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《比例》单元整体设计
单元主题解读
课程标准要求分析
《比例》单元是“数与代数”方面的重要内容。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在“课程内容”的“第三学段”中提出：
在“内容要求”中指出：“在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。”
在“学业要求”中指出：“能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量。”
在“教学提示”中指出：“比和比例教学要合理利用实际生活中的情境，引导学生发现并用字母表达两个数量之间的倍数关系，例如，通过同样照片的放大与缩小、食品中原料的成分比等，理解比例的意义，能解决简单的按比例分配的问题。”
单元教材内容分析
本单元主要安排了7个例题，例1是长方形照片的放大与缩小，例2是让学生动手画放大与缩小的图形，这两个例题让学生认识到本单元中图形的放大与缩小都是按照一定的比例变化的，这为学习比例的意义打下了基础，例3通过具体情境（如照片放大）引入比例的意义，帮助学生理解比例是两个比相等的式子。例4进一步讲解比例的“项”“内项”和“外项”，并介绍比例的基本性质；第四课时中例5通过具体问题（如求解未知项）讲解如何利用比例的基本性质进行解比例，这些例题帮助学生掌握解比例的方法，并应用于实际问题。例6和例7通过具体情境（如地图比例尺）讲解比例尺的意义，包括数值比例尺和线段比例尺。
最后本单元还安排了一节综合实践课“面积的变化”，是在教学平面图形对应边长度比之后进一步研究图形的面积比的延伸与拓展内容，教学时，还可以延伸到立体图形的体积之比，深化学生学习知识的广度和维度。
学生认知情况
本单元主要组织学生学习比例概念的认识与理解，掌握和应用。学生已有除法、分数和比的基础作为铺垫，对进阶学习比例的成效有直接的关系。学生已经理解和掌握比的意义和性质，在日常生活中见过图形的放大和缩小，知道平面图上有比例尺，但是对比例和比例尺的认识缺乏系统性，这些知识储备及生活经验的累积都为学生进一步学习比例知识奠定了基础。
单元目标拟定
1.使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。
2.使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义，认识比例的“项”以及“内项”和“外项”；理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。
3.使学生结合实例，初步理解比例尺的意义和作用，会求平面图的比例尺，能看懂线段比例尺，能按给定的比例尺求相应的图上距离或实际距离。
4.使学生在认识比例，应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意识和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.学生能够通过观察现实世界中的现象，识别并抽象出比例关系，理解比例在生活中的广泛应用。学生能够发现不同情境中的正比例和反比例关系，理解其背后的数学原理。
2.理解并掌握比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，这是解决比例问题的关键。
3.学生能够通过观察现实世界中的现象，识别并抽象出比例关系，理解比例在生活中的广泛应用。
（二）教学难点
1.理解比例性质的深层含义：学生需要深入理解比例性质的数学本质，而不仅仅是机械的记忆公式。这要求教师在教学中通过丰富的实例和直观的操作，帮助学生建立对比例性质的直观感知。
2.将比例知识应用于复杂情境：注重培养学生的综合应用能力和创新意识，通过设计具有挑战性的学习任务，引导学生探索比例知识在复杂情境中的应用。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》指出：“每一堂课都应该以学生为中心，以探究为手段，积极发展学生的求异思维，以培养学生各种能力为目的，最终让学生形成一种新型的数学思想，养成数学能力，体验数学与生活的关系。”
本单元教材的具体编排结构：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*.
