余姚中学 2024 学年第二学期质量检测高二数学学科试卷参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ａ Ａ Ｂ
f (x) ( ) 2x ( ) f ( x) + e4x8.【解析】令 g (x) = ，所以 f x = e g x ，因为 f ( x) = 0，所以
e2x
e2x g (x)+ e4x e 2x g ( x) = 0，化简得 g (x)+ g ( x) = 0，
所以 g ( x)是 ( 3,3)上的奇函数；
f (x)e2x 2e2x f (x) f (x) 2 f (x)
g (x) = = ，
e4x e2x
因为当0 x 3时， f ( x) 2 f ( x)，
所以当 x 0,3)时， g (x) 0，从而 g ( x)在 0,3)上单调递增，又 g ( x)是 ( 3,3)上的奇函数，所以 g ( x)在
( 3,3)上单调递增；
f (1) e2
e2x 4考虑到 g (1) = = =1，由 f (2 x) e ，
e2 e2
2x 2(2 x)
得 e e g (2 x) e4，即 g (2 x) 1= g (1)，
3 2 x 3,
由 g ( x)在 ( 3,3)上单调递增，得 解得1 x 5，
2 x 1,
e2x所以不等式 f (2 x) e4的解集为 (1,5)，
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 BCD ABD BCD
11.【解答】∵ (1 )2025 = + + 2 + + 20250 1 2 2025 ，
展开式的各二项式系数的和为22025，所以 A错；
令 = 0，得到 0 = 1，令 = 1，得到 0 + 1 + 2 + + 2025 = 0，
∴ 1 + 2 + + 2025 = 1，所以 B对；
由二项式定理可得：C ( ) = C ( 1) ， = C 2025 2025 2025( 1)
，
所以22025 = 22025 C ( 1) 2025 ， = 0,1,2 ,2025，
22025C0 ( 1)0 + 22024C1 ( 1)1 + 22023
2025
2025 2025 C
2 2
2025( 1) + + 2
0C2025( 1)20252025 = (2 + ( 1)) = 1，
∴ 22025 + 22024 + 220230 1 2 + + 2025 = 1，故 C对；
= C2025( 1)
, = 0,1 ,2025，
1 ! ( )! + 1 ! ( )! ( + 2) + 1 ! ( )! ( + 1 + + 1 )
= = = C ! + 2 ( + 1)! + 2 ( + 1)!
+ 1 ! ( + 1 )! ( + 1)! ( )! + 1 1 1
= [ + ] = ( + )
+ 2 ( + 1)! ( + 1)! + 2 C +1 C
+1
+1
2025 2025 2025
1 1 ( 1) 1 1 1 1
∑ = ∑ = ∑ = 0 1 + 2 + ( 1)
2025 ，
=0 =0 ( )
2025 1 C2025 =0 C2025 C2025 C2025 C2025 C2025
1 2026 1 1
= ( + +1 )， C2025 2027 C2026 C2026
2025
1 2026 1 1 1 1 1 1
∑ = [( 0 + 1 ) ( + ) + + ( 1)
2025
1 ( + )] 2027 C2026 C2026 C2026 C
2 C2025 20262026 2026 C2026
=0
2026 1 1
= (
2027 C0 C2026
) = 0
2026 2026
1 1 1 1
∵ = 1，∴ + + + = 1，故 D 对.
0 1 2 2025
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12.42 13.420 14. e
14.【解答】依题意得， x xx 1 2 1 21e x1 e = 0，即 x1e x1 = e ， x1 0，
(x2 e)(ln x 1) e
3 = 0，即 (x2 e)(ln2 x2 1) = e
3 ， x2 e，
x
e(x1e
1 x1) = e
3 = (x2 e)(ln x2 1)，
x
x (e 1
+1
1 e) = (ln x2 1)(x2 e)，
，
又 ln x2 1， ln x2 1 0，
同构函数： F(x) = x(ex+1 e) ， x 0 ，
则 F(x1) = F(ln x2 1) = e
3 ，
又 F (x) = ex+1 e + xex+1 = e(ex 1) + xex+1，
x 0， ex e0 =1， ex 1 0，又 xex+1 0， F (x) 0 ， F (x)单调递增，
x1 = ln x2 1，
x1(x2 e) (ln x2 1)(x2 e) e
3
= = = e.
e2 e2 e2
故答案为 e.
