3.5 确定圆的条件～3.7切线长定理
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列命题中是真命题的是( )
A.经过两点不一定能作一个圆
B.经过三点不一定能作一个圆
C.经过四点一定不能作一个圆
D.一个三角形有无数个外接圆
2.如图所示,在4×4的网格中,点A,B,C,D,O均在格点上,则点O是( )
A.△ACD的外心
B.△ACD的内心
C.△ABC的内心
D.△ABC的外心
3.如果直角三角形的两直角边长分别为 和1,那么它的外接圆的直径是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知☉O的半径为5,点O到直线l的距离为3,则☉O上到直线l的距离为2的点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图所示,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连接OA,OB.若
∠ABC=70°,则∠A等于( )
A.15° B.20° C.30° D.70°
6.(2024 安溪模拟)如图所示,PA为圆O的切线,A为切点,OP交圆O于点B,连接AB,若∠PAB=22°,则∠AOB的度数为( )
A.22° B.40°
C.44° D.68°
7.(2024泸州)如图所示,EA,ED是☉O的切线,切点分别为A,D,点B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E=( )
A.56° B. 60° C. 68° D. 70°
8.如图所示,已知在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC的平分线交AC于点D,以点D为圆心,DA为半径作圆,与射线BD交于点E,F.有下列结论:①△ABC是直角三角形;②圆D与直线BC相切;③tan∠CDF=2.其中正确的结论有( )
A.① B.①② C.①②③ D.①③
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.已知在△ABC中,点O为△ABC的外心,且∠BOC=80°,则∠BAC的度数为 .
10.如图所示,在△ABC的外接圆☉O中,AB=2,sin∠ACB=,点E为AB的中点,则☉O的直径为 .
11.(2024凉山)如图所示,☉M的圆心为M,半径为2,P是直线y=
x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为
.
12.如图所示,☉M的半径为4,圆心M的坐标为(6,8),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点.若点A,点B关于原点O对称,则当AB取最小值时,△APB的面积为 .
三、解答题(共52分)
13.如图所示,☉O是△ABC的内切圆,过点O作DE∥BC,与AB,AC分别交于点D,E.
(1)求证:BD+CE=DE;
(2)若∠BAC=70°,求∠BOC的度数.
14.如图所示,圆O为△ABC的外接圆,连接BO,CO,并分别延长交AC,AB于点D和点E,∠A=60°,BC=2.
(1)求圆O的面积S;
(2)求证:OE+OD=2.
15.如图所示,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,BO的延长线交边AC于点D.
(1)求证:∠BAC=2∠ABD;
(2)当△BCD是等腰三角形时,求∠BCD的大小.
16.(2024 睢宁模拟)已知:如图所示,AB是☉O的直径,AC是弦,CD是☉O的切线,C为切点,AD⊥CD于点 D.
(1)求证:∠AOC=2∠ACD;
(2)若☉O的半径为3,AD=2,求 tan∠ACD的值.3.5 确定圆的条件～3.7切线长定理
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列命题中是真命题的是( B )
A.经过两点不一定能作一个圆
B.经过三点不一定能作一个圆
C.经过四点一定不能作一个圆
D.一个三角形有无数个外接圆
2.如图所示,在4×4的网格中,点A,B,C,D,O均在格点上,则点O是( A )
A.△ACD的外心
B.△ACD的内心
C.△ABC的内心
D.△ABC的外心
3.如果直角三角形的两直角边长分别为 和1,那么它的外接圆的直径是( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知☉O的半径为5,点O到直线l的距离为3,则☉O上到直线l的距离为2的点共有( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图所示,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连接OA,OB.若
∠ABC=70°,则∠A等于( B )
A.15° B.20° C.30° D.70°
6.(2024 安溪模拟)如图所示,PA为圆O的切线,A为切点,OP交圆O于点B,连接AB,若∠PAB=22°,则∠AOB的度数为( C )
A.22° B.40°
C.44° D.68°
7.(2024泸州)如图所示,EA,ED是☉O的切线,切点分别为A,D,点B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E=( C )
A.56° B. 60° C. 68° D. 70°
8.如图所示,已知在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC的平分线交AC于点D,以点D为圆心,DA为半径作圆,与射线BD交于点E,F.有下列结论:①△ABC是直角三角形;②圆D与直线BC相切;③tan∠CDF=2.其中正确的结论有( C )
A.① B.①② C.①②③ D.①③
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.已知在△ABC中,点O为△ABC的外心,且∠BOC=80°,则∠BAC的度数为 40°或140° .
