5.2二次函数的图像和性质同步练习（含解析）

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5.2二次函数的图像和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．由抛物线平移而得到抛物线，下列平移正确的是（　　）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＝y2；④4a+2b+c＜0，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知抛物线开口方向是（ ）
A．开口向上 B．开口向下 C．开口向左 D．开口向右
5．抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；；③当时，y随x的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为， ；⑤若m， n为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（ ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
7．当时，与的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
8．已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1A．1 B．2 C．3 D．4
9．抛物线经过点（m，3），则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x=2 B．x=0 C．y=0 D．y=2
11．若方程的两个根是和1，那么二次函数的图像向下平移3个单位，再向左平移2个单位，平移后新抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
12．已知二次函数，其中，那么这个函数图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
13．二次函数（）的部分图象如图，图象过点（－1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③3a＋c＞0；④当x＞－1时，y的值随x值的增大而增大；⑤（m为任意实数）．其中正确的结论有 ．（填序号）
14．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有下列结论：①，②，③，④．其中错误的是 ．

15．任写一个开口向上，对称轴为轴的二次函数解析式 ．
16．将二次函数转化成的形式是 ．
17．已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
三、解答题
18．已知抛物线（为常数）．
(1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标．
(2)当时，求抛物线顶点到轴的最小距离．
(3)当时，点为该抛物线上的两点（非轴上的点），顶点为，直线的解析式为，直线的解析式为，若，求直线与轴的交点坐标．
19．（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象．

（2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题：
①抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________；
②抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________；
③抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________．
20．已知y关于x的函数关系式中，自变量x的取值范围为．
(1)当函数为时，y的最大值为______，y的最小值为______；
(2)当函数为时，求y的最大值和最小值．
21．已知二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)当时，求的最大值；
(3)平移抛物线，使其顶点始终在二次函数上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值．
22．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
23．已知二次函数．
(1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当__________时，函数有最__________值，是__________；
(3)当__________时，随的增大而增大；当__________时，随的增大而减小；
(4)该函数图象经过怎样的平移或旋转可以得到二次函数的图象？
24．已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？
(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小．
《5.2二次函数的图像和性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B D C D B D B
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】
根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行判断即可．
【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即可得到：；
故选D．
【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键．
2．B
【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【详解】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会根据顶点式，直接写出顶点坐标．
3．C
【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，
，，，则，故①正确；
∵该函数的对称轴是 ，
∴，得 ，故②正确；
∵，，
∴若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则，故③正确；
∵该函数的对称轴是，过点（﹣3，0），
∴和时的函数值相等，都大于0，
∴，故④错误；
故正确的是①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据，抛物线开口向下即可解答．
【详解】解：在中，
∵，
∴抛物线开口方向是向下；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握中，若，则抛物线开口向下．
5．D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线，横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，再根据点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小，即可得到答案．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，
，，，且，
，
故选：D．
6．C
【分析】由开口方向确定a，由与y轴交点判c，由对称轴及a判b，结合对称轴及的点即可判a，c关系，根据交点即对称性即可判方程的根，即可得到答案；
【详解】解：由函数图象可得，
，，，
则，故①正确；
，得，
∵时，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
由图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误；
∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，
∴的两个根为，，
∴的两个根为，，
∴一元二次方程的两根分别为， ，故④正确；
∵该函数与x轴的两个交点为，，
∴该函数的解析式可以为，
当时，，
∴当对应的x的值一个小于，一个大于2，
∴若m，为方程的两个根，则且，故⑤正确；
故选：C．
【点睛】本题考查根据二次函数图像判断各个式子的值，解题的关键是根据图像判断各项系数与0的关系，结合对称轴及与x轴交点确定方程的解．
7．D
【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，、则a、b同号，
当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
8．B
【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．
【详解】解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则，，
对称轴为直线，则，
∴，故①正确；
当时，，
∵，
∴，即
∴，故②错误；
∵对称轴为直线，
∴抛物线与x轴负半轴的交点为（，0），
∴，
∵，
两式相加，则，
∴，故③错误；
∵，，，
∴，
∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有，故④正确；
∴正确的结论有2个，
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．
9．D
【分析】将点（m，3）代入代数式中即可得到结果．
【详解】解：将点（m，3）代入中得，
，
故代数式的值为3，
故选：D．
【点睛】本题考查代数式的值，根据函数图象经过的点求函数解析式，能够掌握属性结合思想是解决本题的关键．
10．B
【分析】根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：对称轴为直线；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．A
【分析】先求出原函数的对称轴，然后根据平移的性质，即可求出新抛物线的对称轴．
【详解】解：根据题意，
∵方程的两个根是和1，
∴二次函数的对称轴为：，
∵图像向下平移3个单位，再向左平移2个单位，
∴新抛物线的对称轴是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数平移的性质，解题的关键是正确的求出二次函数的对称轴．
12．C
【详解】由抛物线顶点坐标公式得的顶点为，∵，∴，，∵，∴二次函数的顶点在第三象限．
13．①③⑤
【分析】根据二次函数的对称轴，特殊点的函数值，开口方向，增减性和顶点坐标综合判断即可；
【详解】解：∵函数对称轴为，
∴4a＋b＝0；①正确；
由图象可知当x=-3时，函数值小于0，即9a-3b＋c＜0，9a＋c＜3b；②错误；
由①可得b=-4a，
∴x=-1时，a-b+c=0，
∴5a+c=0，3a+c=-2a，
∵a＜0，
∴3a+c=-2a＞0，③正确；
当x＞2时，y的值随x值的增大而减小，故④错误；
当x=2时，y有最大值4a+2b+c，x=m时，y=am2+bm+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，即4a+2b≥am2+bm，⑤正确；
∴①③⑤正确，
故答案为：①③⑤；
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题关键．
14．②④/④②
【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴，图象与坐标轴的交点逐项判断即可．
【详解】∵二次函数的图象开口向上，
∴，
故①正确，
∵对称轴直线在y轴的左边，
，
∴，
故②正确，
∵二次函数的图象与y轴交于负半轴，
∴，
故③正确，
∵对称轴直线，
∴，
∴，
故④错误，
故答案为：②④
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：二次函数开口向上说明，对称轴为y轴，则有该二次函数解析式可以为；
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．
【分析】本题考查的是把二次函数的一般式化为顶点式．利用配方法把二次函数的一般式化成顶点式即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
17．
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：的对称轴为y轴，
∵，
∴开口向上，当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．
18．(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
(2)10
(3)
【分析】（1）将代入到抛物线解析式，并将其转化为顶点式即可；
（2）将代入到抛物线解析式，并将其转化为顶点式可得，确定抛物线的顶点坐标为，可知抛物线顶点到轴的距离为，由于当 时，随的增大而增大，故计算当时的值即可；
（3）当时，抛物线的解析式为，可确定D点坐标，进而得到直线的解析式为，直线的解析式为；然后根据点A、B在抛物线上可设点、点，结合AD、BD两条直线解析式可得；再设直线的解析式为，根据题意可得、是方程的两根，由一元二次方程根与系数的关系可解得，进而得到直线与轴的交点坐标．
【详解】（1）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：由抛物线的解析式，
∴抛物线的顶点坐标为，
抛物线顶点到轴的距离为，
∵当 时，随的增大而增大，
∴当时，取最小值为，
∴抛物线顶点到轴的最小距离为10；
（3）解：由题意可得，当时，抛物线的解析式为，
∴，
∴直线的解析式为，直线的解析式为，
∴可设，，
∴，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
由题可得、是方程的两根，
化简，得，
∴，解得，
∴直线与轴的交点坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般式转化为顶点式、抛物线的性质、利用待定系数法求解一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系等知识，熟练的运用参数解题的能力是解本题的关键．
19．（1）作图见解析；（2）①上 ，②上 ，③上
【分析】（1）利用描点法作出图象即可得到答案；
（2）根据二次函数图象与性质求解即可得到答案．
【详解】解：（1）如图所示：

