05 鸽巢问题（答案）—2025年小升初数学专项训练（人教版）

2025年小升初数学奥数专项训练（人教版）
05 鸽巢问题
一、填空题
1．王东玩掷骰子的游戏，要保证掷出的点数至少有5次相同，他至少要掷　 　次骰子。
2．在下面的盒子中摸球，最少取出　 　个球，可以确保一定有两个球的颜色相同。
3．盒子里有同样大小的红球、黑球和白球各10个，要保证摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出　 　个球；要保证摸出的球三种颜色都有，至少要摸出　 　个球。
4．盒子里有5个红球、4个黄球、3个篮球，这些球除颜色外其他均相同。从中摸出一个球，摸出　 　球的可能性最大；至少从中摸出　 　个球，才能保证三种颜色的球都有。
5．木箱里装有红色球 3 个、黄色球 5 个、蓝色球 7 个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出　 　个球。
6．有红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出　 　个，才能保证有6个小球是同色的。
7．将红、黄、蓝三种颜色的帽子各8顶放入一个盒子里，蒙着眼睛去取，要保证取出的帽子至少有两顶是同颜色，应至少取出　 　顶帽子；至少取出　 　顶能保证有一顶黄帽子。
8．一副中国象棋，黑方有将、车、马、炮、士、相、卒16个子，红方有帅、车、马、炮、士、相、兵16个子.把全副棋子放在一个盒子内，至少要取出　 　个棋子来，才能保证有3个同样的子（例如3个车或3个炮等）.
9．口袋里装有黑袜子10只、白袜子11只、红袜子9只、黄袜子8只，随机从中最少　 　只袜子就能保证有两只袜子是同种颜色的。
10．某小学每天有600名学生中午在学校吃套餐：一荤、一素、一汤和一份米饭，某天中午，食堂准备了3种荤菜、3种素菜、2种汤和一种米饭。那么，至少有　 　名学生吃同样的套餐。
11． 一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基准分10分，每道题答对3分，答错扣1分，不答不得分。要保证至少有4人得分相同，至少需要（　　）人参加竞赛。
12．把3块饼干放入2个小盒子里。
无论怎样放，总有一个盒子里至少要放入（　　）块饼干。
二、单选题
13．将红、黑、白三种颜色的小球各4个放进口袋里，为了保证一次能取到三种不同颜色的小球，一次至少取（　　）个。
A．9 B．5 C．4
14．要清楚地反映果园里各种果树的棵数同果树总棵数之间的关系，应选用(　　)统计图。
A．条形 B．折线 C．扇形
15．箱子里有黑、黄、红三色的筷子各8根，想从箱子里摸出两双，至少要摸出（　　）根。
A．5 B．6 C．10
16．5名篮球队员练习投篮，共投进46个球，总有1名队员至少投进（ ）个球。
A．9 B．10 C．11
17．给一个正方体的六个面涂上红、黄、绿、紫四种颜色（每个面只涂一种颜色），不论怎么涂，至少有（　　）个面涂的颜色相同。
A．5 B．4 C．3 D．2
18．一副扑克牌有54张，去掉大小王后，最少要抽取（　　） 张牌，才能保证其中至少有2张牌的点数相同。
A．9 B．13 C．14 D．27
19．从自然数1至100中任意选出m个数，使得这m个数中必有一个数可以整除剩下m--1个数的乘积， 则m的最小值为 (　　)。
A．5 B．10 C．25 D．26 E．27
20．把20个苹果分给6个小朋友，不管怎么分，总有一个小朋友至少分到（　　）个苹果。
A．3 B．4 C．5 D．6
21．给一个正方体的六个面涂上红、黄、绿、紫四种颜色（每个面只涂一种颜色），不论怎么涂，至少有（　　）个面涂的颜色相同。
A．4 B．3 C．2 D．1
22．一个口袋有红、黄、蓝三种不同颜色的小球各10个，要保证摸出10个相同颜色的小球，至少要摸出（　　）。
A．10个 B．11个 C．21个 D．28个
三、判断题
23．有13名同学组队参加比赛，这13名同学中，至少有2名同学属相相同。（　　）
24．5只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。（　　）