教材的教学安排把图形的放大和缩小与认识比例结合起来教学，帮助学生在现实情境中领悟比例的意义和作用。“放大和缩小”与“比例”分属两个不同的学习领域，但“放大和缩小”是图形的各部分线段按相同的比发生变化，这种变化能直观形象地显示比例的本质内涵。为此在教学比例的意义之前，先介绍用电脑把一幅长方形画放大的过程，直观地显示放大前后的图形“形状没有变，大小变了”，进而使学生在此基础上，了解比例的意义。这样安排既突出体现了数学知识间的相互作用，有利于学生形象思维与抽象思维的协同发展，也能为以后学习成正比例的量、成反比例的量，以及图形的相似等知识打下坚实的基础。
教材的编写重视不同数学知识的综合应用，让学生感受数学知识的内在联系，不断提高解决实际问题的能力。认识比例的意义时，先让学生认识图形的放大和缩小，再让学生经历按指定的比把一个简单的图形放大和缩小的操作过程，借助图形的直观变化，帮助学生初步感知比例的内涵。这样的安排，对于沟通数学知识间的联系，帮助学生形成更加完整、合理的认知结构，提高解决问题的能力，无疑是具有促进作用的。
3.为学生提供充分的探索与交流的空间。单元末安排的实践与综合应用《面积的变化》，一方面让学生通过测量和计算，探索发现平面图形按一定的比例放大后面积的变化规律；另一方面，让学生应用发现的规律，解决求平面图上建筑或设施的实际占地面积的问题。这样的活动不仅能使学生在活动中获得数学知识、发展数学思考，而且有利于学生感受数学探索的乐趣，增强主动探索的意识。
单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 □统计与概率 综合与实践
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比例 图形的放大与缩小 1
比例的意义 1
比例的基本性质 1
解比例 1
比例尺 1
比例尺的应用 1
面积的变化 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 □分类 □集合 □对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 方程 □函数 □统计 分析 综合 □比较 假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
4.1《图形的放大与缩小》 目标： 初步理解图形的放大与缩小，会利用方格纸把一个简单图形按指定的比放大或缩小；感受图形的放大、缩小在日常生活中的应用，体会图形的相似性，进一步积累图形运动的经验，发展空间观念。 任务一：认识图形的放大与缩小 右边长方形画是左边长方形画放大后的图，放大后的图与原来的图形有什么关系呢？仔细观察两幅图的长有什么关系？宽有什么关系？ → 任务二：画出放大或缩小后的图形 这里有一个长方形，它的长和宽是多少格？ 按 3∶1 放大是什么意思？ → 1.理解图形放大与缩小的概念。 2. 能够利用方格纸按指定的比将简单图形放大或缩小，正确计算放大或缩小后图形的对应边长。
4.2《比例的意义》 目标： 理解比例的意义，知道比例各部分的名称；能根据比例的意义，正确判断两个比能否组成比例。 任务一：比例的意义 写出照片放大后与放大前长的比和宽的比，这两个比也能组成比例吗？→ 任务二：判断成比例的方法。 判断两个比能不能组成比例，关键是看什么？如果不能一眼看出两个比的比值是不是相等的，怎么办？→ 能够准确描述比例的定义，识别比例中的内项和外项。 通过计算比值或化简比来判断两个比是否相等，从而判断它们能否组成比例。
4.3《比例的基本性质》 目标： 认识比例的“项”以及“内项”和“外项”。理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例。 任务一：认识比例的各个部分 说一说题中是把三角形按什么样的比缩小的？→ 任务二：比例的基本性质 在比例的两个内项和两个外项之中，它们两者之间存在着一种奇妙的关系，你想揭穿这个秘密吗？ → 任务三：判断成比例的方法 判断每组的两个比能否组成比例。如果能组成比例，把组成的比例写出来？→ 能够从具体的实例中抽象出比例的概念，并概括出比例的基本性质。 2.能够正确计算比例中内项和外项的积，并判断比例是否成立。 3.能够灵活运用比例的基本性质解决问题，包括将比例关系转化为等式进行求解。