10.如图所示,在△ABC的外接圆☉O中,AB=2,sin∠ACB=,点E为AB的中点,则☉O的直径为 .
11.(2024凉山)如图所示,☉M的圆心为M,半径为2,P是直线y=
x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为
2 .
12.如图所示,☉M的半径为4,圆心M的坐标为(6,8),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点.若点A,点B关于原点O对称,则当AB取最小值时,△APB的面积为 .
三、解答题(共52分)
13.如图所示,☉O是△ABC的内切圆,过点O作DE∥BC,与AB,AC分别交于点D,E.
(1)求证:BD+CE=DE;
(2)若∠BAC=70°,求∠BOC的度数.
(1)证明:∵☉O是△ABC的内切圆,
∴BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB.
∵DE∥BC,
∴∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠OCB,
∴∠DBO=∠DOB,∠ECO=∠EOC,
∴BD=DO,EO=EC,
∴BD+CE=DE.
(2)解:∵∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴在△OBC中,∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-×(180°-70°)=
125°.
14.如图所示,圆O为△ABC的外接圆,连接BO,CO,并分别延长交AC,AB于点D和点E,∠A=60°,BC=2.
(1)求圆O的面积S;
(2)求证:OE+OD=2.
(1)解:如图①所示,过点O作OF⊥BC,垂足为F.
∵∠A=60°,∴∠BOC=120°.
∵OB=OC,OF⊥BC,BC=2,
∴CF=BC=,∠OBC=∠OCB=30°,
∴OF=OC.
在Rt△OCF中,OF2+CF2=OC2,
∴(OC)2+()2=OC2,
∴OC=2,
∴圆O的面积S为4π.
① ②
(2)证明:如图②所示,延长CE交圆O于点G,连接BG.
∵∠BOC=120°,
∴∠BOG=∠DOC=180°-∠BOC=60°.
∵OG=OB,∴△OGB为等边三角形,
∴BG=OB,∠G=60°,
∴BG=OC,∠G=∠DOC.
又∵∠GBE=∠OCD,
∴△BGE≌△COD(ASA),∴GE=OD,
∴OE+OD=OE+GE=OG=OC=2.
15.如图所示,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,BO的延长线交边AC于点D.
(1)求证:∠BAC=2∠ABD;
(2)当△BCD是等腰三角形时,求∠BCD的大小.
(1)证明:如图所示,连接AO并延长交BC于点E.
∵AB=AC,∴=.
∵AE过圆心O,
∴AE垂直平分BC,
∴AE平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAE.
∵OA=OB,
∴∠ABD=∠BAE,∴∠BAC=2∠ABD.
(2)解:设∠ABD=x°,
由(1),知∠BAC=2∠ABD=2x°,
∴∠BDC=3x°.
当△BCD是等腰三角形时,
①若BD=BC,则∠C=∠BDC=3x°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x°.
在△ABC中,∠ABC+∠C+∠BAC=180°,
∴3x+3x+2x=180,解得x=22.5,
∴∠BCD=3x°=67.5°.
②若BC=CD,则∠CBD=∠BDC=3x°,
∴∠ACB=∠ABC=4x°.
在△ABC中,∠ABC+∠C+∠BAC=180°,
∴4x+4x+2x=180,∴x=18,
∴∠BCD=4x°=72°.
综上所述,当△BCD是等腰三角形时,∠BCD的度数为67.5°或72°.
16.(2024 睢宁模拟)已知:如图所示,AB是☉O的直径,AC是弦,CD是☉O的切线,C为切点,AD⊥CD于点 D.
(1)求证:∠AOC=2∠ACD;
(2)若☉O的半径为3,AD=2,求 tan∠ACD的值.
(1)证明:如图所示,连接BC,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠OAC=90°.
∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°,
∴∠OCA+∠DCA=90°.
∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA.
∴∠ABC=∠ACD,
∴∠AOC=2∠ABC=2∠ACD.
(2)解:∵AD⊥CD,
∴∠ADC=∠ACB=90°.
又∵∠ABC=∠ACD,
∴△ABC∽△ACD,
∴=,
∴=,
解得AC=2,
在Rt△ACD中,
CD==2,
∴在Rt△ACD中,tan∠ACD==.
