小学数学人教版六年级下鸽巢问题教案
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文档简介
鸽巢问题
教学内容：最简单的“鸽巢问题” 68页的例1,69页的例2及相关练习
本节课学习“抽屉原理”,使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“抽屉原理”加以解决。
教学中注意利用教材中的情境教学,组织学生自主探索,手脑并用,了解数学知识的严谨性及可操作性,培养学生在实践中探求知识的能力。
教学目标：
了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
教学重点与难点：
【重点】
引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
【难点】
找出“鸽巢问题”解决的窍门并进行推理。
教学准备：
【教师准备】 。
教学过程：
一、复习准备：
1.给甲、乙2个人发4本相同的书有几种可能出现的情况
学生完成后,教师接着问,如果要做到公平,用什么方法分 怎样分 请你表示出来。
预设 生1:4÷2=2(本)
生2:把4本书平均分给两人,每人分得两本书。
【参考答案】 甲分4本,乙分0本;甲分3本,乙分1本;甲分2本,乙分2本;甲分1本,乙分3本;甲分0本,乙分4本。
二、导入新课
出示教材第68页数学游戏。
师:同学们,你们玩过扑克牌吗
预设 生:玩过。
师:下面我们用扑克牌来玩个游戏。大家知道一副扑克牌有54张,如果去掉两张王牌,就是52张,对吗
预设 生:对。
师:如果从这52张牌中任意抽出5张,我敢肯定地说:这5张扑克牌中至少有2张是同一种花色的,你们信吗
预设 生1:相信。
生2:不相信。
师:其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学道理,想不想研究啊
预设 生:想。
揭示课题:这节课我们就来解决这个数学问题。(板书课题)
[设计意图] 由生活实际导入新课,学生易于接受,亲切自然。引导学生主动发现知识,提高学生的注意力。激发学生主动探求知识的意愿,使学生积极主动地进入本节课的学习。
三、教学新课
（一）、教学例1,学会简单的“鸽巢原理”的分析方法。
1.操作并发现规律。(出示下图)
把4支铅笔放进3个笔筒里,总有一个笔筒里至少放2支铅笔,为什么
师:把4支铅笔放到3个笔筒里,有哪些方法 请同桌二人为一组动手试一试。谁来说一说结果
预设 生1:一个放4支,另两个不放。
生2:两个放2支,另一个不放。
生3:一个放3支,一个放1支,一个不放。
生4:一个放2支,两个放一支。
(教师根据学生回答在黑板上画图表示几种结果)
师:“不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔”,这句话说得对吗
预设 生:对。
2.理解关键词的含义。
师:这句话里“总有”是什么意思
预设 生:一定有。
师:这句话里“至少有2支”是什么意思
预设 生1:最少有2支,不少于2支。
生2:可能比2支多,也可能与2支相等。
3.探究证明。
师:把4支铅笔放到3个笔筒试一试。
(1)枚举法。
师:谁来说一说结果
预设 生:通过摆放铅笔,发现四支铅笔分配到3个笔筒共有四种情况。
预设 生1:(4,0,0)。 生2:(3,1,0)。 生3:(2,2,0)。 生4:(2,1,1)。
师:谁还想到其他方法了
预设 生:没有了。
师:一共有4种情况,在每种情况中,都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。
(2)数的分解法。
预设 生:把4分解成3个数,使这3个数的和等于4。
师:从分解的四种情况中,你发现了什么
预设 生:四种情况,每种情况的三个数中,至少有一个数是大于或等于2的。
(3)假设法。
师:前面我们是通过动手操作得出这一结论的,想一想,能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢 小组讨论一下。
预设 生1:如果每个盒子里放1支铅笔,最多放3支,剩下的1支不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2支铅笔。
生2:首先通过平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。这就是平均分的方法。
师:通过以上几种方法,都可以发现:把4支铅笔放进3个笔筒中,无论怎么放,总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。
4.认识鸽巢问题(一)。
师:把5支铅笔放到4个铅笔盒里呢 把6支铅笔放到5个铅笔盒里呢 把7支铅笔放到6个铅笔盒里呢……你发现了什么
预设 生:只要铅笔数比铅笔盒数多1,总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔。
师:上面各个问题,我们都采用了什么方法
预设 生:尽可能平均分物体的方法。
师:像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。
(1)在这里,4支铅笔是要分放的物体,就相当于4只“鸽子”,“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子,总有1个笼子里至少有2只鸽子。
(2)这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思;在所有方法中,放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的只数即为“至少”数。
小结:只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。
归纳总结:
抽屉(鸽巢)原理(一):如果把m个物体任意放进n个抽屉(鸽巢)里(m>n,且m和n是非零自然数),那么一定有一个抽屉(鸽巢)里至少放进了2个物体。
师:现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果,你能来说一说这个魔术的道理吗
预设 生1:如果4人选中了4种不同的花色,剩下的1人不管选哪种花色,总会和其他4人里的一人相同。
生2:总有一种花色至少有2人选。
[设计意图] 一步一步引导学生合作交流、自主探索,让学生亲身经历问题解决的全过程,增强学习的积极性和主动性。回到本节课开头提出的问题,揭示悬念,满足学生的好奇心,让学生认识到数学的应用价值.