（2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题：
①抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为；
②抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为；
③抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为；
故答案为：①上 ；②上 ；③上 ．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
20．(1)3；1；
(2)；．
【解析】略
21．(1)1
(2)21
(3)
【分析】（1）根据对称轴公式求出b，再有二次函数的图象经过点，代入求出c，计算即可；
（2）根据二次函数的增减性可知，当x=-4时，y值最大，代入求解即可；
（3）因为平移抛物线，其顶点始终在二次函数上，故设顶点坐标为，可得平移后的解析式为，可求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标为，根据二次函数求最值的方法求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，∴．
将代入，得，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴当时，随增大而减小，当时，随增大而增大．
∵，∴当时，取最大值21．
（3）解：∵平移抛物线，其顶点始终在二次函数上，
∴设顶点坐标为，故平移后的解析式为，
∴．
设平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标为，
则，
∴当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，和最值，平移规律，熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键．
22．见解析
【分析】根据二次函数的图象与性质即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下 直线
向上 直线
向上 直线
向下 直线
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握当时抛物线开口向上，当时抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，是解题的关键．
23．(1)该函数图象的开口方向向上，对称轴为轴，顶点坐标为
(2)0，小，
(3)，
(4)见解析
【分析】（1），（2），（3）由于是二次函数，由此可以确定函数的图像的形状，根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标，对称轴及增减性；
（4）根据左加右减，上加下减可得出答案．
【详解】（1）∵二次函数，，
∴该函数图象的开口方向向上，对称轴为轴，顶点坐标为．
（2）当时，函数有最小值，是；
（3）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
（4）函数向上平移5个单位长度得到，
再绕原点旋转180°得到（或先旋转再平移）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与图像的平移． 掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
24．(1)2或
(2)当时，抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大
(3)当时，二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小
【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值；
（2）根据二次函数的性质得当时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；
（3）根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．
【详解】（1）解：根据题意得且，
解得，，
所以满足条件的m值为2或．
（2）解：当时，抛物线有最低点，
所以，
此时抛物线解析式为，
所以抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大．
（3）解：当时，抛物线开口向下，函数有最大值；
此时抛物线解析式为，
所以二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值，解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零．
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