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
1 9
15.在(√ ) 的展开式中.求
2
(1)常数项；
(2)含 3的项的系数；
(3)系数的绝对值最大的项．
1 9 9 1 1 9 3
【解答】( ) 的展开式的通项公式 = C ( ) ( ) = ( ) C √ +1 9 √ 9 2 , = 0,1,2, ,9， 2 2 2
9 3 1 3 21
１）令 = 0，解得 = 3，可得 = ( ) C3 = ，
2 4 2 9 2
21
即常数项为
2
9 3 1 9
２）令 = 3，解得 = 1，可得 2 = × C
1
9
3 = 3，
2 2 2
即 3
9
项的系数为 ，
2
1
３）系数的绝对值是C r9 ( )
r ，令
2
k 1 k k+1 1 k+1
C9 ( ) C 9
( )
2 2 7 10
k
k 1 k k 1 1 3 3C9 ( ) C9 ( )
k 1
2 2
k Z k = 3
21
系数的绝对值最大的项为T3+1 = T4 =
2
16. 已知甲袋中有3个白球和 4 个黑球，乙袋中有5个白球和4 个黑球，现在从两个袋
中各取 2 个球，试求：
1)取得的 4 个球均是白球的概率；
2)取得白球个数 的分布列及数学期望．
5
1) P =
126
6 32 53 30 5
2) P( = 0) = , P( =1) = , P( = 2) = , P( = 3) = , P( = 4) =
126 126 126 126 126
124
E( ) =
63
17. 为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年
路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了 200份试卷进行
调查，这 200份试卷的成绩（卷面共 100分）频率分布直方图如图.
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该
组区间的中点值为代表）.
(2)可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布N ( , 2 )（用样本平均数 x 和标准差 s分别作为 ， 的
近似值），已知样本标准差 s 8.65，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平
均分约为多少（结果取整数）？
(3)从 80,100 的试卷中用分层抽样的方法抽取 10份试卷，再从这 10份样本中随机抽测 i (1 i 6)份试卷
（抽测的份数是随机的），若已知抽测的 i 份试卷都不低于 90分，求抽测 2份的概率.
参考数据：若 X N ( , 2 )，则
P( X + ) 0.6827,P( 2 X +2 ) 0.9545,P( 3 X +3 ) 0.9973.
【解答】（1）由频率分布直方图可知，
平均分= (65 0.01+ 75 0.04+85 0.035+95 0.015) 10 = 80.5；
2
（2）由（1）可知， X N (80.5,8.65 ) ,
设学校期望的平均分约为m，则P (X m) = 0.84，
因为P( X + ) 0.6827，P( X ) 0.34135，
所以P(X ) 0.84135，即P(X 71.85) 0.84，
所以学校的平均分约为 72分；
（3）由频率分布直方图可知，分数在 80,90)和 90,100 的频率分别为0.35和0.15，
0.35
那么按照分层抽样，抽取 10 人，其中分数在 80,90)，应抽取10 = 7人，
0.35+ 0.15
0.15
分数在 90,100 应抽取10 = 3人，
0.35+ 0.15
记事件 Ai ：抽测 i 份试卷 i =1,2,3，事件B :取出的试卷都不低于 90分，
i
1 C
P (A ) = P (B A ) = 3则 i , i i ，
6 C10
i=1 C1 C21 C
3 1
P (B) = P (Ai )P (B A ) = 3 + 3 + 3i =1 2 3 ，
3 6 C10 C10 C10 16
2
1 C
3
P (A 22B) 6 C10 8则 P (A2 B) = = = .
P (B) 1 45
16
1
x2 y2
18. 已知离心率为 2 的椭圆 yE : + =1(a b 0)与 x轴正半轴 轴正半轴分别交于A B 两点且
a2 b2
AB = 7
.