（二）、探究学习例2,建立“抽屉问题”模型。
1. 探究方法。(出示例2)
师:把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么
(先小组讨论,再汇报)
(1)数的分解法。
预设 生1:把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里,共有8种情况。
生2:每种情况分得的3个数中,至少有1个数不小于3,也就是每种分法中最大的那个数最小是3,即总有1个抽屉至少放进3本书。
(2)假设法。
生3:把7本书平均分成3份,
7÷3=2……1,(板书)
若每个抽屉放2本,则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中,那么这个抽屉里就有3本书。
师:通过以上两种方法都可以发现:7本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。
2.拓展迁移。
师:如果把8本书放进3个抽屉,会出现怎样的结论呢 10本呢 11本呢 16本呢
预设 生1:8÷3=2……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本。(板书)
生2:10÷3=3……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。(板书)
生3:11÷3=3……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。(板书)
生4:16÷3=5……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。(板书)
师:观察上述算式和结论,你发现了什么
预设 生1:物体数÷抽屉数=商……余数。
生2:至少数=商+1。(板书)
3.建立“鸽巢问题”模型。
归纳总结:抽屉(鸽巢)原理(二):把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉(鸽巢)(k是正整数,n是非0的自然数),那么一定有一个抽屉(鸽巢)中至少放进了(k+1)个物体。
[设计意图] 引导学生合作交流、自主探索,建立“鸽巢问题”模型,增强学生学习的积极性和主动性。
四、课堂练习
1.教材第68页“做一做”第1题。
2.你理解前面扑克牌魔术的道理了吗
3.教材第69页“做一做”第1题。
4.教材第69页“做一做”第2题。
【参考答案】 1.(教材做一做)1.每个鸽笼各飞进一只鸽子,剩下的两只无论飞进哪个鸽笼,都使那个鸽笼中至少有两只鸽子。 2.理解了。 3.(教材做一做)1.若每个鸽笼各飞进2只鸽子,则余下3只鸽子,无论它们飞进哪个鸽笼,都使该鸽笼中至少有3只鸽子。 4.(教材做一做)2.每把椅子先坐一个人,剩下的一个人无论坐在哪把椅子上,都会使该椅子上至少坐两人。
五、课堂小结：
师:通过这节课的学习,你有什么收获
预设 生1:我学会了简单的鸽巢问题。
生2:生活中处处都有数学。
生3:我知道怎样解决鸽巢问题。
生4:转化时要弄清“鸽巢”和所分放的物体及它们的个数。
师:这节课我们了解了什么是鸽巢问题,建立了鸽巢问题模型,学会了怎样解决鸽巢问题。在实际生活中随处可见,处处都有数学问题在等待着我们去发现。
【基础巩固】
1.(基础题)填空题。
(1)有15只鸽子飞进2个鸽舍,总有一个鸽舍至少有( )只鸽子。
(2)随意找14个学生,他们中至少有( )人属相相同。
【提升培优】
2.(易错题)判断题。
(1)把21张卡片分给4名同学,至少有一名同学分到6张。 ( )
(2)3个连续自然数分别被2除后,3个余数相同。 ( )
【思维创新】
3.(难点题)把25个玻璃球最多放进( ) 个盒子里,才能保证总有一个盒子里至少有5个玻璃球。
A.8 B.7 C.6
【参考答案】
作业1:1.13÷12=1……1,1+1=2,所以至少有2个人的属相相同。
作业2:1.(1)8 (2)2 2.(1)√ (2) 3.C
板书设计
鸽巢问题 7÷3=2……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本; 8÷3=2……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本; 10÷3=3……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本; 11÷3=3……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本; 16÷3=5……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。 小结:物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1
教学内容：最简单的“鸽巢问题” 68页的例1,69页的例2及相关练习
本节课学习“抽屉原理”,使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“抽屉原理”加以解决。
教学中注意利用教材中的情境教学,组织学生自主探索,手脑并用,了解数学知识的严谨性及可操作性,培养学生在实践中探求知识的能力。
教学目标：
了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。
教学重点与难点：
【重点】
引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
【难点】
找出“鸽巢问题”解决的窍门并进行推理。
