第六章图形的相似同步练习（含解析）

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第六章图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．若，相似比为：，则与的周长的比为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A． B． C． D．
4．在中，已知，若的最长边的长为16，则其他两边的长分别为(　　)
A． B．
C． D．
5．如图，，直线与这三条平行线分别交于点A，B，C，D，E，F，，，则的值为（　　）

A．4 B．6 C．9 D．12
6．下列两个图形不是位似图形的是( )
A． B． C． D．
7．已知线段AB的长为4，点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，则PA的长为(　　)
A．2﹣2 B．6﹣2√5 C． D．4﹣2
8．已知线段a=3,b=4,则a、b的比例中项为 （ ）.
A．3.5 B．12 C． D．
9．如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在方格纸上，以点O为位似中心，把线段缩小到原来的，则点A的对应点为（ ）
A．点D或点G B．点E或点F C．点D或点F D．点E或点G
11．两相似三角形的相似比为，它们的面积之差为15，则面积之和是（ ）
A．39 B．75 C．76 D．40
12．下列说法正确的是（　　）
A．每条线段有且仅有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB BC
D．以上说法都不对
二、填空题
13．如图，在△ABC中，，BC＝3，AC＝4，点D是AC边上一动点，过点A作交BD的延长线于点E，则的最小值为 ．
14．如下图所示，已知四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则四边形EFGH与四边形ABCD的周长比为 ．
15．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ = ．
16．如图，l1∥l2∥l3，AB＝4，DE＝3，EF＝5，则BC＝ ．
17．已知中，，过点作一条射线，使其将分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法正确的是 （填写序号）．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC．
19．如图，与相似，求x，y的值．
20．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.
(1)如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB；
(2)如图②，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；
(3)如图③，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F.若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长(用含n的式子表示)．
21．如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且．
(1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　；
(2)如图1，设，请你说明为什么k约为；
(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由；
(4)图3中的的黄金分割线有几条？
22．如图，AD、BC相交于O，OA=OC，∠OBD=∠ODB．求证：AB=CD．
23．如图，为的中点，求的周长．
24．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．
（1）求圆O的半径；
（2）如果AE=6，求EF的长．
《第六章图形的相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B B C A A C A A
题号 11 12
答案 A B
1．A
【分析】根据三角形的内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【详解】解：过点作于点，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
平分，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
解得：，
即的长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识．
2．B
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可．
【详解】解：∵，相似比为，
与的周长的比为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．
3．B
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
4．B
【分析】根据相似三角形对应边的比相等解答即可．
本题主要考查学生对两个三角形相似的性质的理解及运用．掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵两个三角形中最长边和最长边是对应边，，
∴ ，
∴，
∴．
故选B．
5．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据求的值即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
6．A
【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．
【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形；
据此可得 B. C. D三个图形中的两个图形都是位似图形；
而A的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形.
故选A.
【点睛】本题考查位似图形的识别，解题的关键是掌握位似图形的定义和性质.
7．A
【分析】利用黄金分割的定义得到PA=AB，然后把AB=4代入计算即可．
【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴PA=AB=×4=2-2．
故选A．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
8．C
【分析】设a、b的比例中项为x，根据比例中项的定义列方程求解即可.
【详解】设a、b的比例中项为x，由题意得，
x2=ab=12,
∴x=.
故选C.
【点睛】本题考查了比例中项的定义，如果一个比例的两个内项相等，我们就把它叫做外项的比例中项，即a:b=b:c，则b叫a、c的比例中项.
9．A
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用．熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．
根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10．A
【分析】作射线，根据位似中心的概念、线段的位似比解答即可．
【详解】解：作射线，
，
射线经过点D和点G，且，，
∴点A的对应点为点D或点G，
故选：A．
【点睛】本题考查位似变换，正确记忆位似图形的特征是解题关键．
11．A
【分析】由两相似三角形的相似比为，得它们的面积比为4：9，设它们的面积分别为4x，9x，列方程，即可求解.
【详解】∵两相似三角形的相似比为，
∴它们的面积比为4：9，
设它们的面积分别为4x，9x，则9x-4x=15，
∴x=3，
∴9x+4x=13x=13×3=39.
故选A.
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键.
