【2025春新教材】人教版七年级下册数学10.3 实际问题与二元一次方程组（第3课时）（教学设计）

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10.3 实际问题与二元一次方程组（第3课时）（教学设计）
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第十章“二元一次方程组”10.3.3 实际问题与二元一次方程组(3)，内容包括：能够根据题目较复杂的背景信息，列出二元一次方程组解决综合性的实际问题；掌握构建二元一次方程组解决综合性的实际问题的基本步骤．
2.内容解析
本节课设置了复杂的实际探究问题，让学生在探究如何利用二元一次方程组解决实际问题的过程中，分析问题中的各种数量关系，找出其中的相等关系，引进适当的未知数，列出相应的方程组，检验方程组的解是否符合实际意义等，从而进一步提高分析问题和解决问题的能力. 本节课的探究三，问题情境的背景信息比较复杂，学生需要对问题背景，包含的等量关系和要求的量进行描述，通过间接设未知数，构建方程组从而解决问题.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能够根据题目较复杂的背景信息，列出二元一次方程组解决综合性的实际问题.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）能够根据题目较复杂的背景信息，列出二元一次方程组解决综合性的实际问题.
（2）掌握构建二元一次方程组解决综合性的实际问题的基本步骤．
（3）通过探究实际问题，进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型、发展模型观念．
2.目标解析
（1）在纺织厂运输问题中，学生需从繁杂的背景信息里梳理出关键元素. 同时，还需挖掘隐藏信息，如运输货物量与费用之间的关系. 这要求学生对费用、运输量等数量关系有清晰理解，能从复杂背景中提取关键信息并转化为数学表达. 解决综合性实际问题的步骤：全面审题，合理设未知数，准确列方程组，正确解方程组，严谨检验，完整作答.
（2）从纺织厂复杂的运输实际场景构建数学模型，学生要聚焦于运输费用、运输量、运输方式等关键因素，将实际的运输过程简化为数学语言，用方程来描述它们之间的数量关系，理解数学模型是解决实际问题的有力工具. 通过解决本题，学生学会将构建的运输费用数学模型应用到其他类似运输情境中，并且在面对不同的运输问题时，能够根据具体情况对模型进行调整和优化，进一步提升学生的数学建模能力.
（3）面对复杂的运输背景信息，学生要整合各种信息，将其抽象为数学模型中的各个要素. 如把不同运输方式的费用、运输量等信息整合起来，用方程组进行抽象表达，提升学生对多元信息的整合和抽象概括能力，进一步发展数学抽象的核心素养.
三、教学问题诊断分析
1.信息提取与整理困难：运输问题背景复杂，学生难以从大量文字中精准提取关键信息. 如在探究三中，面对公路、铁路运输费用及可能存在的运输量关系等信息，部分学生可能会遗漏重要数据，或者混淆不同运输方式对应的费用和运输量，导致后续设未知数和列方程受阻. 这反映出学生在面对复杂情境时，信息筛选和整理能力不足，缺乏系统分析问题的经验.
2.方程组求解与结果应用失误：当成功列出方程组后，学生在运用代入消元法或加减消元法求解时，容易出现运算错误. 特别是当方程中系数较为复杂，涉及分数、小数运算时，错误率会显著增加. 这反映出学生对计算准确性和结果合理性的重视程度不够.
3.单位换算概念模糊：运输问题往往涉及多种单位，学生可能对不同单位之间的换算关系理解不清晰，导致计算出错.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：从实际情境中抽象出数学模型、准确找到等量关系列出二元一次方程组.
四、教学过程设计
（一）情景引入
视频播放：五种交通运输方式差异
（二）合作探究
探究3 如图，丝路纺织厂与 A，B两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂， 制成纺织面料运往B地．已知长绒棉的进价为3.08万元/t， 纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km) ，铁路运价为0.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费5 200元，铁路运费16 640．那么这批纺织面料的销售额比原料费 （原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？
分析 设购买x t长绒棉， 制成y t纺织面料．根据题中数量关系填表．
题目所求的是 42500y-(30800x+5200+16640) ，为此需先解出 x 与 y ． 由上表，列得方程组
解这个方程组，得
因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多 1 258 160 元．
（三）典例分析
例1 某运输公司有大小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5 t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35 t．3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？
解：设1辆大货车一次可以运货x t，1辆小货车一次可以运货y t.根据题意，列得方程组
解得
所以3x+5y=24.5.
答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨.
例2 七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查．上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180元．缆车票价如右表所示，他们购买了往返票和单程票各多少张？
解：设他们购买的往返票和单程票分别为x张，y张.根据题意，列得方程组
解得
答：他们购买的往返票和单程票分别为8张，12张.
例3 甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为30 km/h，平路的速度为40 km/h，下坡的速度为50 km/h，那么他从甲地骑到乙地需54 min，从乙地骑到甲地需42 min. 甲地到乙地全程是多少千米？
解：设甲地到乙地上坡路为x km，平路为y km，则乙地到甲地下坡路为x km，平路为y km.根据题意，列得方程组
解得
所以x+y=31.
答：甲地到乙地全程是31千米.
设计意图：不同类型的实际问题能促使学生从多元角度思考，锻炼逻辑思维，全面提升思维的灵活性与敏捷性.
（四）巩固练习
1. 甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（A）
A． B．
C． D．
2. 某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元．求篮球和排球的单价各是多少；
解：设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y元，由题意可得
，
解方程组得
，
答：篮球每个90元，排球每个65元.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
归纳总结
感受中考
1.（2024 山西）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克，根据题意得：
，
解得：
，
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
2.（2022 安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额+出口额．
（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y 1.25x+1.3y　
（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？
解：（1）由表格可得，2021年进出口总额为：1.25x+1.3y，
（2）由题意可得，
，
解得
，
∴1.25x＝400，1.3y＝260，
答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题10.3 第7题.
2.探究性作业：本章数学活动2 轮胎换位问题.
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