第九章 平面直角坐标系 培优测试题（含答案）

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第九章 平面直角坐标系 培优测试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如果单项式﹣x﹣2my4与单项式5x2y2n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点（m，n）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，在某一时刻，一艘货轮与导航灯相距10千米，我们用有序数对（北偏东60°，10km）来描述货轮相对于导航灯的位置，那么导航灯相对于货轮的位置可描述为（　　）
A．（北偏东30°，10km） B．（南偏东30°，10km）
C．（北偏西60°，10km） D．（南偏西60°，10km）
3．根据下列表述，能确定位置的是（　　）
A．兴庆路 B．负二层停车场
C．太平洋影城3号厅2排 D．东经106°，北纬32°
4．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图，是中国象棋棋盘的一部分，若“帅”位于点（1，﹣1），“炮”位于点（2，1）上，则“兵”位于点（　　）上
A．（0，2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，0） D．（﹣1，2）
5．在平面直角坐标系中，点A（1，5），B（m﹣2，m+1），若直线AB与y轴垂直，则m的值为（　　）
A．0 B．3 C．4 D．7
6．在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点M的坐标为（　　）
A．（﹣4，0） B．（0，﹣2） C．（﹣2，0） D．（0，﹣4）
7．把点A（2，﹣3）先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，得到点B的坐标是（　　）
A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（7，1） D．（7，﹣1）
8．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）
9．若点M（x，y）的坐标满足x+y＝0，则点M位于（　　）
A．第二象限
B．第一、三象限的夹角平分线上
C．第四象限
D．第二、四象限的夹角平分线上
10．找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为A1（0，0），A2（1，1），A3（2，0），A4（0，﹣2），A5（﹣2，0），A6（1，3），A7（4，0），A8（0，﹣4），A9（﹣4，0），A10（1，5），A11（6，0），则依图中所示规律，点A2023的坐标为（　　）
A．（1012，0） B．（﹣1010，0） C．（0，﹣2020） D．（1010，0）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．在平面直角坐标系中，把点（2，﹣3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是 　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（6，3），B（6，0），O（0，0），若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE，则点A的对应点C的坐标是 　 　．
13．如图，雷达探测器测得A，B，C，D，E，F六个目标．按照规定的目标表示方法，目标B，C的位置分别表示为（2，90°）和（6，120°），那么，目标F表示为 　 　．
14．如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至A′B'，则a2+b2的值为 　 　．
15．平面上两条直线l1，l2相交于点O．对于平面上任意一点P，若点P到直线l1的距离为d1，到直线l2的距离为d2，则称有序数对（d1，d2）为点P的“距离坐标”．如图所示，点M的“距离坐标”为（3，2）．
（1）结合图形，直接写出点N的“距离坐标”为 　 　；
（2）在该平面内，“距离坐标”为（5，5）的点共有 　 　个．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题：
（1）由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处，请用类似的方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；
（2）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
