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10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时）分层作业
基础训练
1．（2024 天津）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴y﹣x＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴x﹣0.5y＝1．
∴根据题意可列方程组．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2.（2023 宜宾）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据鸡有两条腿，兔子有四条腿，共有35个头，94条腿，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得：，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3.（2023 甘孜州）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：由题意得：，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
4.（2023 内蒙古）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】依据题意，根据比赛12场可得x+y＝12，根据总积分20分，可得方程2x+y＝20，然后即可写出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
5.（2022 舟山）上学期某班的学生都是双人桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学期该班有男生x人，女生y人，根据题意可得方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，可以得到xy，根据本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，可得x+4＝y，从而可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
6．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ）
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
【分析】根据列出的二元一次方程组可得甜果苦果买一千，甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱，
【解答】解：根据列出的二元一次方程组，可得缺失的条件应为：甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系．
7．（2024 吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
【分析】设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，根据键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，
由题意得：，
解得：，
答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
【分析】设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，根据“修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
9．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．
【分析】设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为x元、y元，由题意得：，即可求解．
【解答】解：设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为x元、y元，
由题意得：，
解得：，
答：促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为15元、10元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系并列出方程组是解题的关键．
能力提升
10．甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，列方程组即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是找到等量关系并列出方程组，难度不大．
11．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是13；这个两位数除以它的各位数字之和，商是4，余数是6，设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是13，可得10x+y﹣3（x+y）＝13；根据这个两位数除以它的各位数字之和，商是4，余数是6，可得10x+y﹣6＝4（x+y），即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，要求会表示两位数，会找出列方程组需要的两个等量关系．
12．在《算法统宗》里记载了一道趣题：
原文：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑!
意思是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各买几个？
下列是四位同学的解答：
①小明：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为；
②小刚：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为；
③小勇：设苦果买x个，甜果买（1000﹣x）个，根据题意可列方程为．
④小强：设苦果买x个，甜果买（1000﹣x）个，根据题意可列方程为．
其中，以上解答一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④
【分析】设苦果买x个，甜果买y个，利用总价＝单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，可列出关于x，y的二元一次方程组，对照后可得出解答①正确；设苦果买x个，则甜果买（1000﹣x）个，利用总价＝单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，可列出关于x的一元一次方程，对照后可得出解答③正确．
【解答】解：设苦果买x个，甜果买y个，
∵甜果和苦果共买了1000个，
∴x+y＝1000；
∵四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，买甜果苦果共花费999文钱，
∴xy＝999，
∴根据题意得可列方程组，解答①正确；
设苦果买x个，则甜果买（1000﹣x）个，
∵四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，买甜果苦果共花费999文钱，
∴x（1000﹣x）＝999，
∴根据题意可列方程x（1000﹣x）＝999，解答③正确．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或一元一次方程）是解题的关键．
13．【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品．小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元．求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元．
【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元．
根据题意，得（Ⅰ）
②×2，得6x+2y＝114．③
③﹣①，得2x＝28，
解得x＝14．
把x＝14代入②，得4×14+2y＝86，
解得y＝15，
所以原方程组的解为．
答：每本笔记本14元，每支钢笔15元．
【反思改进】
（1）解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便．请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程．
（2）把题目中的数量关系列表表示如下：
笔记本/本 钢笔/支 总价/元
第一种情况 4 2 86
第二种情况 3 1 57
增加量 4﹣3＝1 2﹣1＝1 86﹣57＝29
请根据表格的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程．
【分析】（1）先化简方程①，再用加减消元法求解即可；
（2）根据增加量，可得x+y＝29，再列方程组解答即可．
【解答】解：（1）设每本笔记本x元，每支钢笔y元，
根据题意，得，
方程组化简为，
②﹣①，得x＝14，
把x＝14代入①，得2×14+y＝43，
解得y＝15，
所以原方程组的解为，
答：每本笔记本14元，每支钢笔15元；
（2）设每本笔记本x元，每支钢笔y元，
根据增加量，可得x+y＝29，
列方程组为，
①﹣②，得2x＝28，
解得x＝14，
把x＝14代入②，得14+y＝29，
解得y＝15，
所以原方程组的解为，
答：每本笔记本14元，每支钢笔15元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找到等量关系建立方程是关键．
拔高拓展
14.（2023 广西）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m） l＝M （a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，用含m的代数式表示y；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把m＝0，m＝100，m＝200，m＝300，m＝400，m＝500，m＝600，m＝700，m＝800，m＝900，m＝1000 代入求解，以此即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：m＝0，y＝0，
∵m0＝10，M＝50，
∴10l＝50a，
∴l＝5a；
（2）由题意得：m＝1000，y＝50，
∴（10+1000）l＝50（a+50），
∴101l﹣5a＝250；
（3）由（1）（2）可得：，
解得：；
（4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5（10+m）＝50（0.5+y），
∴；
（5）由（4）可知：，
当m＝100时，则有y＝5；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，读懂题意，根据题干的描述正确列出等式是解题关键．
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10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时）分层作业
基础训练
1．（2024 天津）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023 宜宾）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2023 甘孜州）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4.（2023 内蒙古）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜x场，负y场，则根据题意，列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.（2022 舟山）上学期某班的学生都是双人桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学期该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学期该班有男生x人，女生y人，根据题意可得方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（ ）
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
7．（2024 吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
9．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价．
能力提升
10．甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是13；这个两位数除以它的各位数字之和，商是4，余数是6，设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
12．在《算法统宗》里记载了一道趣题：
原文：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑!
意思是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问甜、苦果各买几个？
下列是四位同学的解答：
①小明：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为；
②小刚：设苦果买x个，甜果买y个，根据题意可列方程组为；
③小勇：设苦果买x个，甜果买（1000﹣x）个，根据题意可列方程为．
④小强：设苦果买x个，甜果买（1000﹣x）个，根据题意可列方程为．
其中，以上解答一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④
13．【问题呈现】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任委派学习委员小明为获奖同学每人购买一件奖品．小明到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买4本笔记本和2支钢笔，需要86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，需要57元．求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元．
【解法展示】设每本笔记本x元，每支钢笔y元．
根据题意，得（Ⅰ）
②×2，得6x+2y＝114．③
③﹣①，得2x＝28，
解得x＝14．
把x＝14代入②，得4×14+2y＝86，
解得y＝15，
所以原方程组的解为．
答：每本笔记本14元，每支钢笔15元．
【反思改进】
解二元一次方程组（Ⅰ）时，如果先化简方程①，再用加减消元法求解也很方便．请同学们按照这种思路，写出解方程组（Ⅰ）的过程．
（2）把题目中的数量关系列表表示如下：
笔记本/本 钢笔/支 总价/元
第一种情况 4 2 86
第二种情况 3 1 57
增加量 4﹣3＝1 2﹣1＝1 86﹣57＝29
请根据表格的提示，列出比二元一次方程组（Ⅰ）更简单的方程组解答此题，并写出完整的解题过程．
拔高拓展
14.（2023 广西）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务，
【知识背景】：如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m） l＝M （a+y），其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】：目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值；
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，用含m的代数式表示y；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
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