11.3用反比例函数解决问题同步练习（含解析）

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11.3用反比例函数解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．红星中学冬季储煤吨，若每天用煤吨，则使用天数与的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（　　）
A． B． C． D．
3．如果一个三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，则与的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
4．已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则与之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（　　）
A．t=20v B．t= C．t= D．t=
6．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为【 】
A． B． C． D．
7．某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（　　）
A．（x＞0） B．（x≥0） C．y=300x（x≥0） D．y=300x（x＞0）
8．古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为1600N和0.5m，小明最多能使出500N的力量，若要撬动这块大石头，他该选择撬棍的动力臂（ ）
A．至多为 B．至少为 C．至多为 D．至少为
9．某汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受的牵引力F不超过1200牛时，速度v（ ）
A．大于50米/秒 B．小于50米/秒 C．不大于50米/秒 D．不小于50米/秒
10．为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量（毫克）与时间（分）成正比例；药物燃烧结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（ ）
A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小
B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米
C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克
D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟
11．百米赛跑中，队员所用的时间y秒与其速度x米/秒之间的函数图象应为(　　)
A．
B．
C．
D．
12．当今，各种造型的气球深受小朋友喜爱．如图1是“冰墩墩”造型的气球，气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气球体积V（m3）的反比例函数，其图象如图2所示，当气球内的气压大于200kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积V的范围为*
A．V＞0.48m3 B．V＜0.48m3 C．V≥0.48m3 D．V≤0.48m3
二、填空题
13．利用数学公式可建立反比例函数关系式，圆柱体的容积＝ × .
14．已知某工厂有煤1500吨，则这些煤能用的天数y与每天用煤的吨数x之间的函数关系式为 ．
15．某村利用秋冬季节兴修水利，计划请运输公司用90～150天（含90与150天）完成总量300万米3的土石方运送，设运输公司完成任务所需的时间为y（单位：天），平均每天运输土石方量为x（单位：万米3），请写出y关于x的函数关系式并给出自变量x的取值范围 ．
16．如图，已知点A1、A2、A3、…、An在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1、A2、A3、An作x轴的垂线，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1、B2、B3、…、Bn，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2，…，若记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2，…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+…+S2018＝ ．
17．二中到联安镇为5公里，某同学骑车到达，那么时间t与速度（平均速度）v之间的函数关系式是( )
三、解答题
18．如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是．如果B面向下放在地上，地面所受压强为，那么A面和C面分别向下放在地上时，地面所受压强各是多少？
19．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v(千米/小时)与所用时间t(小时)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120.
(1)直接写出v与t的函数关系式；
(2)若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．
①求两车的平均速度；
②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站(两车加油的时间忽略不计)，求甲地与B加油站的距离．
20．如图，点B(3，3)在双曲线y=(x>0)上，点D在双曲线(x<0)上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，DM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，且点A、 B、 C、 D构成的四边形为正方形．
（1）k的值为___；
（2）求证：△ADM≌△BAN；
（3）求点A的坐标．
21．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为．据以上信息解答下列问题：
(1)求药物燃烧时y关于x的函数表达式．
(2)求药物燃烧后y关于x的函数表达式．
(3)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？
22．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
(1)写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
(2)求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
(3)广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
23．小芳从家骑自行车去学校，所需时间y（min）与骑车速度x（m/min）之间的反比例函数关系如图.
（1）写出y与x的函数表达式
（2）学校要求学生每天7点20分前到校，而小芳的骑车速度最快不超过300m/min，为了安全起见，她每天至少要几点出发？.
24．某游泳池每次换水前后水的体积基本保持不变．当该游泳池以每小时立方米的速度放水时，经3小时能将池内的水放完．设放水的速度为v立方米/时，将池内的水放完需t小时．
(1)求v关于t的函数表达式，并画出函数图象．
(2)若要求在小时内（包括小时）把游泳池内的水放完，则游泳池的放水速度至少为多少立方米/时（要求用反比例函数的性质和图象两种方法求解）？
《11.3用反比例函数解决问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A B C A B D C
题号 11 12
答案 C C
1．A
【详解】∵储煤量为120吨，每天用煤量为x吨，使用天数y，
∴，且，
∴y与x的函数关系是反比例函数，且图象在第一象限.
故选A.
点睛：在确定y是x的反比例函数后，不要忽略了x的取值范围是x>0，由此即可得到其图象只有第一象限的部分.
2．C
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意有：v t＝s，
∴，
故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，
且根据实际意义v＞0、t＞0，
∴其图像在第一象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
3．C
【分析】本题考查了反比例函数的意义，根据三角形面积公式得到、的关系式是解题关键．
根据三角形面积公式得到、关系式，变形即可求解．
【详解】解：∵底边长为，底边上的高为的三角形面积为10，
∴，
∴．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，
∴，
∴函数解析式为：，
∴与之间的函数图象大致是：
故选：．
5．B
【详解】试题分析：根据行程问题的公式路程=速度×时间，可知汽车行驶的时间t关于行驶速度v的函数关系式为t=．
考点：函数关系式
6．C
【详解】设，那么点（3，2）满足这个函数解析式，∴k=3×2=6．∴．故选C
7．A
【分析】这些煤能烧的天数=煤的总吨数÷平均每天烧煤的吨数，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵煤的总吨数为300，平均每天烧煤的吨数为x，
.
