第18章 平行四边形 素养提升测试题（含答案）2024-2025学年人教版数学八年级下册
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| 名称 | 第18章 平行四边形 素养提升测试题（含答案）2024-2025学年人教版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-19 22:48:39 | ||
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文档简介
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第18章 平行四边形 素养提升测试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C．AD∥BC，AB＝DC D．AO＝CO，BO＝DO
2．如图，A、B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点D、E，并且步测出DE长，由此知道AB长．若步测DE长为50m，则A，B间的距离是（ ）
A．25m B．50m C．75m D．100m
3．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．12
4．已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）
A． B．1 C． D．
6．下面是关于如图的不完整推理过程：
∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵____，
∴四边形ABCD是菱形；
为使推理成立，横线上可以添加的条件是（ ）
A．∠BCD+∠ADC＝180° B．AC＝BD
C．∠BAD+∠BCD＝180° D．AD＝AB
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝18，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E，则四边形AODE的面积为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
8．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠FEC＝α，则∠BAE一定等于（ ）
A． B． C． D．90°﹣α
10．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝6，BC＝8，MN经过AC中点O分别交AB、CD于点M、N，连接AN、CM，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形AMCN为平行四边形
B．当CM＝4.8时，四边形AMCN为矩形
C．当AM＝5时，四边形AMCN为菱形
D．四边形AMCN可以为正方形
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝ cm．
12．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 ．
13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的线段EF与AD，BC分别交于点E，F．若AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为 ．
14．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝8，则AB的长为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2．
17．（9分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：△BOF≌△DOE；
（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．
18．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，且，连接DE．
（1）求证：四边形AODE为矩形；
（2）连接BE，若AC＝2，，则菱形ABCD的面积为 ．
19．（9分）如图，在 ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．
20．（9分）已知如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE．求证：BC＝2CD．
21．（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是CD的中点，连接OF并延长至点E，使EF＝OF，连接CE，DE．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若OE＝4，∠BAD＝60°，求菱形ABCD的面积．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当运动时间t为3时，请判断四边形AQCP是怎样的特殊平行四边形？并说明理由；
23．（11分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C．AD∥BC，AB＝DC D．AO＝CO，BO＝DO
解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，选项A不合题意；
∵AB∥CD，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，∠DCB+∠ABC＝180°，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠ABC，
∴四边形ABCD是平行四边形，选项B不合题意；
∵AD∥BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，选项C符合题意；
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，选项D不合题意；
选：C．
2．如图，A、B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点D、E，并且步测出DE长，由此知道AB长．若步测DE长为50m，则A，B间的距离是（ ）
A．25m B．50m C．75m D．100m
解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形的中位线定理，得：AB＝2DE＝100m．
选：D．
3．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．12
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EF，BC＝AD＝a，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是矩形，
由平移的性质得BE＝CF，
∴EF＝BC＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝矩形AEFD的面积＝ah＝12，
∴△ABE的平移距离为4．
选：B．
4．已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
∴O是AC的中点．
∴OA＝OCAC＝3，
∵△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，
∴△DCE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD，
∴CE+DE＝AD，
∵AE+DE＝AD，
∴AE＝CE，
∴OE是线段AC的中垂线，
∴OE⊥BD，
∵AE＝EC＝4，OA＝3，
∴EO．
选：D．
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）
A． B．1 C． D．
解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴OA＝OC，∠BAO∠DAB＝30°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OBAB，
∴OA，
∴AC＝2OA，
选：D．
6．下面是关于如图的不完整推理过程：
∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵____，
∴四边形ABCD是菱形；
为使推理成立，横线上可以添加的条件是（ ）
A．∠BCD+∠ADC＝180° B．AC＝BD
C．∠BAD+∠BCD＝180° D．AD＝AB
解：∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
选：D．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝18，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E，则四边形AODE的面积为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
解：∵AE∥BD，DE∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝18，
∴OA＝4，OD＝9，∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形，
∴四边形AODE的面积是OA OD＝4×9＝36，
选：B．
8．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解：设七巧板正方形的边长为x，
∴2BE2＝x2，
∴BE2，
∴BEx，
∴，
∴，
选：D．
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠FEC＝α，则∠BAE一定等于（ ）
A． B． C． D．90°﹣α
解：延长CB到G，使BG＝DF，连结AG．
正方形ABCD，AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠D＝∠ABG，
∴△ADF≌△ABG（SAS）
