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10.3 实际问题与二元一次方程组（第2课时）分层作业
基础训练
1．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第1题图 第2题图
2．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm，则下列所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第3题图 第4题图
4．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地上坡与平路分别为x km，y km，依题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
8．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设∠1＝x°，∠2＝y°，先根据题意列出二元一次方程组，再求解．
9．为了保护生态平衡，绿化环境，国家大力鼓励“退耕还林还草”，其补偿政策如表1．
种树、种草每亩每年补粮、补钱情况表（表1）
种植名称 补偿内容 种树 种草
补粮 150千克 100千克
补钱 200元 150元
小浪底库区某农户积极响应国家号召，承包了一片山坡地种树、种草，所得到国家的补偿如表2，
种树、种草亩数及补偿通知单（表2）
种树、种草 补粮 补钱
30亩 4000千克 5500元
问该农户种树、种草各多少亩？（用两种方法解题）
10．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？
思考1：设小长方形的长为x cm，宽为y cm．在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的 的和，另一种是3个小长方形的 的和，可得方程 ．
思考2：在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是 个小长方形的长和 个小长方形的宽的和，另一种从中间看为 个小长方形的长与空白小正方形的 的和，可得方程 ．
能力提升
11．如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是4m2，广告牌所占的面积是 30m2（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m2，设矩形面积是xm2，三角形面积是ym2，则根据题意，可列出二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
第11题图 第12题图
12．一列快车长70米，一列慢车长80米．若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒各行多少米？
如图，设快车每秒行x米，慢车每秒行y米．根据题意填空．
（1）若同向而行，经过20秒快车行驶的路程比慢车行驶的路程多 米，可列方程 ．
（2）若相向而行，两车4秒共行驶 米，可列方程 ．
（3）由以上可得方程组 ，解得 ．
拔高拓展
13．问题：如图，一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽分别是多少厘米？设长方形的长、宽分别是x cm，y cm．
（1）小明绞尽脑汁列出了四个不同的方程组：
①； ②；
③； ④．
以上四个方程组中，能正确反映题意的有 ；（请直接填写序号）
（2）小明列出的正确方程组，根据目前所学知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程．
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10.3 实际问题与二元一次方程组（第2课时）分层作业
基础训练
1．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长＝1个长+3个宽，②一个长+一个宽＝80cm，根据等量关系列出方程组，再解即可．
【解答】解：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：，
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
2．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm，则下列所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm，根据图形，比较图形中的高度，找到两个等量关系，列出方程组为即可．
【解答】解：每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，
根据题意得：．
故选：D．
【点评】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，关键是根据题意找到等量关系式．
3．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据大矩形的长及其内小长方形各边间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵大矩形的长为20，
∴x+2y＝20；
观察图形，可知：x＝3y，
∴根据题意可列方程组，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
4．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据共有500张正方形纸板和800张长方形纸板，列方程组即可求解．
【解答】解：根据题意，得，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出合适的等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇，可得2x+2y＝18，根据甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，可得5x﹣4y＝18，从而可以列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
6．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地上坡与平路分别为x km，y km，依题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用时间＝路程÷速度，结合“从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵从甲地到乙地需54min，
∴；
∵从乙地到甲地需42min，
∴，
∴根据题意得可列方程组．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（2024重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
【分析】设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，根据“购买外墙漆总费用为15000元，且A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
【解答】解：设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元；
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
8．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设∠1＝x°，∠2＝y°，先根据题意列出二元一次方程组，再求解．
【分析】根据图示可得∠1和∠2互余，进而可得x+y＝90，再根据∠1的度数比∠2的度数大50°可得x﹣y＝50，然后利用加减消元法计算即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
9．为了保护生态平衡，绿化环境，国家大力鼓励“退耕还林还草”，其补偿政策如表1．
种树、种草每亩每年补粮、补钱情况表（表1）
种植名称 补偿内容 种树 种草
补粮 150千克 100千克
补钱 200元 150元
小浪底库区某农户积极响应国家号召，承包了一片山坡地种树、种草，所得到国家的补偿如表2，
种树、种草亩数及补偿通知单（表2）
种树、种草 补粮 补钱
30亩 4000千克 5500元
问该农户种树、种草各多少亩？（用两种方法解题，只列出方程（组））
【分析】可用一元一次方程、二元一次方程组的角度求解，等量关系为：总共30亩，补钱4000千克，补钱5500元．
【解答】解：方法一：设该农户种树x亩，则种草（30﹣x）亩，
则150x+（30﹣x）×100＝4 000．
解得：x=20，
所以30﹣x=10.
