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第八章 一元二次方程
1 一元二次方程（1）
五四制鲁教版八年级下册
1.能够根据问题情境列出一元二次方程，体会方程的模型思想。
2. 根据类比的思想能够由一元一次方程的有关概念，自然生成一元二次方程的相关概念
3.通过一元二次方程概念的学习,能够熟练解决数字系数及字母系数的一元二次方程的判别。
未知数的最高次数是1
含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
一．复习旧知
2．下列是一元一次方程的是（ ）
A．3x2+5x=7 B.4x+2y= -5
C. -2X+7=0 D. -7x=3
1.一元一次方程的定义：
其中“一元”指的是
“一次”指的是
C
含有一个未知数
5
x
x
x
x
（8－2x）
（5－2x）
8
导入新知
幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
解：如果设所求的宽度为xm ，那么地毯中央长方形图案的长为
m,
宽为 m,
根据题意，
可得方程：
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18
（8－ 2x）
（5－ 2x）
１８m2
观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：
根据题意，可得方程：
， ， ， ．
x＋1
x ＋2
x ＋3
x ＋4
(x ＋1)2
(x ＋ 2)2
＋
(x ＋3)2
(x ＋4)2
＝
＋
x 2
＋
导入新知
（1）由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m.
（2）若设梯子底端滑动Xm，则滑动后梯子底端距墙
m;根据题意，可得方程： 。
6
（X＋6）
72＋(X＋6)2＝102
xm
8m
10m
7m
6m
10m
数学化
1m
2.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
一
次
项
常
数
项
1.同学们还记得什么叫一元一次方程吗？
2.一元一次方程的一般形式是什么？
只含有一个未知数，并且未知数的次数为1次
的整式方程叫一元一次方程。
ax + b = 0 (a≠0)
观察下列三个方程，思考：
2.你能猜想出一元二次方程的定义吗？
(1)只含有一个未知数
(2)未知数的最高次数都是2
(3)都是整式方程
1.这几个方程有什么共同特点？
x2+12x-15=0
(4)都可以化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式
2x -13x+11=0
x -8x=0
只含有 ，并且未知数的最高次数
是 的 叫做一元二次方程．
所有的一元二次方程都可化为 .（ ）的形式。
一个未知数
2
ax２＋bx＋c＝0
整式方程
a，b，c为常数， a≠0
注意：
一元二次方程各项的系数一定包括系数本身的符号
ax２＋bx＋c＝0（a≠0)
一般形式
一
次
项
二次项系数
一次项系数
常
数
项
二
次
项
（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
（1）3x(x+2)=4(x-1)+7
注意：要确定一元二次方程各项的系数和常数项，必须先将方程化为一般形式。
例题：判断下列方程是否是关于x的一元二次方程，如果是，说出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
3x2+2x-3=0
9x+10=0
1.判断下列方程是否是一元二次方程
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(5)(x+3)(x-1)＝1＋x2
(1)7x －6x＝0
(4) ＝0
－
y2
2
（ ）
(3)2x － －1 ＝0
1
3x
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
√
×
×
×
√
（1）关于x的方程(m-1)x +2x=1是一元二次方程么？为什么？
（2）已知关于x的方程：
(k －1)x ＋ 2(k－1)x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k 时，原方程是一元二次方程；
当k 时，原方程是一元一次方程。
本节课你学会了哪些新知识呢？
1．一元二次方程的定义；
2. 一元二次方程的一般形式：
ax２＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）
3. 一元二次方程的有关概念：
二次项、一次项、常数项；
二次项系数、一次项系数．
4．会用一元二次方程表示实际生活中的
数量关系。
必做题:
1.判断下列是否是一元二次方程？
(1)3x -x=2 ( ) (2)2(x-1) =3y ( )
(3)3 x -2x+5 ( ) (4) ( )
(5)(m +5)x +7x-1=0 ( )
2.一个面积为54m 的矩形，一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好形成一个正方形，假设正方形的边长为Xm,所列方程为 ，其中常数项是 。
选做题：
3.当m= 时，方程 是关于x的一元二次方程。
2
本节课到此结束， 谢谢大家！(共18张PPT)
2 一元二次方程（2）
五四制鲁教版八年级下册
复习与回顾
1、回答下列问题：什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？
2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x+1=0 （2）―x2+1=0
（3） x2―x=0 （4）―x2=0
