3.1圆～3.4 圆周角和圆心角的关系
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知☉O的半径是4 cm,则☉O中的弦最长是( )
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.10 cm
2.下列说法正确的是( )
A.直径是弦,弦是直径
B.长度相等的弧是等弧
C.相等的圆周角所对的弧相等
D.等弧所对的圆周角相等
3.(2024钦州一模)如图所示是木马玩具底座水平放置的示意图,点O是所在圆的圆心,点A,B的离地高度均为15 cm,水平距离AB=90 cm,则OA的长为( )
A.60 cm B.65 cm
C.70 cm D.75 cm
4.在公园的O处附近有E,F,G,H四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以点O为圆心、OA为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E,F,G,H四棵树中需要被移除的是( )
A.E,F,G B.F,G,H
C.G,H,E D.H,E,F
5.如图所示,AB是☉O的直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为点E,连接OD,
CB,AC,∠DOB=60°,EB=2,则CD的长为( )
A. B.2
C.3 D.4
6.如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AO,OC,∠OCD=
40°,AO∥CD,则∠ADC的度数为( )
A.110° B.105° C.100° D.96°
7.(2024 利川模拟)以O为中心点的量角器与直角三角板按如图所示方式摆放,点D为斜边AB上一点,作射线CD交于点E,如果点E所对应的读数为50°,且∠BAC=45°,那么∠BDE的大小为( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
8.(2024 洪山模拟)如图所示,AB为☉O的直径,BC是弦,将绕A点顺时针旋转得到,点D恰好落在☉O上,AB交于E点,连接CE.若OE=EB,AB=4,则△BCE的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.(2024南充)如图所示,AB是☉O的直径,位于AB两侧的点C,D均在☉O上,∠BOC=30°,则∠ADC= 度.
10.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,C为弧BD的中点,若∠DAB=40°,则∠ADC= .
11.(2024 常熟模拟)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=45°,AC的中点为O,以O为圆心,AC长为半径作☉O,交AB于点D,连接CD,若AD=1,则 tan∠BCD的值为 .
12.排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=5,水面宽AB=6,某天下雨后,水面宽度变为8,则此时排水管的水面上升了 .
三、解答题(共52分)
13.(2024贺州一模)如图所示,A,P,B,C在圆上,∠APC=∠CPB=60°,连接AB,BC,AC.
(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(2)若∠PAC=90°,AB=2,求圆的半径.
14.如图所示,某公路上有一隧道,顶部是圆弧形拱顶,圆心为O,隧道的水平宽AB为24,AB离地面的高度AE=10,拱顶最高处C离地面的高度CD为18,在拱顶的M,N处安装照明灯,且M,N离地面的高度相等都等于17,求MN的长.
15.如图所示,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=8 cm,点P从点A向点D运动,运动的速度为1 cm/s,同时点Q从点C向点B运动,运动的速度为2 cm/s,运动时间为t s,若P,Q两点有一点到达终点,则另一点随之停止.
(1)若点Q正好在以PD为直径的圆上,试求出所有满足条件的t的值;
(2)若以点P为圆心,PA为半径画☉P,试判断点Q与☉P的位置关系,并说明理由.
备用图
16.(2024安徽)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长.3.1圆～3.4 圆周角和圆心角的关系
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知☉O的半径是4 cm,则☉O中的弦最长是( C )
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.10 cm
2.下列说法正确的是( D )
A.直径是弦,弦是直径
B.长度相等的弧是等弧
C.相等的圆周角所对的弧相等
D.等弧所对的圆周角相等
3.(2024钦州一模)如图所示是木马玩具底座水平放置的示意图,点O是所在圆的圆心,点A,B的离地高度均为15 cm,水平距离AB=90 cm,则OA的长为( D )
A.60 cm B.65 cm
C.70 cm D.75 cm
4.在公园的O处附近有E,F,G,H四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以点O为圆心、OA为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E,F,G,H四棵树中需要被移除的是( A )
A.E,F,G B.F,G,H
C.G,H,E D.H,E,F
5.如图所示,AB是☉O的直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为点E,连接OD,
CB,AC,∠DOB=60°,EB=2,则CD的长为( D )
A. B.2
C.3 D.4
6.如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,连接AO,OC,∠OCD=
40°,AO∥CD,则∠ADC的度数为( A )
A.110° B.105° C.100° D.96°
7.(2024 利川模拟)以O为中心点的量角器与直角三角板按如图所示方式摆放,点D为斜边AB上一点,作射线CD交于点E,如果点E所对应的读数为50°,且∠BAC=45°,那么∠BDE的大小为( B )
A.100° B.110° C.120° D.130°
8.(2024 洪山模拟)如图所示,AB为☉O的直径,BC是弦,将绕A点顺时针旋转得到,点D恰好落在☉O上,AB交于E点,连接CE.若OE=EB,AB=4,则△BCE的面积是( D )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.(2024南充)如图所示,AB是☉O的直径,位于AB两侧的点C,D均在☉O上,∠BOC=30°,则∠ADC= 75 度.