17．（9分）如图，请用两种不同的方式建立直角坐标系，并用坐标表示图形中各顶点的位置．
18．（9分）如图是某市火车站及周围的平面示意图，已知超市的坐标是（﹣2，4），市场的坐标是（1，3）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系，并在图中标出汽车站（﹣3，﹣2），花坛（2，﹣1）的位置；
（2）分别写出体育场、火车站和文化宫的坐标．
19．（9分）如图，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（9，0），B（5，1），C（2，4），D（5，4）．
（1）请在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，然后在平面直角坐标系中画出四边形ABCD；
（2）求四边形ABCD的面积．
20．（9分）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示．
（1）分别写出点A，A'的坐标：A 　 　，A'　 　．
（2）请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值．
21．（9分）在平面直角坐标系中，已知点P（6﹣2m，m+1）．
（1）当点P在y轴上时，求点P的坐标；
（2）已知直线PA平行于x轴，且A的坐标可以表示成A（m，2），求AP的长；
（3）试判断点P是否可能在第二象限，并说明理由．
22．（10分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”．
（1）点A（﹣3，2）的“短距”为 　 　．
（2）若点B（3a﹣1，5）是“完美点”，求a的值．
（3）若点C（9﹣2b，﹣5）是“完美点”，求点D（﹣6，2b﹣1）的“短距”．
23．（11分）如图1所示，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）、C（1，﹣3），其中a、b满足关系式．平移AC使点A与点B重合，点C的对应点为点D．
（1）直接写出A、B两点的坐标，则A（ 　 　，　 　）、B（ 　 　，　 　）．
（2）如图1，过点D作DE⊥y轴交于E点，猜想∠CAG与∠BDE数量关系，说明理由．
（3）如图2，过点C作CF∥x轴交y轴于F点，Q为x轴上点A左侧的一动点，连接QC，CM平分∠QCA，CN平分∠FCA，当点Q运动时，的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请直接求出其值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：由题知，
因为单项式﹣x﹣2my4与单项式5x2y2n的和仍是一个单项式，
所以﹣2m＝2，2n＝4，
解得m＝﹣1，n＝2，
则点（﹣1，2）在第二象限．
选：B．
2．解：由题意知导航灯A相对于货轮B的位置可描述为（南偏西60°，10km）．
选：D．
3．解：A、兴庆路，不能确定具体位置，A选项不符合题意；
B、负二层停车场，不能确定具体位置，B选项不符合题意；
C、太平洋影城3号厅2排，不能确定具体位置，C选项不符合题意；
D、东经116°，北纬42°，能确定具体位置，D选项符合题意．
选：D．
4．解：∵“兵”在“炮”的上面，
∴“兵“的纵坐标是1+1＝2，
∵“兵”在“帅”的左面第二格上，
∴“兵”的横坐标是1﹣2＝﹣1，
∴“兵”的坐标是（﹣1，2），
选：D．
5．解：∵点A（1，5），B（m﹣2，m+1），若直线AB与y轴垂直，
∴m+1＝5，
解得m＝4，
选：C．
6．解：∵点M（m﹣3，m+1）在平面直角坐标系的x轴上，
∴m+1＝0，
解得m＝﹣1，
∴m﹣3＝﹣1﹣3＝﹣4，
点M的坐标为（﹣4，0）．
选：A．
7．解：将点A（2，﹣3）向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（2﹣5，﹣3+4），即（﹣3，1），
选：A．
8．解：∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，
∴点P的横坐标是﹣1，纵坐标是2，
∴点P的坐标为（﹣1，2）．
选：C．
9．解：∵x+y＝0，
∴y＝﹣x，
∴点M（x，y）位于第二、四象限的夹角平分线上．
选：D．
10．解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形，
A1（0，0），A3（2，0），A5（﹣2，0），A7（4，0），A9（﹣4，0），A11（6，0）．．．
∴A2n﹣1（n≥2）的坐标为（n，0）（n为偶数），
∵2023＝1012×2﹣1，
∴点A2023的坐标为（1012，0），
选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：因为把点（2，﹣3）向上平移1个单位，再向左平移2个单位，