一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)
3.什么叫方程的解，什么叫解方程？
方程的解就是符合方程的未知数的值。
求方程的解的过程叫做解方程。
这节课我们通过估算的方法探索方程的解的大致范围
复习与回顾
1.幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
解：设所求的宽度为xm ，
根据题意，可得方程
(8－2x)(5－2x)=18
即： 2x2-13x+11=0
开动脑筋，共同探究
对于方程(8－2x)(5－2x)=18，即2x2-13x+11=0
（1）x可能小于0吗 说说你的理由．
（2）x可能大于4吗 可能大于2．5吗 说说你的理由，并与同伴进行交流．
（3）完成下表：
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗 还有其他求解方法吗 与同伴进行交流．
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5
2x2-13x+11
11
5
0
-4
-7
-9
1m
不可能
不可能
x
8m
1
10m
7m
6m
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙____m
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙
m
根据题意，可得方程：
72＋(X＋6)2＝102
6
X＋6
2.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
10m
数学化
在上一节课的这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72 =102，把这个方程化为一般形式为 x2+12x-15=0
（1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗 为什么
（2）底端滑动的距离可能是2m吗 可能是3m吗 为什么
积极思考，回答问题
不正确，因为x=1不满足方程
不正确，因为x=2，3不满足方程
（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致
范围吗
（4）x的整数部分是几 十分位是几
请同学们，自己算一算，注意组内同学交流哦！
实际操作，算一算
x 0 0.5 1 1.5 2
X2+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13
一家之言
下面是小亮的求解过程：
由此，他猜测1＜x＜1.5
进一步计算：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
X2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76
所以1.1＜x＜1.2，由此他猜测x整数部分是1，十分位部分是1
你的结果这样呢？
一家之言
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值；
②根据题意所列的具体情况再次进行排除；
③列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。
上述求解是利用了“两边夹”的思想
方法总结
1.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。您能求出这五个整数分别是多少吗？
练一练
A同学的做法：
设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1,x+2,x+3,x+4.根据题意，可得方程：
x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2
即：x2-8x-20=0
x -3 -2 … 10 11
x2-8x-20 13 0 … 0 13
所以x=-2或10.因此这五个连续整数依次为-2，
-1，0，1，2；或10，11，12，13，14.
B同学的做法：
设五个连续整数中的中间一个数为x，那么其余四个数
依次可表示为x-2,x-1,x+1,x+2.根据题意，可得方程：(x-2)2+(x-1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2
即：x2-12x=0
x -1 0 … 11 12
x2-12x 13 0 … -11 0
所以x=0或12.因此这五个连续整数依次为-2，-1，0，1，2；或10，11，12，13，14.
2.一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5米以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间t(秒)和运动员距水面的高度h(米)满足关系：h=10+2.5t-t2，那么他最多有多长时间完成规定动作
练一练
解：根据题意，得10+2.5t-5t2=5,即 2t2-t-2=0
列表：
t 0 1 2 3
2t2-t-2 -2 -1 4 13
所以1＜t＜2,进一步列表计算：
t 1.1 1.2 1.3 1.4
2t2-t-2 -0.68 -0.32 -0.08 0.52
所以1.2＜t＜1.3,因此他完成动作的时间最多不超过1.3秒
1.学习了估算ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）近似解的方法：“两边夹”；
2.知道了估算的步骤；
（1）先确定大致范围
（2）在取值计算，逐步逼近
3.想一想：有没有更便捷的方法求一元二次方程的解呢？
回顾一下吧，本节课你学到了什么？
本节课到此结束， 谢谢大家！
