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10.4三元一次方程组的解法 分层作业
基础训练
1．下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A．π+x+y＝6 B．xy+y+z＝6
C．x+2y+3z＝9 D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z
2．下列四组数值中，（ ）是方程组的解．
A． B． C． D．
3．已知方程组，则x+y+z的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．三元一次方程组消去未知数c后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
5．若方程组的解满足k＝a+b+c，则点P（k+2，1﹣2k）在第 象限．
6．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 元．
7．解方程组：（1）． （2）．
8．已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且a+2b﹣c＝13，2a＝c+3，求三角形的三边长．
9．已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝3．
（1）求a、b、c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
能力提升
10．已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则 ．
11．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
拔高拓展
12．【数学问题】解方程组．
【思路分析】小明观察后发现可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
（2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组．
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10.4三元一次方程组的解法 分层作业
基础训练
1．下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A．π+x+y＝6 B．xy+y+z＝6
C．x+2y+3z＝9 D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z
【分析】含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可．
【解答】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意；
C、是三元一次方程，符合题意；
D、方程化简为：﹣x﹣2z＝0，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程是解答本题的关键．
2．下列四组数值中，（ ）是方程组的解．
A． B．
C． D．
【分析】①+③得出4a＝﹣4，求出a的值，②+③得出5a﹣2b＝﹣9，代入后求出b，即可求出答案．
【解答】解：
①+③得：4a＝﹣4，
解得：a＝﹣1，
②+③得：5a﹣2b＝﹣9④，
把a＝﹣1代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9，
解得：b＝2，
把a＝﹣1，b＝2代入①得：﹣1+2+c＝0，
解得：c＝﹣1，
故原方程组的解为，
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，能正确消元是解此题的关键．
3．已知方程组，则x+y+z的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】把三个方程相加，进行计算即可解答．
【解答】解：，
①+②+③得：
2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9，
∴x+y+z＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
4．三元一次方程组消去未知数c后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先消去未知数c可得，从而可得答案．
【解答】解：，
②﹣③得：3a+3b＝3即a+b＝1，
③×3+①得：5a﹣2b＝19，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键．
5．若方程组的解满足k＝a+b+c，则点P（k+2，1﹣2k）在第 四 象限．
【分析】将方程组中的三个方程相加后求得k的值，再将其代入k+2，1﹣2k中计算，最后根据各象限内点的坐标特征即可求得答案．
【解答】解：∵若方程组的解满足k＝a+b+c，
∴将方程组中的三个方程相加可得2a+2b+2c＝6，
∴k＝a+b+c＝3，
∴k+2＝5，1﹣2k＝﹣5，
则P（5，﹣5）在第四象限，
故答案为：四．
【点评】本题考查解三元一次方程组，二元一次方程组的解，点的坐标，结合已知条件求得k的值是解题的关键．
6．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 6 元．
【分析】设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要x元，y元，z元，根据题意列出三元一次方程组，再利用加减法求出x+y+z的值即可．
【解答】解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要x元，y元，z元，
根据题意，得，
①×3﹣②×2得3（3x+7y+z）﹣2（4x+10y+z）＝20×3﹣27×2，
整理，得x+y+z＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意，弄清题目中的数量关系是解题的关键．
7．解方程组：（1）． （2）．
【分析】利用加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进行解答．
【解答】解：（1）
③+①得，3x+5y＝11④，
③×2+②得，3x+3y＝9⑤，
④﹣⑤得2y＝2，y＝1，
将y＝1代入⑤得，3x＝6，
x＝2，
将x＝2，y＝1代入①得，z＝6﹣2×2﹣3×1＝﹣1，
∴方程组的解为．
（2），
②﹣①得：3x+3y＝3，
即x+y＝1④，
③﹣①得：24x+6y＝60，
即4x+y＝10⑤，
⑤﹣④得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入④得：3+y＝1，
解得：y＝﹣2，
把x＝3，y＝﹣2代入①得：3﹣（﹣2）+z＝0，
解得：z＝﹣5，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
8．已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且a+2b﹣c＝13，2a＝c+3，求三角形的三边长．
【分析】根据已知条件列出关于a，b，c的方程组，然后利用加减和代入消元法解方程组即可．
【解答】解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，
∴a+b+c＝30，
∴，
①+②得：2a+3b＝43④，
把③代入④得：c+3b＝40⑤，
①﹣②得：﹣b+2c＝17⑥，
⑥×3得：﹣3b+6c＝51⑦，
⑤+⑦得：c＝13，
把c＝13代入③得：a＝8，
把a＝8，c＝13代入①得：b＝9，
∴方程组的解为：，
∴三角形的三边长分别为8，9，13．
【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减和代入消元法解三元一次方程组．
9．已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝3．
（1）求a、b、c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
【分析】（1）把x、y的三对对应值分别代入y＝ax2+bx+c，列出方程组，再求解；
（2）把x＝﹣3代入y＝3x2﹣2x﹣5，求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5；
（2）当x＝﹣3时，y＝9×3+3×2﹣5＝28．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握消元思想是解题的关键．
能力提升
10．已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则 ﹣4 ．
【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知数 系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．
【解答】解：x+y+7z＝0①，
x﹣y﹣3z＝0②，
①﹣②，得2y+10z＝0，即y＝﹣5z，
①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，
∴4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，正确用z的代数式表示出x、y是解答本题的关键．
11．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
【分析】首先假设这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．根据题目说明，以及百位数是百位数字的100倍，十位数是十位数字的10倍，个位数就是个位数字列出方程组
通过加减消元法、代入法求得x、y、z的值，那么这个三位数也就确定．
【解答】解：这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．
由题意列方程组
②﹣③得 y＝14﹣y，即y＝7，
由①得x﹣z＝1⑤，
将y＝7代入③得 x+z＝7⑥，
⑤+⑥得2x＝8，
即x＝4，那么z＝3，
答：这个三位数是473．
【点评】解决本题的关键是根据百位数字、十位数字、个位数字与数值间的关系列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
拔高拓展
12．【数学问题】解方程组．
【思路分析】小明观察后发现可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
（2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组．
【分析】（1）把①代入②，求出x的值，再把x的值代入①，求出y的值；
（2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可．
【解答】解：（1）按照小明的思路，完成解方程组的过程如下：
，
把①代入②，得5x﹣2×2＝6，
∴x＝2，
把x＝2代入①得：2+y＝2，
∴y＝0，
∴；
（2），
把①代入③得：3+c＝0，
∴c＝﹣3，
把c＝﹣3代入②得：5a﹣9＝1，
∴a＝2，
把a＝2代入①得：2+b＝3，
∴b＝1，
∴．
【点评】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，正确进行计算是解题关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