（1）求椭圆 E 的标准方程；
6 2
（2）设经过椭圆 E 左焦点F 的直线 l 与椭圆 E 交于C, D两点，点O为坐标原点.若 OCD面积为 ，
7
求直线 l 的方程；
3 3
（3）点Q 1, ，点M N 在椭圆E 上，且满足 k MQMQ + kNQ = （记直线 的斜率为 kMQ ，直线 NQ
2 4
斜率为 kNQ ），过点Q作MN 的垂线，垂足为H ，问：是否存在定点G ，使得 GH 为定值？若存在，求
出此定值，若不存在，请说明理由.
c 1 b 3
【解答】(１)由题意可得e = = = ，又 a2 + b2 = 7 ，
a 2 a 2
x2 y2
a = 2,b = 3 ，故椭圆 E 的标准方程为 + =1.
4 3
(２)显然直线 l 的斜率不会为 0，设直线CD : x = ty 1，
x2 y2
+ =1
设C (x1, y1 ) , D (x
2 2
2 , y2 )，则 4 3 ，消去 x可得 (3t + 4) y 6ty 9 = 0 ，
x = ty 1
6t 9
由 =144t2 +144 0，则 y1 + y2 = , y1y2 = ，
3t2 + 4 3t2 + 4
2
1 1 6t 36 6 t2 +1 6 2
S OMN = OF y1 y2 = + = = ，解得 t = 1，
2 2 3t
2 + 4 3t2 + 4 3t
2 + 4 7
所以，直线 l 的方程为 x+ y+1= 0或 x y+1= 0 .
(３)若直线MN 的斜率存在，设直线MN : y = kx +m,M (x3, y3 ) , N (x4 , y4 )，
x2 y2
+ =1 2 2 2
4 3 ，消 y 可得 (4k +3) x +8kmx + 4m 12 = 0，
y = kx +m
2 2 8km 4m
2 12
由 =192k 48m +144 0，则 x ， 3 + x4 = , x x =
4k 2
3 4
+3 4k 2 +3
3 3 3 3
y y kx4 +m (x3 1)+ kx3 +m (x4 1)
由 3 4 2 2 3 ，
k 2 2 MQ + kNQ = + = =
x3 1 x4 1 (x3 1)(x4 1) 4
3 3
即 4 kx4 +m (x3 1)+ kx3 +m (x4 1) + 3(x3 1)(x4 1) = 0，
2 2
整理得 (3+8k ) x3x4 + (4m 4k 9)(x3 + x4 )+15 8m = 0 ，
(3+8k )(4m2 12)+ (4m 4k 9)( 8km)+ (15 8m)(4k 2 + 3) = 0，
整理得 (2k + 2m 3)(10k + 2m 1) = 0， 2k + 2m 3= 0或10k +2m 1= 0 .
3 3 3
当2k +2m 3= 0即m = k + 时，直线MN : y = k (x 1)+ ，过点Q 1, ，不符合；
2 2 2
1
当10k +2m 1= 0即m = 5k + 时，直线
2
1 1
MN : y = k (x 5)+ ，过点R 5, ，符合；
2 2
而QH ⊥MN ，故QH ⊥ RH ，即点H 在QR 为直径的圆上，
1 17
所以只需取QR 的中点G (3,1)，则 GH = QR =
2 2
故存在G (3,1) 17，使得 GH 为定值 .
2
19．（17分）设函数 ( ) = ln ( 2 1).
(1)若曲线 = ( )在点(1,0)处的切线方程为 + 1 = 0，求 的值；
(2)当 > 1时 ( ) < 0恒成立，求实数 的取值范围；
ln
(3)证明：∑ < 2√ 2( ∈ N
*).