教学准备：
【教师准备】 。
教学过程：
一、复习准备：
1.给甲、乙2个人发4本相同的书有几种可能出现的情况
学生完成后,教师接着问,如果要做到公平,用什么方法分 怎样分 请你表示出来。
预设 生1:4÷2=2(本)
生2:把4本书平均分给两人,每人分得两本书。
【参考答案】 甲分4本,乙分0本;甲分3本,乙分1本;甲分2本,乙分2本;甲分1本,乙分3本;甲分0本,乙分4本。
二、导入新课
出示教材第68页数学游戏。
师:同学们,你们玩过扑克牌吗
预设 生:玩过。
师:下面我们用扑克牌来玩个游戏。大家知道一副扑克牌有54张,如果去掉两张王牌,就是52张,对吗
预设 生:对。
师:如果从这52张牌中任意抽出5张,我敢肯定地说:这5张扑克牌中至少有2张是同一种花色的,你们信吗
预设 生1:相信。
生2:不相信。
师:其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学道理,想不想研究啊
预设 生:想。
揭示课题:这节课我们就来解决这个数学问题。(板书课题)
[设计意图] 由生活实际导入新课,学生易于接受,亲切自然。引导学生主动发现知识,提高学生的注意力。激发学生主动探求知识的意愿,使学生积极主动地进入本节课的学习。
三、教学新课
（一）、教学例1,学会简单的“鸽巢原理”的分析方法。
1.操作并发现规律。(出示下图)
把4支铅笔放进3个笔筒里,总有一个笔筒里至少放2支铅笔,为什么
师:把4支铅笔放到3个笔筒里,有哪些方法 请同桌二人为一组动手试一试。谁来说一说结果
预设 生1:一个放4支,另两个不放。
生2:两个放2支,另一个不放。
生3:一个放3支,一个放1支,一个不放。
生4:一个放2支,两个放一支。
(教师根据学生回答在黑板上画图表示几种结果)
师:“不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔”,这句话说得对吗
预设 生:对。
2.理解关键词的含义。
师:这句话里“总有”是什么意思
预设 生:一定有。
师:这句话里“至少有2支”是什么意思
预设 生1:最少有2支,不少于2支。
生2:可能比2支多,也可能与2支相等。
3.探究证明。
师:把4支铅笔放到3个笔筒试一试。
(1)枚举法。
师:谁来说一说结果
预设 生:通过摆放铅笔,发现四支铅笔分配到3个笔筒共有四种情况。
预设 生1:(4,0,0)。 生2:(3,1,0)。 生3:(2,2,0)。 生4:(2,1,1)。
师:谁还想到其他方法了
预设 生:没有了。
师:一共有4种情况,在每种情况中,都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。
(2)数的分解法。
预设 生:把4分解成3个数,使这3个数的和等于4。
师:从分解的四种情况中,你发现了什么
预设 生:四种情况,每种情况的三个数中,至少有一个数是大于或等于2的。
(3)假设法。
师:前面我们是通过动手操作得出这一结论的,想一想,能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢 小组讨论一下。
预设 生1:如果每个盒子里放1支铅笔,最多放3支,剩下的1支不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2支铅笔。
生2:首先通过平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。这就是平均分的方法。
师:通过以上几种方法,都可以发现:把4支铅笔放进3个笔筒中,无论怎么放,总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。
4.认识鸽巢问题(一)。
师:把5支铅笔放到4个铅笔盒里呢 把6支铅笔放到5个铅笔盒里呢 把7支铅笔放到6个铅笔盒里呢……你发现了什么
预设 生:只要铅笔数比铅笔盒数多1,总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔。
师:上面各个问题,我们都采用了什么方法
预设 生:尽可能平均分物体的方法。
师:像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。
(1)在这里,4支铅笔是要分放的物体,就相当于4只“鸽子”,“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子,总有1个笼子里至少有2只鸽子。
(2)这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思;在所有方法中,放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的只数即为“至少”数。
小结:只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。
归纳总结:
抽屉(鸽巢)原理(一):如果把m个物体任意放进n个抽屉(鸽巢)里(m>n,且m和n是非零自然数),那么一定有一个抽屉(鸽巢)里至少放进了2个物体。
师:现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果,你能来说一说这个魔术的道理吗
预设 生1:如果4人选中了4种不同的花色,剩下的1人不管选哪种花色,总会和其他4人里的一人相同。
生2:总有一种花色至少有2人选。
[设计意图] 一步一步引导学生合作交流、自主探索,让学生亲身经历问题解决的全过程,增强学习的积极性和主动性。回到本节课开头提出的问题,揭示悬念,满足学生的好奇心,让学生认识到数学的应用价值.
