12.3二次根式的加减同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
12.3二次根式的加减
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）.
A． B． C． D．
2．已知，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．比较大小错误的是（ ）
A．＜ B．＋2＜﹣1
C．＞﹣6 D．|1－|＞－1
4．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2；其中错误的有（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．已知整数，，，，……，满足下列条件：＝1，，，，……，以此类推，则＋＋＋…＋的值为 ( )
A．1009 B．1010 C．1011 D．2019
6．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列各等式中正确的是（ ）
A．=±2 B．2+=2
C．a2-a-2=（a+1）（a-2） D．
8．计算：的结果为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
9．计算－9的结果是( )
A． B．－ C．－ D．
10．的整数部分是，小数部分是，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．下列计算，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下面说法正确的是（ ）
A．被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
B．与是同类二次根式
C．与不是同类二次根式
D．同类二次根式是根指数为2的根式
二、填空题
13．计算的结果是 ．
14．已知整数和，有下列命题：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则
根据以上三个命题所提供的规律猜想：若，则 .
15．计算： ．
16．（1）若，，则 ， ；
（2）若，则 ．
17．下列二次根式，不能与合并的是 （填写序号即可）．
①； ②； ③； ④； ⑤．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)
19．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
OA1=1；　　
OA2=；　　 S1=×1×1=；
OA3=；　　　　S2=××1=；
OA4=；　　　　S3=××1=；
（1）推算出OA10=　 　．
（2）若一个三角形的面积是．则它是第 　个三角形．
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律；
（4）求出S12+S22+S23+…+S2100的值．

20．计算：
(1)
(2)
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
22．已知实数满足．
(1)试问能等于5吗 答：______（填“能”或“不能”）；
(2)求分式的值．
23．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则　 　，　 　．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简．
24．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：
(1)将分母有理化可得___；
(2)关于x的方程的解是_____．
《12.3二次根式的加减》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A B C C D B A
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】先把选项的根式进行化简，然后根据同类二次根式进行判断即可.
【详解】A. ，与不是同类二次根式，故选项错误；
B. ，与不是同类二次根式，故选项错误；
C. ，与不是同类二次根式，故选项错误；
D. ，与是同类二次根式，故选项正确；
故选D.
【点睛】本题考查同类二次根式定义，解题关键在于能够对选项进行化简.
2．A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．
先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据无理数的估算即可得出结果．
【详解】解：
，
，
∴，
∴，
∴．
故选A．
3．D
【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．
【详解】A、由于5<7，则＜，故正确；
B、由于＋2<6+2=8，而8=9-1<－1，则＋2＜﹣1，故正确；
C、由于，则，故正确；
D、由于，故错误．
故选：D
【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．
4．A
【详解】解：①3+3≠6，无法计算，故错误；
② =，原式错误；
③+≠=2，不能计算，故错误；
④=2，正确.
故选A.
5．B
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以发现这组数据的变化规律，进而可以得到＋＋＋…＋的值．
【详解】由题意可得，
＝1，，，，……，
∴＋＋＋…＋＝1＋0＋1＋…＋1=1010，
故选：B．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出相应的项的值．
6．C
【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A、，原式错误；
B、，原式错误；
C、，原式正确；
D、，原式错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．C
【详解】A、=2，故此选项错误；B、2+无法计算，故此选项错误；C、a2-a-2=（a+1）（a-2），故此选项正确；D、，故此选项错误；
故选C．
考点：1．因式分解-十字相乘法等；2．实数的运算；3．幂的乘方与积的乘方．
8．D
【分析】根据实数的运算法则计算即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】此题考查了化简绝对值、零指数幂、二次根式的加减法，解题的关键熟悉运算法则．
9．B
【分析】首先化简二次根式,进而合并求出即可.
【详解】.
所以B选项是正确的.
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算,正确化简二次根式是解题关键.