10.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,C为弧BD的中点,若∠DAB=40°,则∠ADC= 110° .
11.(2024 常熟模拟)如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=45°,AC的中点为O,以O为圆心,AC长为半径作☉O,交AB于点D,连接CD,若AD=1,则 tan∠BCD的值为 -1 .
12.排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OA=5,水面宽AB=6,某天下雨后,水面宽度变为8,则此时排水管的水面上升了 1或7 .
三、解答题(共52分)
13.(2024贺州一模)如图所示,A,P,B,C在圆上,∠APC=∠CPB=60°,连接AB,BC,AC.
(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(2)若∠PAC=90°,AB=2,求圆的半径.
解:(1)△ABC是等边三角形.
证明:∵∠APC=60°,=,
∴∠ABC=∠APC=60°.
同理,∠BAC=∠CPB=60°.
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形.
(2)∵AB=2,∴AC=AB=2.
∵∠PAC=90°,
∴线段PC为圆的直径.
在 Rt△PAC 中,∠APC=60°,AC=2,
∴PC=AC÷sin∠APC=2÷=4,
∴圆的半径是2.
14.如图所示,某公路上有一隧道,顶部是圆弧形拱顶,圆心为O,隧道的水平宽AB为24,AB离地面的高度AE=10,拱顶最高处C离地面的高度CD为18,在拱顶的M,N处安装照明灯,且M,N离地面的高度相等都等于17,求MN的长.
解:如图所示,连接OM,OA,设CD与AB交于G,与MN交于H.
∵CD=18,AE=10,AB=24,HD=17,
∴CG=8,AG=12,CH=1.
设圆拱的半径为r.
在Rt△AOG中,∵OA2=OG2+AG2,
∴r2=(r-8)2+122,
解得r=13,
∴OC=13,
∴OH=13-1=12.
在Rt△MOH中,∵OM2=OH2+MH2,
∴132=122+MH2,
解得MH2=25,
∴MH=5,
∴MN=10.
15.如图所示,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=8 cm,点P从点A向点D运动,运动的速度为1 cm/s,同时点Q从点C向点B运动,运动的速度为2 cm/s,运动时间为t s,若P,Q两点有一点到达终点,则另一点随之停止.
(1)若点Q正好在以PD为直径的圆上,试求出所有满足条件的t的值;
(2)若以点P为圆心,PA为半径画☉P,试判断点Q与☉P的位置关系,并说明理由.
备用图
解:(1)如图所示,连接PQ,DQ,过点Q作QE⊥AD于点E.
若点Q正好在以PD为直径的圆上,
则∠PQD=90°.
∵QE⊥PD,∴∠QED=∠QEP=90°.
∵∠PQE+∠EQD=90°,
∠EQD+∠EDQ=90°,
∴∠PQE=∠EDQ,
∴△PEQ∽△QED,∴=.
∵PA=t cm,DE=CQ=2t cm,QE=AB=3 cm,
∴PE=(8-3t)cm,
∴32=(8-3t)·2t,解得t=.
∴满足条件的t的值为.
(2)点Q在☉P外.理由如下:
∵AP2=t2,PQ2=32+(8-3t)2,
∴PQ2-AP2=32+(8-3t)2-t2=8(t-3)2+1.
∵8(t-3)2≥0,∴PQ2-AP2>0,
∴PQ>AP,∴点Q在☉P外.
16.(2024安徽)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长.
(1)证明:∵FA=FE,∴∠FAE=∠AEF.
又∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角,
∴∠FAE=∠BCE.
∵∠AEF=∠CEB,
∴∠CEB=∠BCE.
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°,
∴∠CDE=90°,即CD⊥AB.
(2)解:由(1),知∠CEB=∠BCE,
∴BE=BC.
∵FA=FE,FM⊥AB,
∴MA=ME=OM+OE=2,
∴AE=4,
∴圆的半径OA=OB=AE-OE=3,
∴BC=BE=OB-OE=2.
在△ABC中,AB=2OA=6,BC=2,
∴AC===4.
即AC的长为4.
