福建省泉州市2025届高三教学质量检测（二）数学试题（含答案）

福建省泉州市2025届高三教学质量检测（二）
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题仅有一个选项正确.
1.已知向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
2.已集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知定义在上的函数为奇函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.（ ）
A. B. C. D.
6.已知正三棱台的高为4，的内切圆和的外接圆的半径均为1，则该正三棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A.的最小正周期为
B.
C.在区间上单调递减
D.在区间上的取值范围为
10.设正项等比数列的前项和为，的前项积为.若，，则（ ）
A.数列为等差数列 B.
C. D.的最大值为
11.已知正方体的棱长为2，点是的中点，点满足，点在上，，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则平面 B.若，则
C.若，则二面角的正弦值为
D.若，则三棱锥的体积的最大值为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数，则 .
13.写出一个与直线和轴都相切且半径为1的圆的标准方程 .
14.在平面四边形中，，，，，则
；若点是的中点，则当取得最大值时，四边形的面
积为 .
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为.
（1）求； （2）求在区间上的最大值和最小值.
16.如图1，在矩形中，，，点分别在边上，且.将四边形沿翻折至四边形，使得，如图2所示.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.已知点为椭圆的上、下顶点，点，其中，
且，直线与交于点.
（1）证明：点在上；
（2）若直线交于两点，且，求.
18.随机数广泛应用于数据加密、安全通信、金融等领域.计算机中的随机数是由算法产生
的，其“随机性”的优劣取决于所采用的算法.某工厂计划生产一种随机数发生器，这种发生器的显示屏能显示1,2,3,4中的一个数字，每按一次数字更新按钮后，显示屏上的数字将等可能地更新为另三个数字中的一个.在试生产阶段，采用两种不同算法，生产出相应算法的甲、乙两种随机数发生器.为评估两种算法的优劣，从这两种随机数发生器中随机抽取150件进行检验，得到数据饼图如下：
（1）已知这150件发生器中，乙种发生器的三级品为2件.在答题卡中填写列联表；依据
小概率的独立性检验，能否认为甲、乙两种发生器的一级品率存在差异？
一级品 非一级品 合计
甲
乙
合计
（2）若发生器显示屏的初始显示数字为1，记按次数字更新按钮后得到的数字为
，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）检测一个发生器是否为一级品的方案为：每件被测发生器需进行100轮测试，每轮
测试共按10次数字更新按钮：表示100轮测试得到“”的频率，规定满足
的被测发生器为一级品.若某件发生器经100轮测试后得到，
能否判断该发生器为一级品？
19.将数组的某一个全排列记为，若满足：，能被3整除，则称为的一个“好排列”.例如：的“好排列”共有两个：（1,2），（2,1）.
（1）写出的所有“好排列”；
（2）若中“好排列”至少有4个，求的取值范围；
（3）记的一个“好排列”个数为，证明：.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B B C A B C
二、选择题
题号 9 10 11
答案 AD ACD BCD
三、填空题
12.
13.或或或.
14.（2分）；（3分）.
四、解答题
15.解：（1）由得，∴，又，
∴在点处的切线方程为，即.
当时，；当时，.
∵，∴，∴.
（2）由（1）得，，
由得或.
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.
∵，，，，且，
∴在区间上的最大值为，最小值为.
16.解：（1）∵，，∴，∴，
∴.∵，，∴，∴.
又平面，，∴平面.
（2）连结.∵,，∴，∴.
过点作，则.
又平面，则，
以为原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，，
.
设平面的法向量为，
则，
取，可得.
设直线与平面所成的角为，
则.
故直线与平面所成角的最小值为.
17.解：（1）（ⅰ）若，则，经检查符合椭圆的方程，∴点在上.
（ⅱ）若，则直线的方程为，直线的方程为，
由可得，
，消去，得，
即，∴点在行.
（2）∵直线的斜率，
∴直线的方程为，即.
由方程组消去，得.
由得，解得.
设，则，.
则，，
∴.
又，∴，
解得或.
由，
又，
∴或.
18.解：（1）根据题意可得列联表：
零假设为：甲、乙两批发生器的一级品率没有差异.
根据列联表中的数据，经计算得
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为甲、乙两批发生器的一级品率存在差异，次推断犯错的概率不大于0.05.
（2）（ⅰ）依题意可得，记“按次按钮后显示的数字为1”，
由全概率公式，得
.
（ⅱ）由全概率公式，得
∴，即.
又∵，∴是首项为，公比为的等比数列，
∴，即.
∴.
∵，
∴该发生器为一级品.
19.解：（1）的所有“好排列”为：（1，2,3），（2,3,1），（3,1,2）.
（2）当时，只有2个，不符合要求；
当时，由（1）可知，只有3个“好排列”，不符合要求；
当时，的“好排列”有（1,2,3,4），（3,1,2,4），（3,4,2,1），（4,2,3,1），至少有4个，符合要求；
当时，的“好排列”至少有，，
，，至少4个，符合题意；
故当时，中“好排列”至少有4个.
（3）（ⅰ）考虑中“好排列”个数，
∵是的一个排列，考虑除以3的余数，共有个1，个2，个0，
考虑由余数形成的排列，其中为个1，个2，个0的全排列，为满足“好排列”的条件要求，排列中每个1的右边必为2，故“好排列”的最后一个数为1，形如，
其中的排法数即为个0与个的排法数，即.
故的“好排列”的个数.
（ⅱ）考虑中“好排列”个数，
∵是的一个排列，考虑除以3的余数，共有个1，个2，个0，
考虑由余数形成的排列，其中为个1，个2，个0的全排列，
①情况1：中，个1与个2形成个，每个1的右边均为2，
此时为“好排列”的排法数即为个0与个的排法数，
即，
故“好排列”的个数有，
②情况2：最后位置的数为1，则第一位的数必为2，
即排列，
其中的排法数即为个0与个的排法数，即.
故“好排列”的个数有.
由①，②可得，
∴.