【2025春新教材】人教版七年级下册数学10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时）（教学设计）

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10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第十章“二元一次方程组”10.3.1 实际问题与二元一次方程组(1)，内容包括：能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．掌握构建二元一次方程组解决简单实际问题的基本步骤.
2.内容解析
本节课设置了较简单的实际探究问题，让学生在探究如何利用二元一次方程组解决实际问题的过程中，分析问题中的各种数量关系，找出其中的相等关系，引进适当的未知数，列出相应的方程组，检验方程组的解是否符合实际意义等，从而进一步提高分析问题和解决问题的能力. 本节课的探究一，通过实际生活中的牛饲料问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，运用二元一次方程组来解决，这不仅是对之前所学知识的深化和应用，更是培养学生数学建模思想和实际问题解决能力的重要载体，也为后续学习更复杂的实际问题和其他数学模型奠定基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.
（2）掌握构建二元一次方程组解决简单实际问题的基本步骤．
（3）通过探究实际问题，进一步体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型、发展模型观念．
2.目标解析
（1）学生需要掌握如何从实际问题中提取关键信息，梳理出数量关系，并能将实际的数量关系转化为二元一次方程组. 学生在列出方程组后，要运用已学的代入消元法或加减消元法求解. 求出未知数的值后，要明确其在实际问题中的意义，这才完成了从数学计算到实际应用的转化，让学生体会到数学知识在解决实际问题中的实用性.
（2）从饲养牛的实际场景到构建二元一次方程组的过程，体现了数学建模思想. 在这个过程中，学生学会将复杂的现实情境简化为数学语言，理解数学模型是对现实世界的一种近似刻画，通过求解模型来解决实际问题，为今后解决更复杂的实际问题提供了一种通用的方法和思路.
方程思想贯穿整个解决问题的过程. 当面对牛饲料问题时，学生通过设未知数，将未知量与已知量通过等式关系联系起来，形成方程. 在此过程中，学生认识到方程是解决含有未知量问题的有力工具.
（3）在解决牛饲料问题过程中，学生需要从具体的饲养场景中抽象出数学概念和数量关系，这一过程培养了学生的数学抽象素养. 学生能够摒弃实际情境中的非本质因素，抓住问题的数学本质，将现实问题转化为数学问题，这是数学抽象素养的重要体现.
求解二元一次方程组需要学生进行一系列的数学运算，在这个过程中，学生要熟练掌握运算规则，准确进行计算，以求出方程组的解. 良好的数学运算素养不仅能保证学生正确地解决数学问题，还能提高学生解决问题的效率.
从分析题目中的数量关系，到列出方程组，再到选择合适的方法求解方程组，整个过程都离不开逻辑推理. 逻辑推理素养的培养，有助于学生有条理地思考问题，提高分析问题和解决问题的能力，使学生能够更加理性地面对数学学习和实际生活中的各种问题.
三、教学问题诊断分析
1.提取关键信息与构建方程组困难：部分学生在面对实际问题时，可能难以从冗长的文字描述中准确提取关键信息，导致不能顺利设出未知数并列出方程.这可能是由于学生缺乏对实际问题的分析经验，不熟悉如何将生活场景转化为数学语言.
2.求解方程组的运算错误：即使学生成功列出了二元一次方程组，在运用代入消元法或加减消元法求解时，也容易出现运算错误.这可能是由于学生对运算规则的掌握不够熟练，缺乏细心和耐心.
3.方程思想应用不灵活：部分学生在寻找等量关系时，只局限于题目中明显给出的数量组合，而不能通过深入分析挖掘出潜在的等量关系.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：从实际情境中抽象出数学模型、准确找到等量关系列出二元一次方程组.
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题 （2024 深圳）《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？
（二）合作探究
探究1 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天需饲料7～8 kg．你能通过计算检验他的估计吗？
分析 设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg．
解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg．根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组
解这个方程组，得．
这就是说，每头大牛1天约需饲料 20 kg， 每头小牛1天约需饲料 5 kg．因此，饲养员李大叔对大牛食量的估计 较准确 ，对小牛食量的估计 偏高 ．
（三）典例分析
例1 为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？
解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元.根据题意，列得方程组
解得
答：1盏甲型节能灯的售价是5元，1盏乙型节能灯的售价是7元.
例2 学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生借阅. 第一次买了2套《西游记》和3套《水浒传》，共花费151元；第二次买了4套《西游记》和2套《水浒传》，共花费178元．每套《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元？
解：设每套《西游记》和《水浒传》的价格分别为x元，y元.根据题意，列得方程组
解得
答：每套《西游记》和《水浒传》的价格分别为29元，31元.
例3 某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由7 020元上升为8 520元， 原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由240元/t上调为300元/t，建筑垃圾清运费的收费标准由150元/t上调为180元/t．这家公司去年的餐厨垃圾和建筑垃圾各有多少吨？
解：设这家公司去年的餐厨垃圾为x t，建筑垃圾为y t. 根据题意，列得方程组
解得
答：这家公司去年的餐厨垃圾为8 t，建筑垃圾为34 t.
问题解决 （2024 深圳）《算法统宗》里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？
解：设李三公家的店有x间客房，来了y个房客.根据题意，列得方程组
解得
答：李三公家的店有8间客房，来了63个房客.
设计意图：例1例2难度较低，能让学生快速上手，巩固基础知识，如根据简单数量关系列出方程，增强自信心. 例3难度稍有上升，可引导学生深入思考. 最后，解决引课问题可让学生前后知识贯通，明确知识的关联性与应用场景，形成完整知识体系，还能强化本节课重点，攻克难点，提高学生解决实际问题的能力.
（四）巩固练习
1. 一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（C）
A． B．
C． D．
2. 学校计划采购一批白色和彩色无尘粉笔，若购买白色无尘粉笔3盒、彩色无尘粉笔2盒，共需34元；若购买白色无尘粉笔2盒、彩色无尘粉笔3盒，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用①﹣②可得x﹣y＝﹣2，下列关于“x﹣y＝﹣2”的意义解释正确的是（C）
A．每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔贵2元
B．白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔多买了2盒
C．每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔便宜2元
D．白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔少买了2盒
3.“践行垃圾分类 助力“双碳”目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（A）
A． B．
C． D．
4.为增强学生体质，舒缓学习压力，培养团队意识，增进班级凝聚力．某校初三年级组织了一场拔河比赛，并为获得一等奖和二等奖共8个班级购买奖品，共花费600元，其中一等奖奖品每班100元，二等奖奖品每班60元，求获得一等奖和二等奖的班级分别有多少个？
解：设获得一等奖和二等奖的班级分别有x个和y个.根据题意，列得方程组
解得
答：获得一等奖和二等奖的班级分别有3个和5个.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
归纳总结
感受中考
1.（2024 赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（C）
A． B．
C． D．
2.（2023 益阳）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（A）
A． B．
C． D．
3.（2024 天津）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（A）
A． B．
C． D．
4.（2024 安徽）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷，根据题意得：
，
解得：
．
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题10.3 第1，2，4题.
2.探究性作业：习题10.3 第8题.
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