11.2反比例函数的图像与性质同步练习（含解析）

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11.2反比例函数的图像与性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正方形OABC的边长为4，点D是OA边的中点，连接CD，将△OCD沿着CD折叠得到△ECD，CE与OB交于点F．若反比例函数y＝的图象经过点F，则m的值为（　　）

A． B． C． D．
2．下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　）
A．（x＜0） B．y C．（x＞0） D．y=2x
3．已知是关于的反比例函数，，和，是自变量与函数的两组对应值．则下列关系式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．在同一直角坐标系中，函数y＝－与y＝ax＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为，顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点．若点的横坐标为5，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则x1与x2的大小关系是（　　）
A．x1＞x2 B．x1=x2 C．x1＜x2 D．不确定
7．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
8．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是(　　)
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
9．一次函数y＝ax＋a(a为常数，a≠0)与反比例函数y＝ (a为常数，a≠0)在同一平面直角坐标系内的图像大致为(　　)
A． B． C． D．
10．如图，点A在x轴上，点C在y轴上，四边形为矩形，双曲线与分别相交于点E，D，连接，四边形的面积为6，则k等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图是三个反比例函数在x轴上方的图像，由此观察得到的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．下列函数中，随的增大而减少的函数是（ ）
A．=－2 B．= C．= D．=2x
二、填空题
13．若反比例函数的图象位于第一、三象限内，正比例函数的图象经过第二、四象限，则的整数值是 .
14．如图，在轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点，，，，，分别过这些点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，作，，，，，垂足分别为，，，，，，连接，，，，，得到一组，，，，，则的面积为 .

15．已知反比例函数的图像经过点，则的值是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的点、，且，的面积为12，则的值为 ．
17．已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），点C（m，6）为反比例函数y＝图象上一点，将△AOB绕B点旋转得到△A'O'B'（设旋转角为α，0°＜α＜360°），则点C到直线A'O'距离的最大值为 ．
三、解答题
18．下列反比例函数的图象分别在哪两个象限？
(1)．
(2)．
19．已知反比例函数 y＝（k 常数，k≠1）．
(1)若点 A（2，1）在这个函数的图象上，求 k 的值；
(2)若在这个函数图象的每一个分支上，y 随 x 的增大而增大，求 k 的取值范围；
(3)若 k＝9，试判断点 B（﹣，﹣16）是否在这个函数的图象上，并说明理由．
20．在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且．
(1)若，则的长为________，的面积为________；
(2)若点的横坐标为，且，当时，求的值．
21．在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)①当双曲线经过点时，求的值；
②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围．
22．把下列函数的解析式与其图象对应起来．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A． B． C． D．
23．已知反比例函数的图像上一点的坐标为，求这个反比例函数的表达式．
24．如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y=kx+b交于A，B两点，点A的坐标为（﹣3，2），BC⊥y轴于点C，且OC=6BC．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
《11.2反比例函数的图像与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B B A A D D C A
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】先根据折叠的性质得到，，设，利用两点间的距离公式得到，，解关于、的方程组得到点的坐标为，，再利用待定系数法求出直线的解析式为，易得直线的解析式为，解方程组得，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求的值．
【详解】解：正方形的边长为4，点是边的中点，
，，，，
沿着折叠得到，
，，
设，
，
，
，，
点的坐标为，，