故选A．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得到这些煤能烧的天数的等量关系是解决本题的关键．
8．B
【分析】直接利用：阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出F与l之间的函数表达式；把F=500N代入所求的函数解析式即可得到结论．
【详解】解：由题意可得：1600×0.5=Fl，
则F与l的函数表达式为：F=；
当动力F=500N时，
500=，
解得l==1.6，
答：动力F=500N时，动力臂至少为1.6m，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题关键．
9．D
【分析】根据图像可知为反比例函数，图像过点（3000，20），代入(P),即可求出反比例函数的解析式，再求出牵引力为1200牛时，汽车的速度即可.
【详解】解：设v与F之间的函数关系式为v＝，把（3000，20）代入得：P＝60000，
∴v与F之间的函数关系式为，
把F＝1200牛代入v＝＝50（米/秒），
故当它所受的牵引力F不超过1200牛时，速度v不小于50米/秒．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是找到已知条件求出反比例函数的解析式．
10．C
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获得所需信息是解题关键．根据图像可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小，即可判断选项A；利用待定系数法解得当时和时，关于的函数解析式，再将代入并求值，即可确定第12分钟时，教室内的含药量，即可判断选项B；将代入并求值，可知第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，即可判断选项C；若，分别求得和阶段的值，可求得教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间，即可判断选项D．
【详解】解：根据图像可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小，
故选项A正确，不符合题意；
当时，设直线解析式为，
将点代入，可得，解得，
所以此阶段关于的函数解析式为，
当时，设此阶段关于的函数解析式为，
将点代入，可得，解得，
所以此阶段关于的函数解析式为，
故当时，可有（毫克/立方米），
即第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米，故选项B正确，不符合题意；
当时，可有（毫克/立方米），
即第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，故选项C错误，符合题意；
当时，若，可得，解得（分钟），
当时，若，可得，解得（分钟），
则教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为分钟，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
11．C
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意可知时间y秒与速度x米/秒之间的函数关系式为：y=（x＞0），所以函数图象大致是C．
故选C．
【点睛】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，要注意自变量x的取值范围，结合自变量的实际范围作图
12．C
【分析】先求出反比例函数解析式，再依题意得P≤200，即，解不等式即可．
【详解】设P与V的函数关系式为P=，
则，
解得k=96，
∴函数关系式为P=；
当P＞200kPa时，气球将爆炸，
∴P≤200，即，
解得V≥0.48（m3）．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
13． 底面积 高
【详解】圆柱的体积公式为：圆柱体的容积＝底面积×高.
14．y=
【分析】这些煤能用的天数=煤的总吨数÷平均每天用煤的吨数，把相关数值代入即可．
【详解】∵煤的总吨数为1500，平均每天用煤的吨数为x，
∴这些煤能用的天数为y=，
故答案为y=．
【点睛】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，得到这些煤能烧的天数的等量关系是解决本题的关键．
15．y=（2≤x≤）．
【详解】试题解析：
由题意得，
把y=90代入得
把y=150代入得，
所以自变量的取值范围为：
故答案为：（）．
16．
【详解】分析：
由题意易得B1、B2、B3、 、Bn的坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，）、 、（n，），从而可得B1P1=2﹣1=1，B2P2=1﹣=，B3P3=﹣=，…，BnPn=﹣=，由此可得Sn=AnAn+1 BnPn=，从而可得S1+S2+…+S2018=，再展开计算即可.
详解：
根据题意可知：点B1（1，2）、B2（2，1）、B3（3，）、…、Bn（n，），
∴B1P1=2﹣1=1，B2P2=1﹣=，B3P3=﹣=，…，BnPn=﹣=，
∴Sn=AnAn+1 BnPn=，
∴S1+S2+…+S2018
=
=
=
=.
故答案为：.
点睛：本题解题有两个要点：（1）由已知得到点B1、B2、B3、 、Bn的坐标，并由此表达出Sn=AnAn+1 BnPn=；（2）当n为正整数时，.
17．v=
【详解】由路程=速度×时间可得：，
∴.
故答案为.