=2 1
【解答】（1） ′( ) = ln + 1 2 ，
由题意曲线 = ( )在点(1,0)处的切线方程为 + 1 = 0，
则 ′(1) = 1 2 = 1，解得 = 1；
（2） ( ) = ln ( 2 1)， > 1，
1
′( ) = ln + 1 2 ，令 ( ) = ln + 1 2 （ > 1），则 ′( ) = 2 ，
当2 ≤ 0，即 ≤ 0时， ′( ) > 0， ( )即 ′( )是(1, +∞)上的增函数，
因此 ′( ) > ′(1) = 1 2 > 0，
( )是增函数，所以 ( ) > (1) = 0，不合题意，舍去；
1
当2 ≥ 1即 ≥ 时， ′( ) < 0， ( )即 ′( )是(1, +∞)上的减函数，
2
所以 ′( ) < ′(1) = 1 2 ≤ 0，
所以 ( )是(1, +∞)上的减函数，从而 ( ) < (1) = 0恒成立，
1 1
当0 < 2 < 1即0 < < 时， > 1，
2 2
1
∈ (1, )时， ′
1
( ) > 0， ( )在(1, )单调递增，
2 2
1
∈ ( , +∞)时， ′
1
( ) < 0， ( )在( , +∞)单调递减，
2 2
1
又 (1) = 1 2 > 0，所以 ∈ (1, )时， ( ) > 0恒成立，即 ′( ) > 0恒成立，
2
1
此时 ( )在(1, )上单调递增，因此 ( ) > (1) = 0，与题意不合，舍去，
2
1
综上 ≥ ．
2
1 2 ln 2√ ln√
（3）由（2）知 > 1时， ln < ( 2 1)，即 < 1，从而 < 1，
2 2 1 1
ln 1 1 2 2
所以 < ，又 = < = 2(√ √ 1)，
1 √ √ 2√ √ +√ 1
ln
所以 < 2(√ √ 1)，
1
此不等式中分别令 = 2,3, , 得
ln2 ln3 ln
< 2(√2 1)， < 2(√3 √2)， ， < 2(√ √ 1)，
1 2 1
ln
将这 1个不等式相加得∑ < 2√ 2( ∈ N
*).
=2 1报告查询:登录或扫描二维码下载App
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余姚中学2024学年第二学期质量检测 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或
高二数学学科答题卷 演算步骤。 16.
姓名： 班级： 考场/座位号： 15.
正确填涂 考 号
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
缺考标记 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
[2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
[3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]
[4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4]
[5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
[6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6]
[7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7]
[8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8]
[9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
注意事项
1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。
2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。
3．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。
9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.
13.
14.
17. 18.
19.余姚中学 2024 学年第二学期质量检测高二数学学科试卷
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
x2
1.已知双曲线C : y2 =1(a 0)经过点 (2,0)，则C 的渐近线方程为( ▲ ).
a2
1 1
A. y = 2x
2
B. y = x C. y = x D. y = x
2 4 2
2．已知 ， ∈ N*且 ≤ ，则下列等式正确的是( ▲ ).
A3
A．A4 6 3 710 = A10 B．C7 = 4!
+1 +1C．( + 1)A = A +1 D．C
= C
+1 +1
1
3.设随机变量 X ,Y 满足：Y = 3X 1， X ~ B(2, )，则 D(Y ) = ( ▲ ).
3
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2, 2 ) ，且 P(2 X 2.5) = 0.36 ，则 P(X 1.5) 等于( ▲ ).
A.0.14 B.0.62 C.0.72 D.0.86
5.2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市
中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计
划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游玩，
已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生
乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是( ▲ ).
A. 132 B. 144 C. 150 D. 168
6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用m | x 表示整数 x 被m 整除，设
a ， b Z ，m N * 且m 1，若m | (a b)，则称 a 与 b对模m 同余，记为 a b(mod m).已知
a =C0 516 C1 515 +C2 514 C3 513 + +C14 52 C1516 16 16 16 16 16 5 2 ，则( ▲ ).
A. a 2024(mod 7) B. a 2025(mod 7)
C. a 2026(mod 7) D. a 2027(mod 7)
7. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5局仍未出现连胜，则判定获胜局
2 1
数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立.记 X 为比赛
3 3
决出胜负时的总局数，则 X 的均值（数学期望）为( ▲ ).
224 34 24 304
A. B. C. D.
81 9 9 81
高二数学 第 1页 共 4页
8. 已知定义在 上的函数 满足 f (x)+e4x( 3,3) f (x) f ( x) = 0, f (1) = e2 , f (x)为 f (x)的导函数，当 x [0,3)
时， ，则不等式 e2x f (2 x) e4f (x) 2 f (x) 的解集为( ▲ ).
