5.1二次函数同步练习（含解析）

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5.1二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面的三个问题中都有两个变量：
①扇形的圆心角一定，面积S与半径r；
②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长；
③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．若抛物线是关于的二次函数，那么的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．2或3
3．若函数是二次函数，则m的值为（　　）
A．0或 B．0或1 C． D．1
4．对于关于x的函数，下列说法错误的是( )
A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时，
5．下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列关于的函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A． B． C． D．
9．若是关于的二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
12．下列式子中二次函数有（　　）
①；
②；
③；
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．若是以x为自变量的二次函数，则 ．
14．已知函数是关于 的二次函数，则一次函数的图像不经过第 象限．
15．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为．
(1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数；
(2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数；
(3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数．
16．如果函数是二次函数，那么的值一定是 ．
17．若是关于x的二次函数，则a= ．
三、解答题
18．已知函数y=（a+1） +（a﹣2）x（a为常数），求a的值：
(1)函数为二次函数；
(2)函数为一次函数．
19．已知函数 是关于x的二次函数，求满足条件的m的值．
20．当为何值时，函数是二次函数．
21．若函数是二次函数．
(1)求的值．
(2)当时，求的值．
22．已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
23．已知函数．
(1)若是一次函数，求的值；
(2)若是二次函数，求的值满足什么条件．
24．当为何值时，函数是二次函数．
《5.1二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C C C A B D C A
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意，
②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意，
③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意，
则①②符合题意，
故选：A．
2．C
【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可．本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0，同时也考察了因式分解法进行解方程．
【详解】解：∵抛物线是关于的二次函数，
∴且，
则，
解得，，且，
∴．
故选：C．
3．C
【分析】利用二次函数定义可得，且，再解即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：或且，
故，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，我们把形如（其中a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
4．C
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意；
、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意；
、当时，该函数为正比例函数，故符合题意；
、当该函数为二次函数时，，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键．
【详解】A．是一次函数，故不符合题意；
B．是反比例函数，故不符合题意；
C．是二次函数，故符合题意；
D．不是二次函数，故不符合题意；
故选：C．
6．A
【分析】根据二次函数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．，是二次函数，故A符合题意；
B．，是一次函数，故B不符合题意；
C．，不是二次函数，故C不符合题意；
D．，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如 (a、b、c为常数，)的函数叫做二次函数．
7．B
【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数，由此问题可求解．
【详解】解：A、不是二次函数，故不符合题意；
B、是二次函数，故符合题意；
C、，不是二次函数，故不符合题意；
D、当时，函数才是二次函数，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
8．D
【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．
【详解】解：，
∴二次项系数是2，一次项系数是，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．
9．C
【分析】根据二次函数的定义求解．
【详解】解：由题意得，
解得；
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的定义，由二次函数定义建立不等式是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，对选项逐一分析判断即可．
【详解】解：是二次函数，故A选项正确，符合题意；
是一次函数，故B选项错误，不符合题意；
是反比例函数，故C选项错误，不符合题意；
，分母中含有自变量，不是二次函数，故D选项错误，不符合题意．
故选：A．
11．D
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．
12．B
【分析】根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答．
【详解】解：①，是二次函数；
②，是二次函数；
③，不是二次函数；
④，是一次函数；
∴以上式子中二次函数有2个．
故选B．
【点睛】此题考查了二次函数的概念，熟练掌握二次函数的概念是解答此题的关键．
13．2
【分析】根据二次函数定义可得：，且，再解即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
14．二
【分析】先根据二次函数的定义得到，，解得，然后根据一次函数的性质进行判断．
【详解】∵函数是关于 的二次函数，
∴且，
解得：，
∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二
【点睛】本题考查了二次函数的定义以及一次函数的性质，求得是解题的关键．
15．(1)；一次
(2)；反比例
(3)；二次
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可得，化简即可得出答案；
（2）根据题意可得，化简即可得出答案；
（3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案；
【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为，
∴，
即，
∴是的一次函数，
故答案为：，一次．
（2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为，
∴，
即，
∴是的反比例函数，
故答案为：，反比例．
（3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∴是的二次函数，
故答案为：，二次．
16．0
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】∵函数是二次函数，
∴，，
解得．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，形如（a,b,c是常数，且）的函数叫做二次函数，正确把握二次函数的定义是解题关键．
17．3
【分析】根据二次函数的定义，令|a|-1=2且a+3≠0即可解答．
【详解】解：当|a|-1=2且a+3≠0时，是二次函数，
∴a=-3（舍去），a=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，令最高次项为2，最高次项系数不为0即可．
18．(1)a=1
(2)a=0或﹣1
【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a2+1=2，a+1≠0得出即可；
（2）利用一次函数的定义分别求出即可．
【详解】（1）当 时，函数为二次函数，
解得：a=±1，a≠-1，
∴a=1；
（2）当 时，函数为一次函数，
解得：a=0，
当a+1=0，即a=﹣1时，函数为一次函数，
所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0或﹣1．
【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
19．5
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解∶根据题意得∶ ，且，
解得m=5，
即满足条件的m的值为5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键．
20．
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴且，
解得：，
即当为时，函数是二次函数．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数关系是解题的关键．
21．(1)；
(2)．
【分析】（）根据二次函数的定义解答即可求解；
（）把代入（）中所得的函数解析式计算即可求解；
本题考查了二次函数的定义，求函数值，掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，且，
解得；
（2）解：把代入得，，
∴当时，．
22．(1)
(2)①当时，、、不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析
【分析】（1）把代入二次函数即可求解；
（2）①把m=4代入解析式求出、、，然后根据三角形构成的条件：任意两边之和大于第三边判断即可；②把、、代入求得、、，根据三角形构成的条件，当时，>0来判断即可。
【详解】（1）解：把代入二次函数得：，
．
（2）解：①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当时，、、，
代入抛物线的解析式得：，，，
，
当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：把、、代入得：
，，，
，
，，，都是大于的，
，
，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长．
【点睛】本题考查了二次函数点的坐标特征，和构成三角形的条件，掌握三角形三边关系定理是解题的关键。
23．(1)
(2)且
【分析】（1）由一次函数的定义求解可得；
（2）由二次函数的定义求解可得．
【详解】（1）若这个函数是一次函数，
则且，
解得；
（2）若这个函数是二次函数，
则，
解得且．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键．
24．
【分析】根据二次函数的定义，可得，且，即可求解．
【详解】解：是二次函数，
，解得，
又
．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
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