九年级数学下册试题 26.1.2反比例函数及其图像与性质-人教版（含详解）

26.1.2反比例函数及其图像与性质
一、单选题
1．下面的三个问题中都有两个变量：
①面积一定的等腰三角形，底边上的高y与底边长x；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；
③计划从A地到B地铺设一段铁轨，每日铺设长度y与铺设天数x．
其中，变量y与变量x满足反比例函数关系的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2.已知反比例函数y＝﹣，下列说法中错误的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣4）
B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称
D．y随x的增大而增大
3.反比例函数y＝（2m﹣1）x的图象在第二，四象限，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．﹣或
4．反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B． C． D．m≥
5．已知反比例函数y＝，下列结论中，不正确的是（　　）
A．图象必经过点（1，2）
B．y的值随x值的增大而减小
C．图象在第一、三象限内
D．若x＞1，则0＜y＜2
6．对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是（　　）
A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称
7．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
8．已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数（k为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a
9.已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
10．反比例函数y＝与二次函数y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．当m＝　 　时，函数y＝（m2+2m）是反比例函数．
12．如图，反比例函数y＝（k＜0）的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点坐标为（﹣2，1），那么B点的坐标为　 　．
13．若反比例函数y＝的图象不经过第一象限，则k的取值范围是 　 　．
14．已知反比例函数的图象上两点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），若y1＜y2，则m的取值范围是 　　．
三、解答题
15．已知函数．
（1）若y是关于x的正比例函数，求m的值；
（2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
16．已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小．
17．已知反比例函数的图象经过点A（6，1）．
（1）求k的值；
（2）若点B（x，y）也在反比例函数的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交与、B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点P在反比例函数第三象限的图象上，使得的面积最小，求满足条件的P点坐标及面积的最小值．
19．如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边， ，且轴．
(1)若点C在反比例函数（）的图象上，求该反比例函数的解析式；
(2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，取的中点M，将线段沿着y轴上下移动，线段的对应线段是，直接写出四边形周长的最小值．
20．定义：对于函数图像上任意一点（，），当满足（m、n为正实数）时，函数图像上都存在唯一的点（，），其中，使得成立，则称该函数在时为“依赖函数”．
(1)判断函数在时是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数（）在时是“依赖函数”，求k的值；
(3)已知函数（）在时是“依赖函数”，且在时不等式对于任意实数t都成立，求实数s的取值范围．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积；
(3)以线段为对角线做正方形（如图），点是线段（不与点、重合）上的一动点，是的中点，交于，当点在上运动时，请直接写出线段长度的取值范围．
答案
一、单选题
1．
【解答】解：①由题意得，等腰三角形的面积一定，底边上的高y与底边长x是反比例函数，符合题意；
②速度一定，泳池中的剩余水量y与放水时间x是正比例函数，不合题意；
③从A地到B地的距离一定每日铺设长度y与铺设天数x是反比例函数，符合题意；
所以变量y与变量x满足反比例函数关系的是①③．
故选：B．
2.【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣4＜0，
∴图象在二，四象限内，故B选项正确，不符合题意；
∵﹣4×1＝﹣4，
∴图象必经过（1，﹣4），故A选项正确，不符合题意；
图象关于直线y＝x对称，故C选项正确，不符合题意；
∵反比例函数y＝中，k＝﹣4＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
3.【解答】解：∵反比例函数y＝（2m﹣1）的图象在第二、四象限，
∴2m﹣1＜0，且m2﹣2＝﹣1，
解得：m＜，且m＝±1，
则m＝﹣1．
故选：A．
4.【解答】解：根据题意得：1﹣2m＜0，
解得：m＞．
故选：C．
5.【解答】解：A、反比例函数y＝，所过的点的横纵坐标之积＝2，此结论正确，故此选项不符合题意；
B、反比例函数y＝，在每一象限内y随x的增大而减小，此结论错误，故此选项符合题意；
C、反比例函数y＝，图象在第一、三象限内，此结论正确，故此选项不合题意；
D、反比例函数y＝，当x＞1时图象在第一象限，y随x的增大而减小，故x＞1时0＜y＜2；
故选：B．
6.【解答】解：反比例函数y＝的图象关于原点中心对称、关于直线y＝x对称、关于直线y＝﹣x对称，
∵它的图象在第一、三象限，
∴不关于x轴对称，