《4.4解比例》 目标：掌握解比例的方法，能够正确地应用比例的基本性质解比例。进一步理解比例的意义，能利用比例的知识解决实际问题。 任务一：认识解比例 现在只知道放大后照片的长是13.5厘米，宽是多少厘米呢？你能解决这个问题吗？→ 任务二：检验 检验x＝9是不是6∶4 = 13.5∶x的解。→ 任务三：解分式比例的方法 解比例： 提问：这题的比例与例题有什么不同？→ 1.能准确理解“解比例”的含义，能正确运用比例的基本性质（两个内项的积等于两个外项的积）来解比例。 2.能准确地将比例式转化为等式，并通过解方程求出未知项。
《4.5比例尺》 目标：理解比例尺并能正确地求出平面图的比例尺，能进行线段比例尺和数值比例尺的互化。能够运用比例知识，根据比例尺求图上距离或实际距离。 任务一：认识比例尺 你能分别写出草坪长、宽的图上距离和实际距离的比吗？→ 任务二：探究比例尺的分类 提问：你知道上面的比例尺表示的具体意义吗？→ 1.能否准确描述比例尺的定义。 2.能正确识别和使用数值比例尺和线段比例尺，并能将两者进行互化。 3.能将比例尺的知识应用于实际问题。
《4.6比例尺的应用》 目标： 使学生理解比例尺的意义，掌握比例尺的表示方法（数字比例尺、线段比例尺），学会根据比例尺计算图上距离和实际距离。通过观察、操作、交流等活动，经历比例尺产生和应用的过程，提高学生解决实际问题的能力，培养学生的探究意识、合作意识、创新意识。 任务一：求实际距离 明确题意，找出明华小学到少年宫距离的线段，说出题目告诉了什么，要求什么？→ 任务二：求图上距离 算出学校到医院的图上距离。 讨论怎样把医院的位置在图上表示出来。→ 1.能够运用比例尺解决实际问题。 2.将比例尺的知识与其他数学知识（如比、比例、分数等）进行综合运用。
《4.7面积的变化》 目标： 使学生结合具体的实例，探索并发现平面图形按比例放大后面积的变化规律，进一步加深对图形放大与缩小的含义以及比例意义的理解。 任务一：探究长方形按一定的比放大后面积的变化规律 一个长方形的长和宽按比例放大后，它的面积发生变化吗？会发生怎样的变化呢？→ 任务二：探究平面图形按比例放大后面积的变化规律。 其他平面图形按比例放大后，面积的比又会怎样变化呢？→ 1.能够理解并掌握平面图形（如长方形、正方形、三角形、圆）按比例放大或缩小后面积的变化规律。 2.能够正确计算图形放大或缩小后的面积，并验证面积变化规律。
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《4.4解比例》教学设计
课题 解比例 单元 第四单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 例题5呈现的是按比例放大的照片，根据放大前后照片两张长方形长的比与宽的比组成的比例，在组成比例的4个数中，求未知量的问题，根据比例的基本性质得出方程，解比例就是解方程。在此基础上，让学生独立完成解答，并交流求比例中未知项的过程和方法。同时教材也呈现了一个分数形式的解比例，组织交流时，提醒学生分子、分母交叉相乘，写出相应的等式，继续突破本课的重点。
学习 目标 学习目标描述：掌握解比例的方法，能够正确地应用比例的基本性质解比例。 2.学习内容分析：进一步理解比例的意义，能利用比例的知识解决实际问题。 3.学科核心素养分析：进一步体会数学知识之间的联系，感受学习数学的乐趣，渗透转化思想。
重点 应用比例的基本性质解比例。
难点 用解比例的方法解决简单的问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 回顾旧知，导入新课 1.填一填。 ( )∶3＝8∶12 内项积：3×8＝24 根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项 的积，所以24÷12＝2，即( )里填2。 通过复习比例的意义和基本性质，为学习解比例做好铺垫，帮助学生建立知识之间的联系。