A． ( 2,1) B． (1,5) C． (1,+ ) D．(0,1)
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
的要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
1 1
9.已知 P(A) = ， P(B | A) = .若随机事件 A, B 相互独立，则( ▲ ).
5 4
1 1 4 4
A. P(B) = B. P(AB) = C. P(A | B) = D. P(A+ B) =
3 20 5 5
10.从 0，1，2，3，4，5，6这 7个数字中取出 4个数字，则( ▲ ).
A. 可以组成 720个无重复数字的四位数
B. 可以组成 300个无重复数字且为奇数的四位数
C. 可以组成 270个无重复数字且比 3400大的四位数
D. 可以组成 36个无重复数字且能被 25整除的四位数
11.已知(1 )2025 = 0 + 1 +
2 + + 20252 2025 ，则( ▲ ).
A．展开式的各二项式系数的和为 0 B． 1 + 2 + + 2025 = 1
C．22025 2024
1 1 1
0 + 2 1 + 2
2023 2 + + 2025 = 1 D． + + + = 1 1 2 2025
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1 7
12. (1+ )(1+ x) 展开式中 x3 的系数为 ▲ .
x3
13. 国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最
大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.第 24届
国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，
由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中 5个区域涂色，要
求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有 5种不同的颜色
可供使用，则不同的涂色方案有 ▲ 种.
14.若正实数 x1 是函数 f (x) = xe
x x e2 的一个零点， x2 是函数 g(x) = (x e)(ln x 1) e
3 的一个大于 e的零
x (x e)
点，则 1 2 的值为 ▲ .
e2
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
1 9
15.(本小题满分 13 分)在(√ ) 的展开式中,求:
2
(1)常数项；
(2)含 3的项的系数；
(3)系数的绝对值最大的项．
16. (本小题满分 15 分)已知甲袋中有3个白球和 4个黑球，乙袋中有5个白球和 4个黑球，现在从两个袋中
各取 2个球，试求：
(1)取得的 4个球均是白球的概率；
(2)取得白球个数 的分布列及数学期望．
17. (本小题满分 15 分) 为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了
“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了
200 份试卷进行调查，这 200份试卷的成绩（卷面共 100分）频率分布
直方图如图.
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该
组区间的中点值为代表）；
2
(2)可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N ( , )（用样本平均数 x 和标准差 s 分别作为 ，
的近似值），已知样本标准差 s 8.65，如有84% 的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的
平均分约为多少（结果取整数）？
(3)从 80,100 的试卷中用分层抽样的方法抽取 10份试卷，再从这 10份样本中随机抽测 i (1 i 6)份试卷
（抽测的份数是随机的），若已知抽测的 i 份试卷都不低于 90分，求抽测 2份的概率.
2
参考数据：若 X N ( , )，则 P( X + ) 0.6827, P( 2 X + 2 ) 0.9545,
P( 3 X + 3 ) 0.9973.
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2 2
1 x y
18. (本小题满分 17 分)已知离心率为 的椭圆 E : + =1(a b 0)与 x轴正半轴， y 轴正半轴分别交于2 a2 b2
A B 两点且 AB = 7 .
(1)求椭圆E 的标准方程；
6 2
(2)设经过椭圆E 左焦点F 的直线 l 与椭圆 E 交于C, D 两点，点O为坐标原点.若 OCD面积为 ，求
7
直线 l 的方程；
3 3
(3)点Q 1, ，点M N 在椭圆 E 上，且满足 kMQ + kNQ = （记直线MQ 的斜率为 kMQ ，直线 NQ 斜率为
2 4
kNQ ），过点Q 作MN 的垂线，垂足为H ，问：是否存在定点G ，使得 GH 为定值？若存在，求出此定
值，若不存在，请说明理由.
19．(本小题满分 17 分)设函数 ( ) = ln ( 2 1).
(1)若曲线 = ( )在点(1,0)处的切线方程为 + 1 = 0，求 的值；
(2)当 > 1时 ( ) < 0恒成立，求实数 的取值范围；
n ln k
(3)证明： 2 n 2(n N * ) .
k=2 k 1
命题:徐鹏科
审题:顾丹杰
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