10．A
【分析】本题考查了无理数的估算和二次根式的性质，由于，由此可确定的整数部分x，接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中恰好利用平方差公式计算出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴
故选A．
11．C
【分析】根据二次根式的加减法运算法则分别判断即可．
【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故正确，符合题意；
D、，故错误，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则和平方差公式是解此题的关键．
12．A
【详解】试题解析：A、被开方数相同的二次根式若能化简，化简后一定被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；
B、 ∴与不是同类二次根式，故本选项错误；
C、∴与是同类二次根，故本选项错误；
D、同类二次根式不仅是根指数为2的根式，还要化简后被开方数相同，故本选项错误．
故选A．
13．
【详解】先根据二次根式的乘法法则进行计算，然后化简后合并即可.
解：
=
=
故答案为:
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.点睛片段
14．
【分析】由给到的计算过程猜想出一般规律，然后利用一般规律进行解题即可.
【详解】（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
故可猜想出；
所以若，则，
故填.
【点睛】本题考查的是规律的探索与总结，能够正确找到规律是解题关键.
15．
【分析】先化简两个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握“二次根式的化简与合并同类二次根式”是解本题的关键．
16． 3 2
【分析】（1）根据二次根式的运算法则直接计算即可；
（2）根据二次根式的运算法则直接计算即可.
【详解】解：（1）∵，，
∴，
；
（2）∵，
∴，
故答案为，3，2.
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键.
17．②⑤
【详解】解：根据同类二次根式的意义，化简后被开方数相同的二次根式为最简二次根式，然后可合并，因此可由=，= ，，可得可合并的为②⑤.
故答案为：②⑤.
【点睛】此题主要考查了最简二次根式，解题关键是根据化简后被开方数相同的二次根式为最简二次根式，然后合并，注意化简之后的结果的比较.
18．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用二次根式混合运算法则计算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式以及完全平方公式，能够熟练应用运算法则和掌握公式的应用是解题的关键．
19．（1）；（2）20；（3）；(4)．
【分析】（1）根据题中给出的规律即可得出结论；
（2）若一个三角形的面积是，利用前面公式可以得到它是第几个三角形；
（3）利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化；
（4）将前100个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出．
【详解】解：（1））∵OAn2=n，∴OA10=．
故答案为；
（2）若一个三角形的面积是，
∵Sn===2=，∴它是第20个三角形．
故答案为20；
（3）结合已知数据，可得：OAn2=n， Sn=；
（4）S12+S22+S23+…+S2100
=++++…+
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的应用以及勾股定理的应用，涉及到数据的规律性，综合性较强，希望同学们能认真的分析总结数据的特点．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式和立方根的性质化简各式，再进行加减运算即可求解；
（2）直接利用绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，去掉括号，进而得出答案．
【详解】（1）
（2）
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则、正确化简各式是解题关键．
21．(1)；
(2)；
(3)2；
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）直接根据求解即可得到答案；
（2）先化简括号里的根式，合并同类二次根式，再根据乘法法则求解即可得到答案；
（3）先化简括号里的根式，合并同类二次根式，再根据除法法则求解即可得到答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：
．
22．(1)不能
(2)2或3
【分析】（1）若能等于5，即，将代入原方程验证即可；
（2）将方程变形为，再分为和两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：若能等于5，则，
当，则，，左右两边不相等，
当，则，，左右两边不相等，
故不能等于5，
故答案为：不能；
（2）解：，
，
若，即，则原式；
若，则，则，
原式．
分式的值为2或3．
【点睛】本题考查了分式的混合运算及二次根式的运算．解题的关键是分类讨论．
23．（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）将展开，利用恒等式的性质，进行求解即可；
（2）将展开，得到，求出正整数解即可；
（3）将转化为，进行求解即可．
【详解】解：（1），
∵，且均为整数，
，
故答案为：；
（2），
∵，
∴ ，
又∵均为正整数，
∴ 或，
即或；
（3）．
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的化简．理解并掌握题干中给定的解题方法，是解题的关键．
24．(1)﹣1
(2)
【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可．
（2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：﹣1．
（2），
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现规律，解方程方法，找到有理化分母是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)