∴AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAE+∠BAG＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF＝45°
∵AE＝AE，AG＝AF，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴∠AEG＝∠AEF，
∵∠AEF+∠AEG+∠FEC＝180°，
∵∠FEC＝α，
∴∠AEG＝90°，
∵∠BAE+∠AEG＝90°，
∴∠BAE．
选：A．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝6，BC＝8，MN经过AC中点O分别交AB、CD于点M、N，连接AN、CM，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形AMCN为平行四边形
B．当CM＝4.8时，四边形AMCN为矩形
C．当AM＝5时，四边形AMCN为菱形
D．四边形AMCN可以为正方形
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
∵AO＝CO，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
A不符合题意；
∵AC⊥BC，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
设Rt△ACB斜边AB上的高是h，
∵AB hAC BC，
∴10h＝6×8，
∴h＝4.8，
∵CM＝4.8，
∴CM⊥AB，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴四边形AMCN是矩形，
B不符合题意；
当AM＝5时，
∵AB＝10，
∴M是AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CMAB＝5，
∴CM＝AM，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴四边形AMCN是菱形，
C不符合题意；
如果四边形AMCN是正方形，则∠CAM＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝6，BC＝8，
∴△ABC不可能是等腰直角三角形，
∴四边形AMCN不可能是正方形，
D符合题意．
选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝ 3 cm．
解：由图可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，
∴CDAB＝3cm，
答案为：3．
12．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 24 ．
解：如图：菱形ABCD中AC＝8，BD＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△DAC的面积AC OD，△BAC的面积AC OB，
∴菱形ABCD的面积＝△DAC的面积+△BAC的面积AC （OD+OB）AC BD8×6＝24．
答案为：24．
13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的线段EF与AD，BC分别交于点E，F．若AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为 12 ．
解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝CD＝4，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAE＝∠OCF，
又∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO＝FO＝1.5，AE＝CF，
∵AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，
∴四边形EFCD的周长为CD+DE+EF+CF＝CD+DE+AE+EF＝CD+AD+EF＝4+5+1.5×2＝12，
答案为：12．
14．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝8，则AB的长为 ．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCF＝90°，
∵点G是BF的中点，
∴BG＝FG＝GCBF＝4，
∴∠GBC＝∠GCB，
∵AD∥BC，
∴∠GBC＝∠AEB，
∴∠CGE＝∠GBC+∠GCB＝2∠GBC＝2∠AEB，
∵∠BEC＝2∠AEB，
∴∠BEC＝∠CGE，
∴CE＝CG＝4，
在Rt△CDE中，DE＝1，
∴CD．
∴AB＝CD．
答案为：．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠A，
在△ABE和△FCB中，
，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴FC＝AB＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，
在Rt△FCB中，由勾股定理得，
答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠1＝∠2．
17．（9分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：△BOF≌△DOE；
（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴DO＝BO，
又∵∠EOD＝∠FOB，
∴△BOF≌△DOE（ASA）；
（2）证明：由（1）已证△BOF≌△DOE，
∴BF＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形．
18．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，且，连接DE．
（1）求证：四边形AODE为矩形；
（2）连接BE，若AC＝2，，则菱形ABCD的面积为 4 ．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，
∴∠AOD＝90°，
∵，
∴AE＝OD，
∵AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形，
∵∠AOD＝90°，
∴四边形AODE为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，
∵四边形AODE为矩形，
∴DE＝AO＝1，∠BDE＝90°，
∴，
∴菱形ABCD的面积为．
19．（9分）如图，在 ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝10，
∴OB＝OD＝5，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EGOB＝2.5．
∴EG的长为2.5．
20．（9分）已知如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE．求证：BC＝2CD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AEB＝∠CBE，∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，
∵CE⊥BE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠ABE+∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠DCE，
同理得：CD＝ED，
∴AD＝AE+DE＝AB+CD＝2CD，
∴BC＝2CD．
21．（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是CD的中点，连接OF并延长至点E，使EF＝OF，连接CE，DE．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若OE＝4，∠BAD＝60°，求菱形ABCD的面积．
（1）证明：∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
∵EF＝OF，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形DOCE是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形DOCE是矩形，
∴CD＝OE＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝2OB，AC＝2OC，AC⊥BD，BC＝CD＝4，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠BCO∠BCD＝30°，
∴OBBC＝2，
∴BD＝2OB＝4，OC42，
∴AC＝2OC＝4，
∴S菱形ABCDAC BD44＝8．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当运动时间t为3时，请判断四边形AQCP是怎样的特殊平行四边形？并说明理由；
解：（1）由题意，得BQ＝t，DP＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，
∴AP＝8﹣t，
当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，
∴t＝8﹣t，
解得t＝4，
∴当t＝4s时，四边形ABQP是矩形；
（2）四边形AQCP是菱形，
理由：∵AB＝4，BQ＝PD＝t＝3，∠B＝90°，
∴AQ5，
此时，CQ＝CB﹣BQ＝5，AP＝AD﹣PD＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵CQ＝AP，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∵AQ＝CQ＝5，
∴四边形AQCP为菱形．
23．（11分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
