幸的是,部分数据已经污损,小英只记得污损的三个数M,R,A中,有两个数相同.根据以上信息,知小英探究的二次函数表达式可能是( )
x … -1 0 1 2 3 …
y … M R -4 -3 A …
A.y=x2-3x-2
B.y=x2+x-
C.y=2x2-5x-1
D.y=x2-x-3
6.杭州之门位于杭州奥体博览城,总高约310米,是中国第一高H形双塔楼.双塔底部为跨度约60米,高度约22米的巨型抛物线(y=ax2+bx+
c)结构(如图所示),则a的值最接近于( )
A.- B. C.- D.
7.如图所示,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
8.如图所示,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm,点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,其中一个动点到达终点,另一个动点也停止运动,则△APQ的最大面积是( )
A.8 cm2 B.16 cm2
C.24 cm2 D.32 cm2
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.将y=2x2-12x+12化为y=a(x-m)2+n的形式,则m= ,n= .
10.如图所示,抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,OB=OC=3OA,则该抛物线的表达式是 .
11.为了在校运会中取得好的成绩,小丁积极训练,在某次试投中铅球所经过的路线是抛物线的一部分,如图所示.已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米,当铅球运行的水平距离为2米时,达到最大高度2米的B处,则小丁此次投掷的成绩是 米.
12.正方形A1B1C2C1,A2B2C3C2,A3B3C4C3按如图所示的方式放置,点A1,A2,A3和点C1,C2,C3,C4分别在抛物线y=x2和y轴上.若点C1(0,1),则正方形A3B3C4C3的面积是 .
三、解答题(共52分)
13.(2024商州模拟)如图所示是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门,点M为顶点,其高为9米,宽OE为18米,以点O为原点,OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系.矩形ABCD是安装的一个“光带”,且点A,D在抛物线上,点B,C在OE上.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)求所需的三根“光带”AB,AD,DC的长度之和的最大值,并写出此时OB的长.
14.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器,进价为每个40元,在销售过程中发现,这款蒸蛋器销售单价为60元时,每星期卖出100个.如果调整销售单价,那么每涨价1元,每星期少卖出2个.该网店决定提价销售,设销售单价为x元,每星期的销售量为y个.
(1)请直接写出y(个)与x(元)之间的函数关系式.
(2)当销售单价是多少元时,该网店每星期的销售利润是2 400元
(3)当销售单价是多少元时,该网店每星期的销售利润最大 最大利润是多少元
15.小兵和小伙伴一起玩扔小石头游戏,小石头的运动轨迹可看成抛物线的一部分.如图所示,以点O为原点建立平面直角坐标系.已知扔小石头的出手点A在点O正上方2米的位置,小石头在与点O的水平距离为6米时达到最大高度5米;BC为扔小石头的预期击中目标,点B在x轴上,离点O的水平距离为12米,点C在点B的正上方2米处.
(1)小兵扔的小石头能否正好击中点C 说明理由.
(2)求小石头运动轨迹所在抛物线的表达式.
(3)直接写出小石头在运动过程中与直线OC的最大竖直距离.2.3确定二次函数的表达式～2.4二次函数的应用
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知抛物线的顶点坐标是(2,-1),且该抛物线与y轴交于点(0,3),则这条抛物线的表达式是( A )
A.y=x2-4x+3 B.y=x2+4x+3
C.y=x2+4x-1 D.y=x2-4x-1
2.已知二次函数y=ax2+bx+2(a≠0,b是实数),函数y和自变量x的部分对应值如表所示,则该二次函数的表达式为( B )
x … -1 0 1 2 3 …
y … 5 m n 2 p …
A.y=2x2-x+2
B.y=x2-2x+2
C.y=-2x2-5x+2
D.y=-x2+2x+2
3.竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,则小球达到的离地面的最大高度为( C )
A.23.5 m B.22.5 m C.21.5 m D.20.5 m
4.某商场销售一种小商品,已知购进时单价是20元.经调查发现:当销售单价是30元时,月销售量为240件,而销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但商品的售价不能高于40元.当月销售利润最大时,销售单价为( C )
A.35元 B.36元
C.37元 D.36元或37元
5.小英在用“描点法”探究二次函数性质时,画出了如下所示的表格,不幸的是,部分数据已经污损,小英只记得污损的三个数M,R,A中,有两个数相同.根据以上信息,知小英探究的二次函数表达式可能是( B )
x … -1 0 1 2 3 …
y … M R -4 -3 A …
A.y=x2-3x-2
B.y=x2+x-
C.y=2x2-5x-1
D.y=x2-x-3
6.杭州之门位于杭州奥体博览城,总高约310米,是中国第一高H形双塔楼.双塔底部为跨度约60米,高度约22米的巨型抛物线(y=ax2+bx+
c)结构(如图所示),则a的值最接近于( A )
A.- B. C.- D.