设直线的解析式为，
把，，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
易得直线的解析式为，
解方程组得，
，，
点，在反比例函数的图象上，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了正方形的性质和折叠的性质．
2．C
【详解】A选项：（x＜0）中，y随x的增大而增大，错误；
B选项：中，只有在每个象限内，y随x的增大而减小；
C选项：（x＞0）中，y随x的增大而减小，正确；
D选项：y=2x中，y随x的增大而增大，错误；
故选C．
3．B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得x1y1=x2y2，进而得到答案．
【详解】解：∵y是关于x的反比例函数，
∴k=xy，
∵x1，y1和x2，y2是自变量与函数的两组对应值，
∴x1y1=x2y2，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
4．B
【分析】本题可先由反比例函数图象得到字母a的正负，再与一次函数y＝ax+1的图象相比较看是否一致即可解决问题．
【详解】解：A、由函数的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＜0故选项A错误．
B、由函数的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，且交于y轴于正半轴，故选项B正确．
C、y＝ax+1（a≠0）的图象应该交于y轴于正半轴，故选项C错误．
D、由函数的图象可知a＜0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键．
5．A
【分析】由题意易得，则设DE=x，BE=2x，然后可由勾股定理得，求解x，进而可得点，则，最后根据反比例函数的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵点的横坐标为5，
∴点，，
∵，
∴设DE=x，BE=2x，则，
∴在Rt△AEB中，由勾股定理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴点，
∴，
解得：；
故选A．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及反比例函数与几何的综合，熟练掌握菱形的性质及反比例函数与几何的综合是解题的关键．
6．A
【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案．
【详解】解：反比例函数的图象上有，，，两点，
每个分支上随的增大而增大，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确掌握反比例函数的增减性．
7．D
【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围即可．
【详解】由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．
8．D
【分析】根据反比例函数图象上点的几何意义求解即可．
【详解】解：连接OA，如图，
∵轴，
∴OC∥AB，
∴
而
∴
∵
∴
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义．
9．C
【详解】【分析】分两种情况分析：当a>0时，或当a<0时.
【详解】当a>0时，一次函数y＝ax＋a图象经过第一、二、三象限；反比例函数y＝图象在第一、三象限；
当a<0时，一次函数y＝ax＋a图象经过第二、三、四象限；反比例函数y＝图象在第二、四象限.
所以，只有选项C符合条件.
故选C
【点睛】本题考核知识点：一次函数和反比例函数的图象. 解题关键点：熟记一次函数和反比例函数的性质.
10．A
【分析】先用k的式子表示矩形的面积，根据得到，解方程即可解题．
【详解】解：连接，
∵点E，D在双曲线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的解析式，掌握反比例函数的比例系数几何意义是解题的关键．
11．B
【分析】根据图像得反比例函数在第一象限则，，根据当x的值相同时，的函数值比的函数值大得，根据图像得反比例函数在第二象限则，即可得．
【详解】解：∵反比例函数在第一象限，
∴，，
∵当x的值相同时，的函数值比的函数值大，
∴，
∵反比例函数在第二象限，
∴，
综上，，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．
12．A
【分析】A．根据一次函数图象性质解题；
B．根据反比例函数图象解题；
C．根据一次函数图象性质解题；
D．根据正比例函数图象性质解题．
【详解】A.正比例函数y=-2x中，k<0，y随x增大而减小，故A正确；
B.在反比例函数y=中当k>0时，图象分布在一、三象限，在第一象限中，随的增大而减小，第三象限中，随的增大而减小，故选B错误；
C. 在反比例函数y=-中，图象分布在二、四象限，在第二象限中，随的增大而增大，在第四象限中，<0时随的增大而增大，故C错误；
D. 正比例函数y=2x中，k>0，y随x增大而增大，故D错误．
故选A.
【点睛】本题考查正比例函数图象的增减性、一次函数图象的增减性、反比例函数图象的增减性等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．4
【详解】根据题意,得，
解得3又k是整数，
∴k=4.
故答案为4.
14．
【分析】根据反比例函数图像上点的特征和三角形的面积公式求出的面积为，的面积为，的面积为，……，的面积为，然后化简即可.
【详解】设
同理可求 的坐标
的面积为，的面积为，的面积为，……，
的面积为
【点睛】本题是结合反比例函数的一道规律题，根据所给条件找到规律是解题的关键.