25．一个布袋装有红、黄、蓝三种颜色的球各12个，最少要摸出10个球，才能让摸出来的球中至少有4个球颜色相同。（　　）
26．把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉里至少放进3本书。（　　）
27．用三种颜色给正方体的6个面涂色（每个面只涂一种颜色），至少有两个面涂色相同。（　　）
四、解答题
28．把13个苹果放在4个篮子里，总有1个篮子里至少有4个苹果，为什么
29．把白色、黑色和灰色的袜子各3只混放在抽屉里，如果闭上眼睛，每次最少拿出几只才能保证有一双同色的袜子？如果要保证有2双同色的呢？（指一双袜子为其中一种颜色，另一双袜子为另一种颜色，2只袜子为一双）
30．在一个直径为2m的圆形花坛周围放上7盆花，那么至少有2盆花之间的距离不超过1m，为什么 （通过计算后画图说明）
答案解析部分
1．25
解：6×（5－1）＋1
＝6×4＋1
＝24＋1
＝25（次）
故答案为：25。
骰子有6个面，所以根据抽屉原理，把6看作抽屉数，要保证至少一个骰子点数有5次相同，那掷出的次数应该是6×4＋1次。
2．4
解：3+1=4（个）
故答案为：4。
根据鸽巢原理，盒中有三种颜色的球，所以至少要取出4个球。
3．4；21
解：3+1=4（个）
（3-1）×10+1=21（个）
故答案为：4，21。
盒子里有n种颜色的球各m个，要保证摸出的球一定有2个同色的至少要摸出n+1个球；要保证摸出的球三种颜色都有，至少要摸出（n-1）×m+1个球，据此解答即可。
4．红；10
解：从中摸出一个球，摸出红球的可能性最大；至少从中摸出5+4+1=10个球，才能保证三种颜色的球都有。
故答案为：红；10。
这些球中，哪种颜色的球的个数越多，摸到这种球的可能性就越大；
考虑最不利的情况，先把这3中颜色的球中个数较多的2种全部取出，然后再取1个就能保证三种颜色的球都有。
5．4
解：3+1=4（个）；
答：为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出4个球．
故答案为：4．
从最极端情况分析，假设前3个球都摸出的是红球、黄球、篮球各一个，再摸1个只能是这三种颜色中的一个，即最少要取出4个球，能保证取出的球中有两个球的颜色相同；据此解答．
6．16
5×3+1=16（个）
故答案为：16
把红黄白三种颜色分别看做3个抽屉、最差情况：摸出15个小球，每个抽屉都有5个小球，此时再任意摸出1个小球，无论放到哪个抽屉都会出现6个颜色相同的小球，所以15+1=16个。
7．4；17
解：3＋1=4（顶）
8×2＋1=17（顶）。
故答案为：4；17。
要保证取出的帽子至少有两顶是同颜色，最差的情况是每次取出的都是不同颜色的帽子。红、黄、蓝三种颜色，所以最差情况下取出3顶帽子后，每种颜色各一顶。再取出1顶，无论颜色为何，都会与之前取出的某一顶颜色相同。因此，至少需要取出4顶帽子，才能保证至少有两顶是同颜色。
要保证有一顶黄帽子，最差的情况是先取出的都是非黄色的帽子。红和蓝两种颜色各有8顶，合计16顶。因此，最差情况下可以连续取出16顶非黄色的帽子。为了确保取出的帽子中至少有一顶是黄色的，需要再取出1顶，即总共需要取出17顶帽子。
8．17
解：至少要要取出1个棋子来，才能保证有3个同样的子。
故答案为：17。
如只取16个，则当将帅各1，车马士相炮卒兵各2时，没有3个同样的子，那么无论再取一个什么子，这种子的个数就有3个3。故至少要取17个子。
9．5
解：4+1=5（只），所以随机从中最少5只袜子就能保证有两只袜子是同种颜色的。
故答案为：5。
考虑最不利的情况，先把每种颜色的袜子各取1只，再多取1只，就能保证有两只袜子是同种颜色的。
10．34
解：3×3×2×1=18（种），600÷18=33（名/种）余6（名），33+1=34（名），因此至少有34名学生吃同样的套餐。
故答案为：34。
“食堂准备了3种荤菜、3种素菜、2种汤和一种米饭”，根据抽屉原理就可以组成18种套餐。600名学生来分18种套餐，因此每种套餐会有33名学生来吃，这样就剩下6名学生没办法均匀分配，所以剩下的这6人不管怎么选都是在这18种套餐中选择，因此至少有34名学生吃同样的套餐。
11．115人