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第18章 平行四边形 素养提升测试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C．AD∥BC，AB＝DC D．AO＝CO，BO＝DO
2．如图，A、B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点D、E，并且步测出DE长，由此知道AB长．若步测DE长为50m，则A，B间的距离是（ ）
A．25m B．50m C．75m D．100m
3．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．12
4．已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）
A． B．1 C． D．
6．下面是关于如图的不完整推理过程：
∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵____，
∴四边形ABCD是菱形；
为使推理成立，横线上可以添加的条件是（ ）
A．∠BCD+∠ADC＝180° B．AC＝BD
C．∠BAD+∠BCD＝180° D．AD＝AB
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝18，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E，则四边形AODE的面积为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
8．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠FEC＝α，则∠BAE一定等于（ ）
A． B． C． D．90°﹣α
10．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝6，BC＝8，MN经过AC中点O分别交AB、CD于点M、N，连接AN、CM，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形AMCN为平行四边形
B．当CM＝4.8时，四边形AMCN为矩形
C．当AM＝5时，四边形AMCN为菱形
D．四边形AMCN可以为正方形
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝ cm．
12．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 ．
13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的线段EF与AD，BC分别交于点E，F．若AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为 ．
14．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝8，则AB的长为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2．
17．（9分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：△BOF≌△DOE；
（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．
18．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，且，连接DE．
（1）求证：四边形AODE为矩形；
（2）连接BE，若AC＝2，，则菱形ABCD的面积为 ．
19．（9分）如图，在 ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．
20．（9分）已知如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE．求证：BC＝2CD．
21．（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是CD的中点，连接OF并延长至点E，使EF＝OF，连接CE，DE．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若OE＝4，∠BAD＝60°，求菱形ABCD的面积．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当运动时间t为3时，请判断四边形AQCP是怎样的特殊平行四边形？并说明理由；
23．（11分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，∠DAB＝∠DCB
C．AD∥BC，AB＝DC D．AO＝CO，BO＝DO
解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，选项A不合题意；
∵AB∥CD，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，∠DCB+∠ABC＝180°，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠ABC，
∴四边形ABCD是平行四边形，选项B不合题意；
∵AD∥BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，选项C符合题意；
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，选项D不合题意；
选：C．
2．如图，A、B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小强通过下面的方法估测出A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点D、E，并且步测出DE长，由此知道AB长．若步测DE长为50m，则A，B间的距离是（ ）
A．25m B．50m C．75m D．100m
解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形的中位线定理，得：AB＝2DE＝100m．
选：D．
3．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝4，h＝3，则△ABE的平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．12
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥EF，BC＝AD＝a，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是矩形，
由平移的性质得BE＝CF，
∴EF＝BC＝4，
∴平行四边形ABCD的面积＝矩形AEFD的面积＝ah＝12，
∴△ABE的平移距离为4．
选：B．
4．已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
∴O是AC的中点．
∴OA＝OCAC＝3，
∵△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，
∴△DCE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD，
∴CE+DE＝AD，
∵AE+DE＝AD，
∴AE＝CE，
∴OE是线段AC的中垂线，
∴OE⊥BD，
∵AE＝EC＝4，OA＝3，
∴EO．
选：D．
5．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（ ）
A． B．1 C． D．
解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴OA＝OC，∠BAO∠DAB＝30°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OBAB，
∴OA，
∴AC＝2OA，
选：D．
6．下面是关于如图的不完整推理过程：
∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵____，
∴四边形ABCD是菱形；
为使推理成立，横线上可以添加的条件是（ ）
A．∠BCD+∠ADC＝180° B．AC＝BD
C．∠BAD+∠BCD＝180° D．AD＝AB
解：∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
选：D．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝18，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E，则四边形AODE的面积为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
解：∵AE∥BD，DE∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝18，
∴OA＝4，OD＝9，∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形，
∴四边形AODE的面积是OA OD＝4×9＝36，
选：B．
8．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解：设七巧板正方形的边长为x，
∴2BE2＝x2，
∴BE2，
∴BEx，
∴，
∴，
选：D．
9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠FEC＝α，则∠BAE一定等于（ ）
A． B． C． D．90°﹣α
解：延长CB到G，使BG＝DF，连结AG．
正方形ABCD，AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠D＝∠ABG，
∴△ADF≌△ABG（SAS）
∴AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，
∵∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠DAF＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAE+∠BAG＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF＝45°