15．﹣12
【分析】直接将点代入反比例函数解析式中，解之即可．
【详解】依题意，将点代入，得：，
解得：=﹣12，
故答案为：﹣12．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答的关键．
16．-8
【分析】连接BD，先由AD平分∠EAO得∠DAE=∠OAD，由矩形ABCD的性质得到∠OAD=∠ODA，从而得到∠EAD=∠ADO，故而AE∥BD，再由平行线的性质得到△ABE和△AOE的面积相等，然后设点A的坐标，结合AF=EF得到点F和点E的坐标，最后结合△AOE的面积求出k的取值．
【详解】解：连接BD，则OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ADO，
∴AE∥BD，
∴S△AEB=S△AEO=12，
设A（a，），
∵AF=EF，
∴F（2a，），E（3a，0），
∴S△AEO=×（-3a）×=12，
∴k=-8，
故答案为：-8．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过平行线的判定和性质得到△ABE和△AEO的面积相等．
17．2+．
【分析】如图，连接BC，利用待定系数法求出点C的坐标，观察图象可知当C，B，O′共线时，点C到直线O′A′的距离最大．
【详解】解：如图，连接BC，
∵点C（m，6）在y＝上，
∴6m＝18，
∴m＝3，
∴C（3，6），
∵B（2，0），
∴BC＝＝，OB＝2，
观察图象可知当C，B，O′共线时，点C到直线O′A′的距离最大，最大值为2+．
故答案为2+．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．(1)的图象在第一、三象限；
(2)的图象在第二、四象限．
【分析】（1）根据反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小可得答案；
（2）根据反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大可得答案．
【详解】（1）解：，
∵，
∴的图象在第一、三象限；
（2）解：，
∵，
∴的图象在第二、四象限．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质．
19．（1）3；（2）k＞1；（3）在.
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k-1="2×1，然后解方程即可；"
（2）根据反比例函数的性质得k-1＞0，然后解不等式即可；
（3）先得到反比例函数解析式为y=，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：（1）∵点A（2，1）在反比例函数的图象上，
∴k-1="2×1，"
∴k="3；"
（2）∵这个反比例函数图象的每一个分支上，y随x的增大而减小，
∴k-1＞0，
∴k＞1；
（3）当k=9时，反比例函数解析式为y=，
∵
∴B在这个函数的图象上．
考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.反比例函数的性质．
20．(1)；1
(2)
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式，
（1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积；
（2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值．
【详解】（1）解：∵，，
∴点，
∴， ．
∵点B在反比例函数的图像上，
∴．
故答案为；1．
（2）解：∵A，B两点在函数的图像上，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
解得：或．
∵，
∴．
21．(1)
(2)①6；②且
【分析】（1）待定系数法求解析式；
（2）①将点坐标代入解析式即可；
②解不等式，时求出的值，即可确定的取值范围．
【详解】（1）解：将点，代入一次函数解析式；
得，
解得，
一次函数解析式：；
（2）解：①将点代入反比例函数解析式，
得．
②当时，，
，
满足条件的的取值范围是：且．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．
22．（1）B；（2）A；（3）C；（4）D
【分析】根据反比例函数的选择即可得到结论．
【详解】解：（1）的图象在一，三象限，对应着图象B；
（2）的图象关于y轴对称，且函数值为正，在x轴上方，对应着图象A；
（3）的图象在二，四象限，对应着图象C；
（4）的图象关于y轴对称，且函数值为负，在x轴方下方，对应着图象D．
【点睛】本题考查了反比例函数的选择，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
23．
【分析】直接根据待定系数法求反比例函数解析式即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像上一点的坐标为，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，比较简单，属于基础题．
24．（1）双曲线的解析式为，直线的解析式为y=﹣2x﹣4；（2）﹣3＜x＜0或x＞1.
【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，根据OC=6BC，且B在反比例图象上，设B坐标为（a，﹣6a），代入反比例解析式中求出a的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数的两交点A与B的横坐标，以及0，将x轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图象上方时x的范围即可.
【详解】（1）∵点A（﹣3，2）在双曲线上，
∴，
解得m=﹣6，
∴双曲线的解析式为，
∵点B在双曲线上，且OC=6BC，
设点B的坐标为（a，﹣6a），
∴，
解得：a=±1（负值舍去），
∴点B的坐标为（1，﹣6），
∵直线y=kx+b过点A，B，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为y=﹣2x﹣4；
（2）根据图象得：不等式的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1.
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