解：最高可得4×10=40（分），最低是倒扣：1×10=10（分），得10-1×10=0分，共有40+1=41（种）不同分数。
答对与答错之间的分数差为3+1=4分；答对一题和空一题之间相差3分，所以最高分40分，对9道题的情况下，最高分为40-3=37分，最低分为40-3-1=36（分），中间的38分和39分都不会出现，后面对8道题的情况下，最多得40-2×3=34分，最少得40-2×4=32分，中间的35分不会出现，因此一共有41-2-1=38种分数；
为了保证至少有4人得分相同，那么参加竞赛的学生至少有：38×3+1=115（人）。
故答案为：115。
按这种记分方法，最高可得40分，最低是倒扣10分，得10-1×10=0分，共有40+1=41种不同分数。对1题加3分，答错1题扣1分，答对与答错之间的分数差为3+1=4分；答对一题和空一题之间相差3分，所以最高分40分，对9道题的情况下，最高分为40-3=37分，最低分为40-3-1=36（分），中间的38分和39分都不会出现；后面对8道题的情况下，最多得40-2×3=34分，最少得40-2×4=32分，35分不会出现，因此一共有41-2-1=38种分数，然后根据抽屉原理计算参加竞赛的人数即可。
12．2
解：3÷2=1（块）……1（块）
至少：1+1=2（块）
故答案为：2。
抽屉原理的公式：a个物体放入n个抽屉，如果a÷n=b……c，那么有一个抽屉至少放（b+1）个物体，此题中抽屉是盒子，物品是饼干，据此解答。
13．A
解：4+4+1=9（个）
故答案为：A。
首先需要考虑的是最坏的情况，也就是取到的小球都是同一种颜色，或者最多只有两种颜色。因此，我们先假设取到的前8个小球都是红球和黑球（即每种颜色各4个），然后再取一个小球，这个小球就一定是白球。因此，为了保证一次能取到三种不同颜色的小球，一次至少需要取9个小球。
14．C
解：要清楚地反映果园里各种果树的棵数同果树总棵数之间的关系，应选用扇形统计图。
故答案为：C。
条形统计图特点：可以清楚地看出数量的多少；折线统计图特点：不但可以表示数量的多少，还可以清楚的看出数量的增减变化情况；扇形统计图特点：可以看出各个部分数量与总数之间的关系，据此结合题意选择合适的统计图。
15．B
解：3×2=6（根）
故答案为：B。
当我们将6根筷子分配到3种颜色的“鸽巢”中时，至少有一个“鸽巢”中会有2根或更多的筷子。因此，至少需要摸出6根筷子，才能保证摸出两双筷子。
16．B
46÷5＝9（个）……1（个）
9＋1＝10（个）
答：总有1名队员至少投进10个球．
故答案为：B．
将5名队员投进的球作为抽屉，将46个球放入抽屉中，根据抽屉原理，至少有一个抽屉中放了10个球；
17．D
解：6÷4=1……2，1+1=2，所以至少有2个面涂的颜色相同。
故答案为：D。
因为只涂四种颜色，那么考虑最不利的情况，用正方体面的个数除以4，因为有余数，所以至少有颜色相同的面的个数就是将计算得出的商加1即可。
18．C
解：（54-2）÷4
=52÷4
=13（张）
13＋1＝14（张）
故答案为：C。
建立抽屉：一副扑克牌有54张，去掉大小王后，那么（54－2）÷4＝13，所以一共有13个抽屉；分别是：2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A；根据抽屉原理，考虑最差情况：每个抽屉都摸出了1张牌，共摸出13张牌，此时再任意摸出一张，无论放到哪个抽屉，都能保证其中至少有2张牌有相同的点数。
19．D
自然数1至100中的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个数，这25个两两互质，选出那26个数，随便怎么挑，总有一个是合数，而且可以被以上25个质数中的某一个整除，则m = 26。
故答案为：D
首先，我们需要找出1到100中的所有质数。质数是指只能被1和它本身整除的数。我们可以列出所有的质数。2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
接下来，我们需要利用抽屉原理。抽屉原理告诉我们，如果有n个抽屉和n＋1个物品，那么至少有一个抽屉里会有两个或更多的物品。在这个问题中，我们有25个质数，它们两两互质。如果我们选出26个数，那么根据抽屉原理，至少有一个数是合数，并且可以被这25个质数中的某一个整除。