答：该农户种树20亩，则种草10亩.
方法二：设该农户种树x亩，种草y亩，
则．
解得：x=20，y=10.
答：该农户种树20亩，则种草10亩.
【点评】本题考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解答解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．
10．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？
思考1：设小长方形的长为x cm，宽为y cm．在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的 宽 的和，另一种是3个小长方形的 长 的和，可得方程 5y＝3x ．
思考2：在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是 1 个小长方形的长和 2 个小长方形的宽的和，另一种从中间看为 2 个小长方形的长与空白小正方形的 边长 的和，可得方程 x+2y＝2x+2 ．
【分析】思考1：根据小长方形的宽×5＝小长方形的长×3解答即可；
思考2：根据2个小长方形的宽+1个小长方形的长＝2+2个小长方形的长解答即可．
【解答】解：思考1：设小长方形的长为x cm，宽为y cm．在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的宽的和，另一种是3个小长方形的长的和，可得方程5y＝3x．
故答案为：宽，长，5y＝3x．
思考2：在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是1个小长方形的长和2个小长方形的宽的和，另一种从中间看为2个小长方形的长与空白小正方形的边长的和，可得方程x+2y＝2x+2．
故答案为：1，2，边长，x+2y＝2x+2．
【点评】本题是考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是善于从图形中挖掘出隐含的等量关系．
能力提升
11．如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是4m2，广告牌所占的面积是 30m2（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m2，设矩形面积是xm2，三角形面积是ym2，则根据题意，可列出二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意找到等量关系：①矩形面积+三角形面积﹣阴影面积＝30；②（矩形面积﹣阴影面积）﹣（三角形面积﹣阴影面积）＝2，据此列出方程组．
【解答】解：依题意得：．
故选：A．
【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
12．一列快车长70米，一列慢车长80米．若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒各行多少米？
如图，设快车每秒行x米，慢车每秒行y米．根据题意填空．
（1）若同向而行，经过20秒快车行驶的路程比慢车行驶的路程多 150 米，可列方程 20x﹣20y＝150 ．
（2）若相向而行，两车4秒共行驶 150 米，可列方程 4x+4y＝150 ．
（3）由以上可得方程组 ，解得 ．
【分析】（1）根据题意，快车比慢车多行驶的是两车的车长；
（2）相向行驶，相遇时，两车行驶的总路程是两车的车长；
（3）将（1）（2）的两个方程联立，再用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1）∵快车长70米，慢车长80米，两车同向行驶，
∴20秒快车比慢车多行驶70+80＝150米，
∴20x﹣20y＝150，
故答案为：150，20x﹣20y＝150；
（2）∵两车相向行驶，两车从相遇到离开时间为4秒，
∴两车4秒共行驶150米，
∴4x+4y＝150，
故答案为：150，4x+4y＝150；
（3）将（1）（2）联立方程组为，
②×5，得20x+20y＝750③，
①+③，得40x＝900，
解得x＝22.5，
将x＝22.5代入①得，y＝15，
∴方程组的解为，
故答案为：，．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据所给条件列出正确的二元一次方程组是解题的关键．
拔高拓展
13．问题：如图，一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽分别是多少厘米？设长方形的长、宽分别是x cm，y cm．
（1）小明绞尽脑汁列出了四个不同的方程组：
①； ②；
③； ④．
以上四个方程组中，能正确反映题意的有 ①②④ ；（请直接填写序号）
（2）小明列出的正确方程组，根据目前所学知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程．
【分析】（1）根据长﹣5＝宽+2，就成为一个正方形，及两图形的面积相等，可得出方程组①②④；
（2）根据“这发型的边长相等”和“增加的面积＝减少的面积”列方程组求解．
【解答】解：（1）解：由题意得：x﹣5＝y+2且xy＝（x﹣5）2＝（y+2）2＝（x﹣5）（y+2），
故答案为：①②④；
（2）设长方形的长、宽各是x cm，y cm，
则：，
解得：，
答：长方形的长为8cm、宽是1cm．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到相等关系是解题的关键．
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