12．B
【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．
【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；
B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB BC，不正确，有可能BC2＝AB AC．
故选B．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13．3
【分析】连接OE，作EF⊥AC，垂足为点F，先证明△EDF∽△BDC，得出当点E是中点时，EF的值最大，则值的最小，此时E，F，O共线．再进行计算即可．
【详解】解：如图，设AB的中点为O，连接OE，作EF⊥AC，垂足为点F，
∵∠C=90°，AE⊥BE，
∴∠C=∠AEB=90°，
∴A，B，E，C四点共圆，
∵∠C=∠AEB=90°，∠EDF=∠BDC，
∴△EDF∽△BDC，
∴，
当点E是中点时，EF的值最大，则值的最小，此时E，F，O共线．
∵AC=4，BC=3，
∴AB=，
∴OE=，
∵OE⊥AC，
∴AF=AC=2，
∴OF=，
∴EF=OE-OF=，
∴，
∴的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，知道当OE⊥BC时，EF有最大值是解题的关键．
14．4∶7
【分析】根据图形位似的性质可得，则可得的值，同理可得两个四边形其余三条对应边的比值，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴ ，
，
，
同理可得： ， ， ，
，
即四边形EFGH与四边形ABCD的周长比为4∶7．
故答案为：4∶7．
【点睛】本题考查了图形的位似，相似三角形的判定和性质，熟练掌握图形位似的性质是解题的关键．
15．或
【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；由相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴，
①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，
∴，
∴，
∴x=，
∴AQ=．
②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y．
∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△BQP∽△BCA，
∴，
∴，
∴y=．
综上所述，满足条件的AQ的值为或．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
16．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
【详解】
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝4，DE＝3，EF＝5，
∴，
解得：BC＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线分线段成比例定理列出比例式．
17．①②③④
【分析】根据作图可得，逐个分析判断即可求解．
【详解】解：①，，
，，
，
②根据作图可得， ，
则，
，
，
③根据作图可得，同理可得，
④根据作图可得为圆的直径，则，同理可得，
故答案为：①②③④
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作垂线，作一个角等于已知角，直径所对的圆周角是直角，掌握基本作图是解题的关键．
18．证明见解析．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC．
【详解】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
∵点E为AC的中点，
∴ED＝EC，
∴△ECD是等腰三角形，
∴∠EDC＝∠C，
∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝∠AEF，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
19．，或x= ，y=．
【分析】由△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，可知当，即时，△ABC∽△DEF；当，即时，△ABC∽△FED，继而求得答案．
【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，
∴∠B=∠E，
∴当，即时，△ABC∽△DEF，
解得：x=6，y= ；
当，即时，△ABC∽△FED，
解得：x= ，y=，
∴x=6，y=或x= ，y=．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
20．(1)详见解析；（2）18 ；（3）.
【详解】试题分析：（1）证明△EAB∽△ECD，根据相似三角形的性质即可得结论；（2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H.在Rt△CDG中利用已知条件求得DG、OG的长，再根据△CDE的面积为6，可求得DE的长，在△ABH中求得BH、AH的长，利用（1）△EAB∽△ECD，可求得EH的长，由S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH即可求得四边形ABCD的面积；（3）由（1）（2）提供的思路即可求解.
试题解析：
(1)证明：∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∴∠ABE＝∠CDE.
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△EAB∽△ECD，
∴＝，
∴ED·EA＝EC·EB.
(2)过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H.
∵CD＝5，cos∠ADC＝，
∴DG＝3，CG＝4.
∵S△CED＝6，
∴ED＝3，
∴EG＝6.
∵AB＝12，∠ABC＝120°，则∠BAH＝30°，
∴BH＝6，AH＝6.
由(1)得△ECG∽△EAH，
∴＝，
∴EH＝9，
∴S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝×6×9－6－×6×6＝75－18.
(3)作CH⊥AD于H，则CH＝4，DH＝3.
∴tanE＝.作AG⊥DF于点G.
设AD＝5a，则DG＝3a，AG＝4a，
∴FG＝DF－DG＝5＋n－3a.
∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E＝∠F，
∴△AFG∽△CEH，
∴＝，
∴＝，
∴a＝，
∴AD＝5a＝.
点睛：本题考查的主要是解直角三角形知识和三角形相似问题，解直角三角形可以为我们提供三角形中边的条件和角的条件，利用三角形相似可以建立方程，表达出变量之间的关系;这种类型的题目给出的条件中有三角函数和边长，在解题时就应该利用三角函数和已知的边长求出另外的边长，继而进行解题；三角函数的计算要在直角三角形中进行，因此借助辅助线构造直角三角形就是解决这种类型题目的关键.
21．(1)满足的矩形是黄金矩形
(2)见解析
(3)直线是的黄金分割线，理由见解析
(4)无数条
【分析】（1）仿照题意进行定义即可；
（2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析；
（4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条．
【详解】（1）解：由题意得，满足的矩形是黄金矩形，
故答案为：满足的矩形是黄金矩形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；
（3）解：直线是的黄金分割线，理由如下：
∵点P是线段的黄金分割点，
∴，
设的边上的高为h，则
，
∴
∴直线是的黄金分割线．
（4）解：由（2）知，在边上也存在这样的黄金分割点Q，则也是黄金分割线，设与交于点W，则过点W的直线均是的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．
【点睛】本题主要考查了黄金分割图形，正确理解题意是解题的关键．
22．证法见解析.
【详解】试题分析：先利用等角对等边证明OB=OD，再利用SAS证明△ABO≌△CDO，于是得出结论．
试题解析：因为∠OBD=∠ODB，所以OB=OD，又因为OA=OC，∠AOB=∠COD，所以△ABO≌△CDO（SAS），所以AB=CD（全等三角形的对应边相等）．
考点：全等三角形的判定与性质．
23．22.5cm
【分析】先根据中点的性质得cm，即可得到，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证得，再根据相似三角形对应边成比例，即可求得CD的长，从而得到结果.
【详解】由，为的中点，得cm．
由，得．
所以．
所以，即．
所以(cm)．
因此，的周长是(cm)．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.
24．(1) 圆的半径为4.5；(2) EF=．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得：DH=2，设圆O的半径为r，根据勾股定理列方程可得结论；
（2）过O作OG⊥AE于G，证明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的长，从而得EF的长．
【详解】（1）连接OD，
∵直径AB⊥弦CD，CD=4，
∴DH=CH=CD=2，
在Rt△ODH中，AH=5，
设圆O的半径为r，
根据勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，
解得：r=4.5，
则圆的半径为4.5；
（2）过O作OG⊥AE于G，
∴AG=AE=×6=3，
∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，
∴△AGO∽△AHF，
∴，
∴，
∴AF=，
∴EF=AF﹣AE=﹣6=．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确添加辅助线并熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定与性质.
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