18．，
【分析】根据题意：设该砖的质量为m，其为定值，且有P S＝mg，即P与S成反比例关系，且B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，则把砖的A面向下放在地上，地面所受压强P＝ ，把砖的C面向下放在地上P＝2a．
【详解】解：设该砖的质量为m，则P S＝mg，
∵B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，A，B，C三个面的面积之比是4：2：1，
∴把砖的A面向下放在地上，P＝ ，把砖的C面向下放在地上P＝，
答：A面向下放在地上时，地面所受压强是，C面向下放在地上时，地面所受压强是．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
19．（1）v与t的函数关系式为（）；（2）①客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时．②甲地与B加油站的距离为220或440千米．
【分析】（1）利用时间t与速度v成反比例可以得到反比例函数的解析式；
（2）①由客车的平均速度为每小时v千米，得到货车的平均速度为每小时（v-20）千米，根据一辆客车从甲地出发前往乙地，一辆货车同时从乙地出发前往甲地，3小时后两车相遇列出方程，解方程即可；
②分两种情况进行讨论：当A加油站在甲地和B加油站之间时；当B加油站在甲地和A加油站之间时；都可以根据甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）设函数关系式为v=，
∵t=5，v=120，
∴k=120×5=600，
∴v与t的函数关系式为v=（5≤t≤10）；
（2）①依题意，得
3（v+v-20）=600，
解得v=110，
经检验，v=110符合题意．
当v=110时，v-20=90．
答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；
②当A加油站在甲地和B加油站之间时，
110t-（600-90t）=200，
解得t=4，此时110t=110×4=440；
当B加油站在甲地和A加油站之间时，
110t+200+90t=600，
解得t=2，此时110t=110×2=220．
答：甲地与B加油站的距离为220或440千米．
20．（1）9；（2）证明见解析；（3）A（1，0）；
【分析】（1）把点B（3，3）代入双曲线y=（x＞0），求出k的值即可；
（2）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到AD=AB，且∠DAB为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS即可得证；
（3）由△ADM≌△BAN得到DM=AN，AM=BN，根据B的坐标得到ON=BN=3，设A（a，0），即OA=a，由ON﹣OA表示出AN，即为DM，为D的纵坐标，代入反比例解析式表示出横坐标，确定出OM，由OM+OA表示出AM，根据AM=BN=3求出a的值，即可确定出A坐标．
【详解】（1）∵点B（3，3）在双曲线y=（x＞0）上，∴k=3×3=9．
故答案为9；
（2）∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAB=90°，AD=AB，∴∠DAM+∠BAN=90°．
∵∠MDA+∠DAM=90°，∴∠MDA=∠BAN．
在△ADM和△BAN中，∵，∴△ADM≌△BAN（AAS）；
（3）∵△ADM≌△BAN，∴AN=DM，BN=AM，设A（a，0），即OA=a．
∵B（3，3），∴BN=ON=3，∴DM=AN=ON﹣OA=3﹣a，把y=3﹣a代入y=﹣，得：x=﹣，即OM=，∴BN=AM=OM+OA=+a=3，解得：a=1或a=5（不合题意，舍去），∴A（1，0）．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．
21．(1)药物燃烧时y关于x的函数表达式为
(2)药物燃烧后y关于x的函数表达式为
(3)从消毒开始，第2分钟到第分钟学生不能停留在教室里
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后，时，x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为，
∴，
∴，
∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为；
（2）解：设药物燃烧后y关于x的函数表达式为，
∴，
∴，
∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为；
（3）解：对于，当，；
对于，当时，，
∴从消毒开始，第2分钟到第分钟学生不能停留在教室里．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
22．(1)；
(2)8
(3)能
【分析】（1）分类讨论当时或当时，分别设函数解析式，代入求值即可；
（2）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
（3）分类讨论当时或当时，分别不等式即可求解；
【详解】（1）解：根据题意可知：
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴；
当时，设与的函数解析式为，
∴，
解得：
∴
综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；．
（2）解：当时，
令，
解得：，
∴，
∴销量不到36万件的天数为8天；
当时，
令，
解得： （不符合题意），
∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；
（3）解：当时，
令，
解得：
∴，
∴销量超过100万件的天数为6天，
当时，
令，
解得：
∴，
销量超过100万件的天数为6天，
综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【点睛】本题考查了分段函数的实际运用，把握正比函数、反比例函数的图像及性质和运用分类讨论思想是解决本题的关键．
23．（1）y=;(2（2）7:12出发.
【分析】（1）根据速度×时间=路程列出关系式，结合路程，就可以得出答案；
（2）把代入（1）中的函数关系，解之即可得到答案.
【详解】（1）y与x的函数关系为
（2）把代入得
答：小芳的骑车速度最快不超过300m/min，为了安全起见，她每天至少要7:12出发.
【点睛】考查反比例函数的实际应用，反比例函数的图象与性质，反比例函数的定义和表达式，比较基础.
24．(1)，函数图象见解析
(2)游泳池的放水速度至少为，详解见解析
【分析】（1）先求出游泳池没放水时的体积，然后根据水的体积=放水速度×放水时间进行求解即可；
（2）根据（1）中的函数图象和反比例函数的增减性进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，游泳池没放水时的体积为，
∴，
∴，
函数图象如下所示：
（2）解：图象法：当时，，
要使，则必须保证，
∴游泳池的放水速度至少为；
函数的性质：由可知，
∵，
∴，
∴，
∴游泳池的放水速度至少为；
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是结合实际问题确定两个变量之间的关键性．
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