讲授新课 任务一：比例的意义 1. 张明同学在学习了图形的放大和缩小后，也在电脑上把下面的一张照片按比例放大。(PPT课件出示例5) 教师：现在只知道放大后照片的长是13.5厘米，宽是多少厘米呢？你能解决这个问题吗？ （1）审题，帮助学生理解题意。 提问：怎样理解“把照片按比例放大”这句话？ （放大前后的相关线段的长度是可以组成比例的）。 你能根据表中的数据列出含有未知数的比例吗？如果把放大后照片的宽设为X厘米，那么，你能写出哪些比例？ 引导学生写出含有未知数的比例式。 （2）教师板书：6∶4=13.5∶x。 “这变成了什么？” （3）讨论：怎样解比例？根据是什么？ （4）思考：根据比例的基本性质可以把比例变成什么形式？ 教师说明：这样解比例就变成解方程了，利用以前学过的解方程的方法就可以求出未知数X的值。因为解方程要写“解：”，所以解比例也应写“解：”。（在6x前加上“解：”） （5）让学生把解比例的过程完整地写出来。指名板书。 2.还有其他的解题方法吗？ 教师板书 6∶13.5=4∶x 这个比例中的未知数x你能求出来吗？试一试！ 讨论：怎样解比例？你知道把比例写成“6x=4×13.5”这一步的依据是什么吗？ 让学生把解比例的过程完整地写出来，指名板书。 告诉学生：像上面这样求比例中的未知项，叫作解比例。 同桌相互讨论，尝试写出含有未知数的比例。
生：变成了方程 生：可以根据比例的基本性质解比例。
以实际问题为背景引入新课，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。 引导学生自主探究解比例的方法，培养学生的观察、分析和解决问题的能力，同时通过总结解比例的步骤，帮助学生形成系统的知识结构。
任务二：检验 检验x＝9是不是6∶4 = 13.5∶x的解。 将x＝9代入 6∶4 = 13.5∶x，看比例是否成立。 方法一：利用比例的意义检验 方法二：利用比例的基本性质检验 利用解比例解决实际问题的步骤 根据相关量之间的关系列比例。 根据比例的基本性质，先将比例转化为乘法等式（即方程），再解方程。 对所求未知数进行验证。 总结解比例的过程。 提问：刚才我们学习了解比例，大家回忆一下，了解比例首先要做什么？再怎么做？ 先让学生自己理解，教师再在学生回答的基础上作出说明。 同桌互相说说。 生：先根据比例的基本性质把比例变成方程，再根据以前学过的解方程的方法求解。
任务三：解分式比例的方法 解比例： 提问：这题的比例与例题有什么不同？ 小结：分数形式的比例在改写成乘法算式时交叉相乘。 生：这题是分数形式的比例 学生小组内交流，并独立完成。
课堂练习 基础题： 1.解比例。 （1）5:15=3:x （2） : =x:9 2.填空题。 （1）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是，则另一个內项是（ ） （2）在一个比例里，两个内项都是质数，它们的积是21，已知一个外项是，这个比例可以写成（ ）。 3.如果 m=n(m、n都不等于0)，那么：m:n=（ ）:（ ），=（ ）。 让学生在练习、解释中进一步迸发学习主动性，提升知识的综合应用能力。本节课一方面有层次地安排了一些有一定思维含量的练习，另一方面练习时没有预先提示方法或注意点，而是让学生直接应用已经学会的知识、方法，自己先完成必要的操作，再交流。让学生根据实际情况独立思考、解决，再通过交流帮助学生内化知识与方法。这样做不仅可以发挥学生的学习主动性，还可以有效培养学生应用知识的能力。
提高题： 4.一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两个城市相对匀速开出，已知客车每小时行55千米，客车速度与货车速度的比是11∶9，两车开出5小时后相遇。甲、乙两个城市间的公路长多少千米？
拓展题 5.用右图中的4个数据可以组成哪些比例？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 解比例 求比例中的未知项叫作解比例。 根据比例的基本性质解比例， 先把比例转换成两个外项相乘与两个内项相乘的形式（即解方程）， 再通过解方程求出未知项的值。 利用简洁的文字呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 1. 2.甲数与乙数的比为4:5，甲数是60，乙数是x。 3.用4，4.8，12和a可以组成比例，a的值可能是多少？ 4.中午，太阳当头照。小明身高1.5米，他的影子长0.5米。棵松树的影子长10米，它的高度是多少米呢？ 选做题 5.甲在60 m赛跑中冲过终点线时，比乙领先10 m，比丙领先20 m。如果乙和丙按各自原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时，将比丙领先几米？
【综合实践类作业】 请和小组同学一起量一量同一时刻竹竿和大树的影长，并算竹竿长和竹竿影长的比和大树高和树影长的比，看看有什么发现？
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