∵AE＝AE，AG＝AF，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴∠AEG＝∠AEF，
∵∠AEF+∠AEG+∠FEC＝180°，
∵∠FEC＝α，
∴∠AEG＝90°，
∵∠BAE+∠AEG＝90°，
∴∠BAE．
选：A．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝6，BC＝8，MN经过AC中点O分别交AB、CD于点M、N，连接AN、CM，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形AMCN为平行四边形
B．当CM＝4.8时，四边形AMCN为矩形
C．当AM＝5时，四边形AMCN为菱形
D．四边形AMCN可以为正方形
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
∵AO＝CO，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
A不符合题意；
∵AC⊥BC，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
设Rt△ACB斜边AB上的高是h，
∵AB hAC BC，
∴10h＝6×8，
∴h＝4.8，
∵CM＝4.8，
∴CM⊥AB，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴四边形AMCN是矩形，
B不符合题意；
当AM＝5时，
∵AB＝10，
∴M是AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CMAB＝5，
∴CM＝AM，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴四边形AMCN是菱形，
C不符合题意；
如果四边形AMCN是正方形，则∠CAM＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝6，BC＝8，
∴△ABC不可能是等腰直角三角形，
∴四边形AMCN不可能是正方形，
D符合题意．
选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝ 3 cm．
解：由图可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，
∴CDAB＝3cm，
答案为：3．
12．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 24 ．
解：如图：菱形ABCD中AC＝8，BD＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△DAC的面积AC OD，△BAC的面积AC OB，
∴菱形ABCD的面积＝△DAC的面积+△BAC的面积AC （OD+OB）AC BD8×6＝24．
答案为：24．
13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的线段EF与AD，BC分别交于点E，F．若AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为 12 ．
解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝CD＝4，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAE＝∠OCF，
又∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO＝FO＝1.5，AE＝CF，
∵AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，
∴四边形EFCD的周长为CD+DE+EF+CF＝CD+DE+AE+EF＝CD+AD+EF＝4+5+1.5×2＝12，
答案为：12．
14．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝8，则AB的长为 ．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCF＝90°，
∵点G是BF的中点，
∴BG＝FG＝GCBF＝4，
∴∠GBC＝∠GCB，
∵AD∥BC，
∴∠GBC＝∠AEB，
∴∠CGE＝∠GBC+∠GCB＝2∠GBC＝2∠AEB，
∵∠BEC＝2∠AEB，
∴∠BEC＝∠CGE，
∴CE＝CG＝4，
在Rt△CDE中，DE＝1，
∴CD．
∴AB＝CD．
答案为：．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 ．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CFB＝∠A，
在△ABE和△FCB中，
，
∴△ABE≌△FCB（AAS），
∴FC＝AB＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，
在Rt△FCB中，由勾股定理得，
答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠1＝∠2．
17．（9分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：△BOF≌△DOE；
（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴DO＝BO，
又∵∠EOD＝∠FOB，
∴△BOF≌△DOE（ASA）；
（2）证明：由（1）已证△BOF≌△DOE，
∴BF＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形．
18．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，且，连接DE．
（1）求证：四边形AODE为矩形；
（2）连接BE，若AC＝2，，则菱形ABCD的面积为 4 ．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，
∴∠AOD＝90°，
∵，
∴AE＝OD，
∵AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形，
∵∠AOD＝90°，
∴四边形AODE为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，
∵四边形AODE为矩形，
∴DE＝AO＝1，∠BDE＝90°，
∴，
∴菱形ABCD的面积为．
19．（9分）如图，在 ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，AE+CF＝EF，求EG的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝10，
∴OB＝OD＝5，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EGOB＝2.5．
∴EG的长为2.5．
20．（9分）已知如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE．求证：BC＝2CD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AEB＝∠CBE，∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，
∵CE⊥BE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠ABE+∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠DCE，
同理得：CD＝ED，
∴AD＝AE+DE＝AB+CD＝2CD，
∴BC＝2CD．
21．（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是CD的中点，连接OF并延长至点E，使EF＝OF，连接CE，DE．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若OE＝4，∠BAD＝60°，求菱形ABCD的面积．
（1）证明：∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
∵EF＝OF，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形DOCE是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形DOCE是矩形，
∴CD＝OE＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝2OB，AC＝2OC，AC⊥BD，BC＝CD＝4，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠BCO∠BCD＝30°，
∴OBBC＝2，
∴BD＝2OB＝4，OC42，
∴AC＝2OC＝4，
∴S菱形ABCDAC BD44＝8．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当运动时间t为3时，请判断四边形AQCP是怎样的特殊平行四边形？并说明理由；
解：（1）由题意，得BQ＝t，DP＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，
∴AP＝8﹣t，
当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，
∴t＝8﹣t，
解得t＝4，
∴当t＝4s时，四边形ABQP是矩形；
（2）四边形AQCP是菱形，
理由：∵AB＝4，BQ＝PD＝t＝3，∠B＝90°，
∴AQ5，
此时，CQ＝CB﹣BQ＝5，AP＝AD﹣PD＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵CQ＝AP，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∵AQ＝CQ＝5，
∴四边形AQCP为菱形．
23．（11分）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
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