7.如图所示,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中正确的是( C )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
8.如图所示,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm,点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,其中一个动点到达终点,另一个动点也停止运动,则△APQ的最大面积是( B )
A.8 cm2 B.16 cm2
C.24 cm2 D.32 cm2
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.将y=2x2-12x+12化为y=a(x-m)2+n的形式,则m= 3 ,n= -6 .
10.如图所示,抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,OB=OC=3OA,则该抛物线的表达式是 y=x2-2x-3 .
11.为了在校运会中取得好的成绩,小丁积极训练,在某次试投中铅球所经过的路线是抛物线的一部分,如图所示.已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米,当铅球运行的水平距离为2米时,达到最大高度2米的B处,则小丁此次投掷的成绩是 7 米.
12.正方形A1B1C2C1,A2B2C3C2,A3B3C4C3按如图所示的方式放置,点A1,A2,A3和点C1,C2,C3,C4分别在抛物线y=x2和y轴上.若点C1(0,1),则正方形A3B3C4C3的面积是 2+ .
三、解答题(共52分)
13.(2024商州模拟)如图所示是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门,点M为顶点,其高为9米,宽OE为18米,以点O为原点,OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系.矩形ABCD是安装的一个“光带”,且点A,D在抛物线上,点B,C在OE上.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)求所需的三根“光带”AB,AD,DC的长度之和的最大值,并写出此时OB的长.
解:(1)由题意,知顶点M(9,9),E(18,0),
可设该抛物线的函数表达式为y=a(x-9)2+9.
∵抛物线过原点O(0,0),
∴a(0-9)2+9=0,
解得a=-,
∴该抛物线的函数表达式为y=—(x-9)2+9=-x2+2x.
(2)设点A的坐标为(m,-m2+2m),则OB=m,AB=DC=-m2+2m.
根据抛物线的轴对称性,得OB=CE=m,故AD=BC=18-2m,
∴AB+AD+DC=-m2+2m+18-2m-m2+2m=-m2+2m+18=-(m-)2+.
∵-<0,∴当OB=米时,三根“光带”长度之和的值最大,为米.
14.某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器,进价为每个40元,在销售过程中发现,这款蒸蛋器销售单价为60元时,每星期卖出100个.如果调整销售单价,那么每涨价1元,每星期少卖出2个.该网店决定提价销售,设销售单价为x元,每星期的销售量为y个.
(1)请直接写出y(个)与x(元)之间的函数关系式.
(2)当销售单价是多少元时,该网店每星期的销售利润是2 400元
(3)当销售单价是多少元时,该网店每星期的销售利润最大 最大利润是多少元
解:(1)由题意,得
y=100-2(x-60)=-2x+220.
(2)设每星期的销售利润为w元,
则w=(x-40)(-2x+220)=-2x2+300x-8 800.
令w=2 400,得
-2x2+300x-8 800=2 400,
解得x=70或x=80.
答:当销售单价为70元或80元时,每星期的销售利润是2 400元.
(3)w=-2x2+300x-8 800=-2(x-75)2+2 450.
∵-2<0,
∴当x=75时,w有最大值,最大值为2 450.
答:当销售单价是75元时,该网店每星期的销售利润最大,最大利润为2 450元.
15.小兵和小伙伴一起玩扔小石头游戏,小石头的运动轨迹可看成抛物线的一部分.如图所示,以点O为原点建立平面直角坐标系.已知扔小石头的出手点A在点O正上方2米的位置,小石头在与点O的水平距离为6米时达到最大高度5米;BC为扔小石头的预期击中目标,点B在x轴上,离点O的水平距离为12米,点C在点B的正上方2米处.
(1)小兵扔的小石头能否正好击中点C 说明理由.
(2)求小石头运动轨迹所在抛物线的表达式.
(3)直接写出小石头在运动过程中与直线OC的最大竖直距离.
解:(1)小兵扔的小石头能正好击中点C.
理由如下:
根据题意,可得抛物线的对称轴为直线x=6,A(0,2),C(12,2),
∴点A和点C关于直线x=6对称,
∴点C在抛物线上,
∴小兵扔的小石头能正好击中点C.
(2)根据题意,可得抛物线的顶点坐标为(6,5),
∴设抛物线的表达式为y=a(x-6)2+5.
又∵抛物线经过点A(0,2),
∴把A(0,2)代入表达式,可得2=36a+5,
解得a=-,
∴抛物线的表达式为
y=-(x-6)2+5=-x2+x+2.
又∵自变量的取值范围为0≤x≤12,
∴小石头运动轨迹所在抛物线的表达式为y=-x2+x+2(0≤x≤12).
(3)小石头在运动过程中与直线OC的最大竖直距离为米.