（二）、探究学习例2,建立“抽屉问题”模型。
1. 探究方法。(出示例2)
师:把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么
(先小组讨论,再汇报)
(1)数的分解法。
预设 生1:把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里,共有8种情况。
生2:每种情况分得的3个数中,至少有1个数不小于3,也就是每种分法中最大的那个数最小是3,即总有1个抽屉至少放进3本书。
(2)假设法。
生3:把7本书平均分成3份,
7÷3=2……1,(板书)
若每个抽屉放2本,则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中,那么这个抽屉里就有3本书。
师:通过以上两种方法都可以发现:7本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。
2.拓展迁移。
师:如果把8本书放进3个抽屉,会出现怎样的结论呢 10本呢 11本呢 16本呢
预设 生1:8÷3=2……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本。(板书)
生2:10÷3=3……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。(板书)
生3:11÷3=3……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本。(板书)
生4:16÷3=5……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。(板书)
师:观察上述算式和结论,你发现了什么
预设 生1:物体数÷抽屉数=商……余数。
生2:至少数=商+1。(板书)
3.建立“鸽巢问题”模型。
归纳总结:抽屉(鸽巢)原理(二):把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉(鸽巢)(k是正整数,n是非0的自然数),那么一定有一个抽屉(鸽巢)中至少放进了(k+1)个物体。
[设计意图] 引导学生合作交流、自主探索,建立“鸽巢问题”模型,增强学生学习的积极性和主动性。
四、课堂练习
1.教材第68页“做一做”第1题。
2.你理解前面扑克牌魔术的道理了吗
3.教材第69页“做一做”第1题。
4.教材第69页“做一做”第2题。
【参考答案】 1.(教材做一做)1.每个鸽笼各飞进一只鸽子,剩下的两只无论飞进哪个鸽笼,都使那个鸽笼中至少有两只鸽子。 2.理解了。 3.(教材做一做)1.若每个鸽笼各飞进2只鸽子,则余下3只鸽子,无论它们飞进哪个鸽笼,都使该鸽笼中至少有3只鸽子。 4.(教材做一做)2.每把椅子先坐一个人,剩下的一个人无论坐在哪把椅子上,都会使该椅子上至少坐两人。
五、课堂小结：
师:通过这节课的学习,你有什么收获
预设 生1:我学会了简单的鸽巢问题。
生2:生活中处处都有数学。
生3:我知道怎样解决鸽巢问题。
生4:转化时要弄清“鸽巢”和所分放的物体及它们的个数。
师:这节课我们了解了什么是鸽巢问题,建立了鸽巢问题模型,学会了怎样解决鸽巢问题。在实际生活中随处可见,处处都有数学问题在等待着我们去发现。
【基础巩固】
1.(基础题)填空题。
(1)有15只鸽子飞进2个鸽舍,总有一个鸽舍至少有( )只鸽子。
(2)随意找14个学生,他们中至少有( )人属相相同。
【提升培优】
2.(易错题)判断题。
(1)把21张卡片分给4名同学,至少有一名同学分到6张。 ( )
(2)3个连续自然数分别被2除后,3个余数相同。 ( )
【思维创新】
3.(难点题)把25个玻璃球最多放进( ) 个盒子里,才能保证总有一个盒子里至少有5个玻璃球。
A.8 B.7 C.6
【参考答案】
作业1:1.13÷12=1……1,1+1=2,所以至少有2个人的属相相同。
作业2:1.(1)8 (2)2 2.(1)√ (2) 3.C
板书设计
鸽巢问题 7÷3=2……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本; 8÷3=2……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本; 10÷3=3……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本; 11÷3=3……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本; 16÷3=5……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。 小结:物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1