第16 讲 几何综合探究 培优练习 （含答案）

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第16 讲 几何综合探究
典 例 精 讲
【例1】 如图1,在三角形ABC中,点 D是AC延长线上一点,过点 D作DE∥BC,DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,DG与BG 交于点G,直线 DG与直线BC 交于点F.
(1)证明:∠A=∠ACF-∠ABC;
(2)在图1中,若∠G=30°,求∠A 的度数;
(3)如图2,连接FE,若2∠DFE=∠ABC+2∠G,求证:FE∥AD.
【例2】 如图，直线 直线 MN分别与AB,CD 交于点E,F.
(1)如图1, 和 的平分线交于点G，猜想. 的度数，并证明你的猜想；
(2)如图2,G 是AB,CD 之间一点, 平分 点 在 上，连接 且∠1= 求证：
针 对 训 练
(1)如图1,已知AB∥CD.直接写出∠A,∠DCE,∠E的数量关系 ;
(2)如图2，已知AB∥CD.∠DCE的平分线的反向延长线与∠FAE的平分线相交于点H.若∠E=20°,求∠H 的度数;
(3)如图3,∠DCE的平分线的反向延长线与∠BAE的平分线相交于点 P.若∠E+2∠P=360°,求证:AB∥CD.
典 例 精 讲
【例1】 如图1,在三角形ABC中,点 D是AC 延长线上一点,过点 D作DE∥BC,DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,DG与BG 交于点G,直线 DG与直线BC 交于点F.
(1)证明:∠A=∠ACF-∠ABC;
(2)在图1中,若∠G=30°,求∠A 的度数;
(3)如图2,连接FE,若2∠DFE=∠ABC+2∠G,求证:FE∥AD.
【解答】(1)在BF上方作CT∥AB,
∴∠ACT=∠A,∠TCF=∠ABC,
∵∠ACF=∠ACT+∠TCF,
∴∠ACF=∠A+∠ABC,
∴∠A=∠ACF-∠ABC;
(2)∵DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,∴∠ADG=∠GDE,∠ABG=∠GBC,设∠ADG=∠GDE=y,∠ABG=∠GBC=x,过点 G向左作GP∥BC,
∵DE∥BC,∴GP∥BC∥DE,∴∠PGB=∠GBF=x,∠PGD=∠GDE=y,
∴∠BGF=∠PGD-∠PGB=y-x=30°,
∵∠ACF=∠ADE=2y,∴由(1),得∠A=∠ACF-∠ABC=2y-2x=60°;
(3 ,∴FE∥AD.
【例2】 如图,直线AB∥CD,直线 MN分别与AB,CD交于点E,F.
(1)如图1，∠BEF 和∠EFD的平分线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想；
(2)如图2,G 是AB,CD 之间一点,FG 平分∠EFD,点 G 在 上，连接 且∠1=
∠2.求证:
【解答】(1)猜想:∠EGF=90°.过点 G向左作GP∥AB,
∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°.
∵EG平分∠BEF,FG 平分∠EFD,
∵GP∥AB,AB∥CD,∴GP∥AB∥CD,
∴∠EGF=∠EGP+∠FGP=∠BEG+∠GFD=90°;
(2)过点 G 作G H∥AB,
∵AB∥CD,∴G H∥CD,∴∠3=∠G FD,
由(1)知∠
∵FG 平分∠EFD,∴∠4=∠G FD,∵∠1=∠2,∴∠G =∠2+∠4,
D,
针 对 训 练
(1)如图1,已知AB∥CD.直接写出∠A,∠DCE,∠E 的数量关系∠DCE=∠E+∠A ;
(2)如图2，已知AB∥CD.∠DCE的平分线的反向延长线与∠FAE的平分线相交于点H.若∠E=20°,求∠H 的度数;
(3)如图3,∠DCE的平分线的反向延长线与∠BAE的平分线相交于点 P.若∠E+2∠P=360°,求证:AB∥CD.
【解答】(1)延长DC交AE 于点M,∵AB∥CD,∴∠A=∠DME,∵∠DCE=∠E+∠DME,∴∠DCE=∠E+∠A,故答案为∠DCE=∠E+∠A;
(2)延长GH 交BF 于点M,设∠DCG=∠ECG=α,∠DCE=2α,
∵AB∥CD,∴∠AMG=∠DCG=α,由(1)得∠DCE=∠E+∠BAE,
∵∠E=20°,∴2α=20°+∠BAE,∴∠BAE=2α-20°,∵∠BAE+∠MAE=180°,
∵AH 平分∠FAE,
∴∠MAH=∠HAE=100°-α,∴∠AHC=∠AMG+∠MAH=α+(100°-α)=100°;
(3)过点 P 作MN∥AB,
∵∠E+2∠APC=360°,∠E+∠APC+∠EAP+∠ECP=360°,
∴∠APC=∠EAP+∠ECP=∠1+∠ECP,
∵MN∥AB,∴∠2=∠3,∵AP平分∠EAB,
∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴∠APC=∠1+∠4,
∴∠4=∠ECP,∴∠4+∠ECG=180°,
∵∠4+∠NPG=180°,∴∠NPG=∠ECG=∠GCD,∴MN∥CD,
∴AB∥CD.