A、B、C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意，
故选：D．
7.【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣1，﹣2）．
故选：A．
8.【解答】解：∵k2﹣2k+2＝（k+1）2+1≥1，
∴函数（k为常数）在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜0＜2＜3，
∴a＜0，b＞c＞0，
∴a＜c＜b，
故选：A．
9.【解答】解：∵反比例函数y＝中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）位于第三象限，
∴y2＜y1＜0，
∵3＞0，
∴点C（3，y3）位于第一象限，
∴y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
10.【解答】解：当k＞0时，二次函数y＝﹣kx2+k的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数y＝图象在第一、三象限；
当k＜0时，二次函数y＝﹣kx2+k的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴；反比例函数y＝图象在第二、四象限，故选项D正确；
故选：D．
二、填空题
11.【解答】解：∵y＝（m2+2m）是反比例函数，
∴，
解之得m＝1．
故答案为：1．
12.【解答】解：∵点A与B关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，1），
∴B点的坐标为（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
13.【解答】解：∵反比例函数y＝的图象不经过第一象限，
∴反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，
∴1﹣3k＜0，
∴k＞，
故答案为：k＞．
14.【解答】解：∵反比例函数的图象上两点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），y1＜y2，
∴反比例函数图象在第二、四象限，
∴2﹣m＜0，
解得，m＞2．
故答案为：m＞2．
三、解答题
15.解：（1）由y＝（m2﹣2m）是正比例函数，得
m2﹣m﹣1＝1且m2﹣2m≠0，
解得m＝﹣1；
（2）由y＝（m2﹣2m）是反比例函数，得
m2﹣m﹣1＝﹣1且m2﹣2m≠0，
解得m＝1．
故y与x的函数关系式y＝﹣x﹣1．
16.解：（1）∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2；
（2）∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣4＜﹣1＜0，
∴y1＜y2．
17.解：（1）∵反比例函数过点B（6，1），
∴k＝6×1＝6；
（2）∵k＝6＞0，
∴当x＞0时，y随x值增大而减小，
当x＝2时，y＝3，当x＝6时，y＝1，
∴当2≤x≤6时，1≤y≤3．
18.（1）解：将代入得：
，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
联立一次函数和反比例函数解析式得：
，
整理得：，
解得：或，
当时，，
∴；
（2）解：由题意得：将直线进行平移，当平移后的直线与反比例函数第三象限的图象只有一个交点时，的面积最小，
设直线平移后的直线的解析式为：，
联立一次函数和反比例函数解析式得：
，
整理得：，
则：，
解得：，
当时，，解得：（不符合题意，舍掉）；
当时，，解得：；
当时，，
∴，
如图：过作轴，轴，过作轴，与交于点，过作轴，与交于点，与交于点，
则：，
．
19.（1）解：（1）如图1中，作轴于．
轴，轴，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
反比例函数的解析式为．
（2）解：如图2中，作于，交反比例函数图象于，连接，．
是等边三角形，面积为，设，则，
，
或（舍弃），
，，，
N点纵坐标为1，
代入可得，
，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形，
存在点N，使四边形是菱形，此时．
（3）解：如图，作点C关于y轴对称点，过点N作轴，交延长线于点D，在上截取，连接交y轴于，此时，四边形最小，最小值为，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
由（2）知，，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵C关于y轴对称点，
∴，
∵ ，，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
∴
∴四边形周长的最小值为．
20.（1）解：时，，
若，则，此时，不在3≤x≤4，内，
所以函数在时不是“依赖函数”.
（2）当k＞0时，函数y=kx+2在1≤x≤5时随x的增大而增大；
k＜0时，y=kx+2在1≤x≤5时随x的增大而减小，
当x=1时，y=k+2，当x=5时，y=5k+2，
∴当时，函数y=kx+2在1≤x≤5时为“依赖函数”，
，
解得，
又k≠0，
∴.
（3）若，
函数在时最小值为0，此时不存在；
∴a＞4，
此时函数在时y随x的增大而减少，
∵函数在时为“依赖函数”，
∴，
解得 a=2（舍去）或a=5；
∴a=5，
∵存在x在时，使得对于任意实数t的不等式成立,即对于任意实数t都成立，
∴恒成立，
化简可得，
∵，
∴在时恒成立，
∴只要9即可，
解得．
21.（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴对于函数，当时，，解得，
∴，
∴点A的坐标为，
∴；
（2）解：如图所示，过点C作轴于E交于F，
∵，
∴A为的中点，
∵点D在x轴上，点A的坐标为，
∴点C的纵坐标为6，
∴点C的横坐标为，
∴点C的坐标为，
∴点F的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点A作轴于H，连接，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，
∴点E的坐标为，
∵直线与y轴交于B，
∴点B的坐标为，
同理可得点F的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
∵，M是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴
，
∵G在上（不包括B、F），
∴，
∴，
∴，
∴．