所以﹣3+1＝﹣2，2﹣2＝0
即得到的点的坐标是（0，﹣2），
答案为：（0，﹣2）．
12．解：∵A（6，3）向左平移3个单位长度得到C，
∴点A的对应点C的坐标是（6﹣3，3），即（3，3）．
答案为：（3，3）．
13．解：∵目标B，C的位置分别表示为（2，90°）和（6，120°），
∴有序数对的第一个数代表目标在第几个圆圈上，第二个数代表对应的角的度数．
∴目标F表示为（5，210°）．
答案为：（5，210°）．
14．解：∵OA＝1，OB＝2，
∴A（﹣1，0），B（0，2），
∵线段AB平移至A′B′，
∴由点A和点A′的横坐标可知它们向右平移3个单位长度，
由点B和点B′的纵坐标可知它们向下平移1个单位长度，
∴a＝0﹣1＝﹣1，
b＝0+3＝3，
∴a2+b2＝（﹣1）2+32＝10，
答案为：10．
15．解：（1）∵点N到直线l1的距离为2.95，到直线l2的距离为4.33，
∴点N的“距离坐标”为（2.95，4.33）．
（2）如图，直线AB∥CD∥l2且相邻两条直线距离为5，直线AD∥BC∥l1，且相邻两条直线距离为5，
∴A、B、C、D四点的“距离坐标”为（5，5）．答案为：（1）（2.95，4.33）；（2）4．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）由题意得：
90°﹣45°＝45°，90°﹣40°＝50°，
学校在小明家北偏东45°方向2km处，
博物馆在小明家南偏东50°方向4km处；
（2）∵OC＝4km，点E为OC的中点，
∴OEOC＝2（km），
∵OB＝6km，BD＝4km，
∴OD＝OB﹣BD＝2（km），
∵OA＝2km，
∴OA＝OD＝OE，
∴图中到小明家距离相同的是影院，公园，学校．
17．解：方法一：如图1，
A（0，6.5），B（3.5，6.5），C（3.5，3.5），D（8.5，3.5），E（8.5，0），F（0，0）；
方法二：如图2，
A（﹣3.5，3），B（0，3），C（0，0），D（5，0），E（5，﹣3.5），F（﹣3.5，﹣3.5）．
18．解：（1）汽车站和花坛的位置如图所示；
（2）如图所示：由平面直角坐标系知，体育场的坐标为（﹣4，2），火车站的坐标为（﹣1，1），文化宫的坐标为（0，﹣2）．
19．解：（1）如图：四边形ABCD即为所求；
（2）四边形ABCD的面积为：3×33×4＝4.5+6＝10.5．
20．解：（1）由图知A（1，0），A'（﹣4，4），
答案为：（1，0），（﹣4，4）；
（2）A（1，0）对应点的对应点A′（﹣4，4）得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到A′，
三角形A'B'C'是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到．
（3）△ABC内M（m，4﹣n）平移后对应点M'的坐标为（m﹣5，4﹣n+4），
∵M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），
∴m﹣5＝2m﹣8，4﹣n+4＝n﹣4，
∴m＝3，n＝6．
21．解：（1）∵点P（6﹣2m，m+1）在y轴上，
∴6﹣2m＝0，
解得m＝3，
∴m+1＝3+1＝4，
∴点P的坐标为（0，4）；
（2）∵直线PA平行于x轴，
∴m+1＝2，
解得m＝1，
∴6﹣2m＝4，
∴点P的坐标为（4，2），A（1，2），
∴AP＝4﹣1＝3；
（3）可能，理由：
若点P在第二象限，
m＞3，
∴点P可能在第二象限．
22．解：（1）点A（﹣3，2）的“短距”为2，
答案为：2；
（2）∵点B（3a﹣1，5）是“完美点”，
∴|3a﹣1|＝5，
∴3a﹣1＝5 或 3a﹣1＝﹣5，
解得a＝2或；
（3）由题意，得|9﹣2b|＝5，
∴9﹣2b＝5或9﹣2b＝﹣5，
解得b＝2或b＝7，
当b＝2时，点D（﹣6，3），
∵|﹣6|＝6，6＞3，
∴“短距”为3；
当b＝7时，点D（﹣6，13），
∵|﹣6|＝6，13＞6，
∴“短距”为6．
综上所述，点D（﹣6，2b﹣1）的“短距”为3或6．
23．解：（1）∵，
又∵，（a+b﹣7）2≥0，
∴a＝3，b＝4，
∴A（3，0）、B（0，4），
答案为：3，0，0，4；
（2）结论：∠BDE+∠CAG＝180°．
理由：如图1中，延长DE交CA的延长线于T．
∵DE⊥y轴，
∴DT∥OG，
∴∠T+∠OAT＝180°，
∵BD∥CT，
∴∠BDE＝∠T，
∵∠CAG＝∠OAT，
∴∠BDE+∠CAG＝180°；
（3）不变，．
理由：设∠CQA＝y，∠MCN＝x，∠ACM＝z，
∵CF∥x轴，
∴∠FCQ＝∠CQA＝y，
∵∠ACM＝∠QCM＝z，
∴∠QCN＝z﹣x，
∵∠FCN＝∠ACN，
∴y+（z﹣x）＝x+z，
∴y＝2x，即∠CQA＝2∠MCN．
∴．
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