解：20÷6=3……2，3+1=4，所以总有一个小朋友至少分到4个苹果。
故答案为：B。
考虑最不利的情况，先给每个小朋友平均分，这样就有剩下的，所以再给小朋友分一个苹果，即总有一个小朋友至少分到3+1=4个苹果。
21．C
解：6÷4=1……2，所以至少有2个面涂的颜色相同。
故答案为：C。
本题属于抽屉原理，即先把这4种颜色都涂一面，用6÷4，经过计算，商是1，而且有余数，所以至少有2个面涂的颜色相同。
22．D
3×9+1=28；
故答案为：D。
三种颜色的小球共有10×3=30个，每个小球被摸出的概率均相同，为；首先分析最不利的情况，是每个颜色都摸出9个，接下来摸出任何一个颜色，都可以凑够10个同样颜色的小球。
23．正确
解：13÷12=1（名）······1（名）
1＋1=2（名）。
故答案为：正确。
抽屉原理，至少在同一抽屉里相同物体的个数=物体总个数÷抽屉的个数＋1。
24．正确
解：5÷3=1（只）……2（只）；
1+2=2（只）； 总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
故答案为：正确。
本题为抽屉问题，从最坏的角度出发，每一个笼子飞进1只鸽子，还剩2只鸽子无论怎么进入笼子， 总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
25．正确
解：一个布袋装有红、黄、蓝三种颜色的球各12个，最少要摸出10个球，才能让摸出来的球中至少有4个球颜色相同。原题说法正确。
故答案为：正确。
如果每种颜色的球各摸出3个，共摸出9个，那么再摸出1个球无论是什么颜色都能保证至少有4个颜色相同的球。
26．正确
7÷3=2（本）……1（本）
2+1=3（本）
故答案为：正确。
把7本书放进3个抽屉，如果每个抽屉放2本书，那么剩下的1本不管放到哪个抽屉，总有一个抽屉里至少放进3本书。
27．正确
解：要验证这个命题是否正确，我们只需将6个面视作6个物体，三种颜色视作三个容器。根据鸽巢原理，当6个物体（即6个面）被分配到3个容器（即3种颜色）时，由于6大于3，因此至少有一个容器（即一种颜色）中会包含两个或两个以上的物体（即两个或两个以上的面）。这也就意味着，至少有两个面会被涂上相同的颜色。
具体来说，假设我们先将其中三个面涂上一种颜色，再将另外三个面涂上另外两种颜色，这样，每种颜色至少会涂到两个面，这正好符合题目中“至少有两个面涂色相同”的条件。即便我们采用最平均的分配方式，即每种颜色各涂两个面，也仍然满足题目的条件。
故答案为：正确。
本题主要考察鸽巢原理（也称抽屉原理），其核心思想为：如果有n个物体放进m个容器中，且n>m，那么至少有一个容器里放了两个或两个以上的物体。在此题中，"物体"是正方体的6个面，而"容器"则是可以涂的三种颜色。因此，根据鸽巢原理，至少会有两个面被涂上相同的颜色。
28．解：3×4=12（个）
12+1=13（个）
如果每个篮子里最多放3个苹果，那么4个篮子里最多放12个苹果，可是现在有13个苹果，所以总有1个篮子里至少放4个苹果。
如果每个篮子里最多放3个苹果，那么4个篮子里最多放3×4=12个苹果，可是现在
有13个苹果，所以总有1个篮子里至少放4个苹果。
29．解：3＋1=4（只）
3×2=6（只）
答：每次最少拿出4只才能保证有一双同色的袜子，如果要保证有2双同色的，至少拿出6只。
最坏的情况是三种颜色的袜子各拿一只，最少再拿一只保证有一双同色的袜子； 如果要保证有2双同色的，至少拿出6只。
30．解：3.14×2=6.28（m）
1×6=6（m）
6.28-6=0.28（m）
因为0.28<1，所以第七盆和第一盆之间的距离小于1，即至少有2盆花的距离不超过1m。
圆的周长=πd，一个直径为m的圆形花坛周长是3.14×2=6.28（m），分析题意，7盆花之间有7段，设其中6段是1m，先求出6段的长度是1×6=6（m）；用圆的周长减去其中6段的长度，求出第一盆到第七盆之间的长度是6.28-6=0.28（m），0.28<1，第七盆和第一盆之间的距离小于1，至少有2盆花的距离不超过1m。