【2025春新教材】人教版七年级下册数学10.4 三元一次方程组的解法（教学设计）

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10.4三元一次方程组的解法 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第十章“二元一次方程组”10.4三元一次方程组的解法，内容包括：了解三元一次方程组的概念，会用消元法解简单三元一次方程组，能运用三元一次方程组解决简单实际问题．
2.内容解析
本节是选学内容，教材在已学二元一次方程组的基础上，通过类比二元一次方程组及二元一次方程组的解的概念，给出三元一次方程组及其解的概念. 三元一次方程组的解法是在学生掌握了二元一次方程组的解法的基础上呈现的，通过三元一次方程组的解法，继续让学生体会数学中消元和化归的思想，同时，进一步让学生形成数学建模思想，让学生进一步经历和体验消元、转化的思想方法，并对一次方程组及其解法有一个完整的认识.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：用代入消元法或加减消元法解三元一次方程组.
二、目标和目标解析
1.目标
（1） 了解三元一次方程组的概念，会用消元法解简单三元一次方程组，能运用三元一次方程组解决简单实际问题，进一步发展运算能力和应用意识.
（2）进一步体会“消元”和“转化”思想在解三元一次方程组中的作用，提高分析问题和解决问题的能力.
（3） 通过探索、尝试、比较等活动去发现一些规律，激发求知欲望和学习兴趣.
2.目标解析
（1）清晰认识三元一次方程组的概念. 理解其与二元一次方程组在未知数个数和方程结构上的差异. 明确三元一次方程组的解是一组能同时使三个方程成立的有序实数. 熟练掌握加减消元法和代入消元法. 通过两次消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，接着求解二元一次方程组，整个过程注重培养学生严谨的解题逻辑和运算能力. 在三元一次方程组的实际应用中，培养学生将实际问题抽象为数学模型并求解的能力.
（2）消元思想的核心是化归，通过逐步减少未知数的个数，将复杂的三元一次方程组问题转化为相对简单的二元一次方程组，进而转化为一元一次方程来求解. 这种转化过程，体现了数学解决问题的基本策略，让学生学会将未知转化为已知，将复杂问题简单化. 在实际解题中，引导学生观察方程的系数特征，合理选择消元的顺序和方法，以达到简化计算，提升思维的灵活性和敏捷性的目的.
（3）通过三元一次方程组的学习，着重培养学生多方面的能力. 运算能力上，要求学生精确运算，优化算法以提升运算效率；模型思想上，引导学生从实际问题抽象建模并验证求解，培养严谨的科学态度；逻辑推理上，借助演绎与归纳推理，训练学生有条理思考和总结规律的能力；创新意识上，鼓励解法创新和问题拓展，激发学生的探索精神；应用意识上，通过生活实际，让学生体会数学的实用价值，提升解决问题的实践能力.
三、教学问题诊断分析
通过前面的学习，学生已经会解一元一次方程和二元一次方程组，知道解二元一次方程组的基本思路是消元，能利用代入消元法和加减消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，并能列二元一次方程组解决一些实际问题. 这些为学生学习三元一次方程组奠定了知识基础.
三元一次方程组的解法比二元一次方程组的解法计算量大，所以学生在学习的过程中容易感到厌烦，可能不会完全积极投入到课堂的学习中.
七年级学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，具有较强的好奇心和求知欲，对于新的数学知识充满兴趣. 但同时，他们的注意力容易分散，需要教师通过生动有趣的教学方法来吸引他们的注意力；在这个阶段，学生的逻辑思维能力逐渐增强，但还不够成熟；他们能够进行简单的推理和分析，但对于复杂的问题可能会感到困难.
1. 由于本节内容为选学内容，因此对这部分内容不作硬性要求，可以弹性处理. 对学习基础比较好的学生，这一拓展要求是可以在教师的引导下实现的. 在教学时，注意控制题目的难度.
2. 由于三元一次方程组相关知识与二元一次方程组类似，所以可结合实例运用类比法学习三元一次方程组的有关概念，然后利用消元思想解三元一次方程组.
3. 尽管三元一次方程组与二元一次方程组的解法有许多类似之处，但三元一次方程组复杂得多，所以在教学的过程中，重点处理好与二元一次方程组解法中不同的环节，在比较的过程中学习新知识，使学生对消元思想有更深层次的认识.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：根据方程组的特点选择最佳的消元方法.
四、教学过程设计
（一）复习引入
（二）合作探究
问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2．按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？
分析 设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z，根据题意，列得方程组
这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
探究 怎样解这个三元一次方程组？
分析 把③分别代入①②并化简，得到二元一次方程组
解这个二元一次方程组，可以求出y和z，进而可以求出x．
解：把③分别代入①②并化简，得到二元一次方程组
⑤-④得： 7z=21
解得： z=3.
将z=3代入③中，得： x=14.
将z=3代入④中，得： y=5.
所以这个三元一次方程组的解为
.
追问 你还能用其他方法解这个三元一次方程组吗？
（三）典例分析
例1 解三元一次方程组.
分析 方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．
解：②×3+③，得：11x+10z＝35． ④
①与④组成方程组：
解这个方程组，得：
把x＝5，z＝-2代入②，得
2×5+3y-2＝9，
y＝．
因此，这个方程组的解为
追问 你还有其他解法吗？试一试，并与这种解法进行比较．
例2 在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝-1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值．
分析 把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式， 就可以得到一个三元一次方程组．
解：根据题意，列得三元一次方程组
②－①，得： a＋b＝1. ④
③－①，得： 4a＋b＝10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把a＝3，b＝-2代入①，得
c＝-5．
因此a，b，c的值分别为3，-2，-5．
例3 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数．
分析 把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组．
解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z． 根据题意，列得三元一次方程组
解这个方程组，得
因此这个三位数是473．
（四）巩固练习
1. 解下列三元一次方程组：
解：（1）由②得：y＝z+3． ④
把④代入①中，得：x-2z=-3. ⑤
③⑤组成方程组：
解这个方程组，得：
把z＝12.5代入④，得
y＝15.5．
因此，这个方程组的解为
.
解：（2）②×2-③得：5x+27z=34．④
①④组成方程组
解这个方程组，得：
把x=5，z＝代入③，得
y＝-2．
因此，这个方程组的解为
.
解：（3）①+②-③得：y＝1．
把y＝1代入①中，得：x=2.
把y＝1代入②中，得：z=3.
因此，这个方程组的解为：
.
追问 同学们还有其他解法吗？
解：（4）①+②得：5x+2y＝16. ④
②+③得：3x+4y=18. ⑤
④⑤组成方程组：
解这个方程组，得：
.
把x=2，y=3代入③，得
z＝1．
因此，这个方程组的解为
.
2.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的. 求这三个数．
解：设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z.根据题意，列得方程组
解得
答：甲、乙、丙三个数分别为10，15，10.
3.在等式z＝ax＋by＋c中，当x＝1，y＝2时，z＝8；当x＝2，y＝1时，z＝5；当x＝-1，y＝-1时，z＝4．求a，b，c的值．
解：根据题意，列得方程组
解得
答：a，b，c的值分别为-1，2，5.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
归纳总结
（六）小结梳理
（七）布置作业
1.必做题：习题10.4 第1，3题.
2.探究性作业：习题10.4 第5题.
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