第十二章二次根式同步练习（含解析）

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第十二章二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列等式不成立的是（　　）
A．3 B．=4 C． D．
4．化简：的结果满足( )
A．4–2a B．0 C．2a-4 D．4
5．下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各式正确的是( )
A．－(－)2＝5 B．()2－＝2
C．(－)2－＝11 D．＋(－)2＝5
9．设n，k为正整数，A1＝，A2＝，A3＝…Ak＝，已知A100＝2005，则n＝（　　）
A．1806 B．2005 C．3612 D．4011
10．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．把式子分母有理化过程中，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知，则的值等于 ．
14．已知y=1++，则2x+3y的平方根为 ．
15． ．
16．若等式成立，则的取值范围是 ．
17．计算的结果为 ．
三、解答题
18．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
19．你能找出规律吗
(1)计算：__________，__________，__________，__________；
(2)请按找到的规律计算：①；②；
(3)已知，把用含的式子表示．
20．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
21．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
22．计算：．
23．下列计算是否正确？为什么？
（1）； （2）； （3）．
24．阅读材料：
材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如：
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到．
如：
∵，∴，即
∴的最小值为
阅读上述材料解决下面问题：
（1） ， ；
（2）求的最值；
（3）已知，求的最值．
《第十二章二次根式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C C D A B A A
题号 11 12
答案 B C
1．A
【分析】先化简各个二次根式再合并即可.
【详解】解：.
故选A.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简与同类二次根式的合并是解题的关键.
2．C
【分析】直接运用乘法公式求解即可.
【详解】解：．
故选C.
【点睛】本题考查了乘法公式在二次根式中的应用，熟练掌握平方差与完全平方公式是解题的关键.
3．B
【分析】利用把二次根式化的乘法法则对A进行判断；利用根据二次根式的除法法则对B、D进行判断；利用二次根式的加减法对C进行判断．
【详解】A．原式=6=6，所以A选项计算正确；
B．原式==2，所以B选项的计算错误；
C．原式=2﹣=，所以C选项的计算正确；
D．原式==，所以D选项的计算正确．
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．C
【详解】由成立，解得a–3≥0，故a≥3．所以原式=a–1+a–3=2a–4，故选C．
5．C
【分析】先将选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．，与是同类二次根式，不符合题意；
B．，与是同类二次根式，不符合题意；
C．，与不是同类二次根式，符合题意；
D．，与是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的化简以及同类二次根式的定义，将以上二次根式正确的化为最简二次根式是解此题的关键．
6．D
【分析】根据二次根式的性质，逐一判断各个选项，即可．
【详解】A. ，故该选项不成立；
B. ，故该选项不成立；
C. ，故该选项不成立；
D. ，故该选项成立．
故选：D
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键．
7．A
【分析】根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可．
【详解】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
8．B
【分析】根据二次根式的性质结合实数的加减法法则逐一进行计算即可得.
【详解】A. －(－)2＝2-3=-1，故A选项错误；
B. ()2－＝5-3=2，故B选项正确；
C. (－)2－＝6-5=1，故C选项错误；
D. ＋(－)2＝7+2=9，故D选项错误，
故选B.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握、是解题的关键.
9．A
【分析】利用多项式的乘法把各被开方数进行计算，然后求出A1、A2、A3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k＝100代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵（n＋3）（n 1）＋4＝n2＋2n 3＋4＝n2＋2n＋1＝（n＋1）2，
∴A1＝＝n＋1，
（n＋5）A1＋4＝（n＋5）（n＋1）＋4＝n2＋6n＋5＋4＝n2＋6n＋9＝（n＋3）2，
∴A2＝＝n＋3，
（n＋7）A2＋4＝（n＋7）（n＋3）＋4＝n2＋10n＋21＋4＝n2＋10n＋25＝（n＋5）2，
A3＝＝n＋5，
…
依此类推Ak＝n＋（2k 1），
∴A100＝n＋（2×100 1）＝2005，
解得n＝1806．
故选：A．
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1、A2、A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键．
10．A
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题注意考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握，二次根式的被开方数是非负数．
11．B
【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念判断即可,掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
【详解】解：A选项， ，故该选项不符合题意；
B选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
C选项，，故该选项不符合题意；
D选项，，故该选项不符合题意；
故选：B．
12．C
【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可．
【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意；
B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意；
C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意；
D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意；
故选：C ．
13．
【分析】先把进行变形，再把代入即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴==，
把代入，原式==．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值．正确化简二次根式是解题的关键，注意字母取值为负时性质的运用．
14．±2
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，根据平方根的定义即可得出结论．
【详解】解：由题意得，，
，
，
，
的平方根为．
故答案为．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键
15．
【分析】由二次根式的除法运算法则进行计算，即可得到答案．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
16．且
【分析】等式成立，则≥0，≠0，解出x的取值范围即可.
【详解】等式成立，则≥0，≠0，解得且.
【点睛】此题考查二次根式及0次幂有意义，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，0次幂的底数不为0，及解不等式是解决本题的关键.
17．
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据运算法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
18．（1）；（2） ；（3）；（4）.
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、计算加减可得；
（3）先化简各二次根式、利用平方差公式计算，再进一步计算可得；
（4）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】（1）原式=3﹣（﹣4）﹣3﹣4=3+4﹣3﹣4=4﹣4；
（2）原式=5﹣3﹣（8﹣4）=2﹣8+4=﹣6+4；
（3）原式=﹣（9﹣10）=﹣﹣9+10=；
（4）原式=+4﹣﹣=+4﹣﹣=4﹣．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
19．(1)6，6，20，20．
(2)①10；②1
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，根据相关计算找到规律是解题关键．
（1）根据算术平方根的计算方法计算即可，可发现两个二次根式相乘等于被开方数相乘后再开方；
（2）根据（1）中的规律把被开方数先相乘再开方计算即可；
（3）把40分解成的形式，利用（1）中所得规律列出表达式即可．
【详解】（1）解：，，
，．
故答案为：6，6，20，20．
（2）解：①；
②.
（3）解：．
20．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再进行乘除法运算；
（2）先去括号、再化简、最后合并同类项；
（3）展开后，化简，再合并同类项；
（4）利用零指数次幂、去绝对值符号、负整数次幂化简后合并同类项．
【详解】解：（1），
，
，
，
（2），
，
，
（3），
，
，
，
（4）
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、零指数次幂、去绝对值符号、负整数次幂，解题的关键是掌握相关的运算法则．
21．（1）9；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）利用平方差公式计算即可；
（3）利用完全平方公式计算即可；
（4）利用完全平方公式计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握法则是解题的关键．
22．
【分析】先算绝对值、负整数指数幂、再把二次根式化为最简二次根式，最后加减计算即可．
【详解】解：| -3|-
，
．
【点睛】本题考查了绝对值的化简、负整数指数幂，二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
23．（1）不正确；（2）不正确；（3）正确．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的加减运算法则即可求解；
（3）根据二次根式的加减运算法则即可求解．
【详解】（1）不能计算，故不正确；
（2），故不正确；
（3），正确．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
24．（1）；（2）-；（3）-4.
【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解；
（2）利用完全平方公式配方即可求解；
（3）先化简x,再代入代数式化简，最后求出其最值即可求解.
【详解】（1），；
故答案为：；
（2）∵==≥-1
∴的最小值为-；
（3）∵=
∴
=
=
=≤-4
故的最大值为-4.
【点睛】此题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式及配方法的应用.
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