5.3用待定系数法确定二次函数表达式同步练习（含解析）

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5.3用待定系数法确定二次函数表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若二次函数的图像经过原点，则m的值为（ ）
A．0 B．2 C．0或者2 D．无法确定
2．关于二次函数，自变量与函数的对应值如表，下列说法正确的是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 0 1 …
y … 7 ﹣2 ﹣2 7 …
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴是直线
C．的最小值为 D．图像与轴有且只有一个交点
3．已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴交于点，这个抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：
… 0 1 2 …
… …
且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．抛物线经过点，，，则当时，y的值为（ ）．
A．6 B．1 C．-1 D．-6
6．已知二次函数经过点，且函数最大值为4，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），交y轴于点C，直线经过点C，点B（3，0），它们的图象如图所示，有以下结论：
①抛物线对称轴是直线；
②；
③时，；
④若，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
9．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（ ）
A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5
10．将抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣5 B．y＝（x+3）2﹣1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣5
11．若抛物线与x轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（-2，4） C．（2，-4） D．（4，2）
12．已知二次函数的图象经过，两点，则关于该二次函数图象的对称轴，描述正确的是（ ）
A．只能是 B．可能在的右侧
C．可能是 D．可能在y轴右侧且在的左侧
二、填空题
13．如图，抛物线经过点，点在抛物线上，轴，且平分，则此抛物线的解析式是 ．

14．已知二次函数图象的对称轴是直线，且图象过点和点，则此函数的解析式为 ．
15．若二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数解析式是 ．
16．抛物线经过点A（2，0），该抛物线顶点在直线上，则该抛物线解析式为 ．
17．请写出一个过坐标原点，对称轴为直线的抛物线的解析式 ．
三、解答题
18．如图，已知抛物线经过点．

(1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，的取值范围是___________．
19．抛物线的对称轴为直线x＝2，且经过点（1，0），求抛物线的解析式．
20．如图，抛物线与轴的交点分别是，与y轴的交点为C，直线是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线上一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
(3)若点E是抛物线上且位于直线BC上方的一个动点，求的面积最大时点E的坐标．
21．已知二次函数的图象，如图所示．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为______；
(3)将该二次函数图象向上平移______个单位长度后，图象恰好过原点．
22．如图，抛物线经过三点，直线经过点A，交抛物线于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在线段上，且满足，点F在x轴下方的抛物线上，设点F的横坐标为t，当t为何值时，的面积最大？请求出最大值．
23．抛物线与轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求m的值及顶点D的坐标；
(2)如图1，若点E是抛物线上对称轴右侧一点，设点E到直线AC的距离为，到抛物线的对称轴的距离为,当时，请求出点E的坐标．
(3)如图2，直线交抛物线于点M，N，连接AM，AN分别交y轴的正半轴和负半轴于点P，Q，试探究线段OP，OQ之间的数量关系．
24．已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，求该二次函数的解析式．
《5.3用待定系数法确定二次函数表达式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C D B D D A D
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】根据题意将点代入解析式即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图像经过原点，
∴，
解得0或者2，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入解析式计算是解题的关键．
2．C
【分析】将表格中坐标代入二次函数，得到解析式，再化为顶点式，即可判断．
【详解】解：将、代入二次函数，
，
解得，
，
图像与轴交点坐标，A选项错误；
图像对称轴是直线，B选项错误；
的最小值为，C选项正确；
，图像与轴有两个交点，D选项错误，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求解析式是解题关键．
3．A
【分析】用待定系数法确定解析式，对照选择即可．
【详解】∵抛物线的顶点坐标是，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入解析式，得
，
解得ａ=1，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，熟练掌握解析式是解题的关键．
4．C
【分析】根据表中的，得到，对称轴，得到，判定①正确；根据抛物线的对称性，判定②、③都正确；根据①中的数据和时，，得到，得到，判定④不正确．
本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握表格信息，待定系数法求解析式，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，是解决问题的关键．
【详解】∵由表格可知，当和时的函数值相等，都为，
∴，抛物线的对称轴是直线，
∴，，a、b异号，
∴，
故①正确；
根据抛物线的对称性可知，当和时的函数值相等，
∴，
故②正确；
∵根据抛物线的对称性可知，当和时的函数值相等，都为t，
∴和3是关于的方程的两个根；
故③正确；
由①知，，，
∴二次函数为，
∵当时，对应的函数值，
∴，
∴，
故④不正确．
∴正确的结论有①、②、③，共3个．
故选：C．
5．D
【分析】把点，，代入二次函数解析式进行求解，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，则；
故选D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
6．B
【分析】根据待定系数法求得解析式即可求解．
【详解】解：∵二次函数经过点，且函数最大值为4，
∴且．
解得．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据题意易得点A、B关于对称轴对称，则有抛物线的对称轴为直线，把点A代入抛物线解析式可判断②，然后由函数图形可判断③，进而把，点A（－1，0），点B（3，0）代入可求抛物线解析式，然后可得点C的坐标，最后可判断④．
【详解】解：由题意得：点A、B关于对称轴对称，则抛物线的对称轴为直线，故①正确；
把点A（－1，0）代入解析式得：，故②正确；
由图象可知当时，，故③正确；
由，点A（－1，0），点B（3，0）可设二次函数解析式为，
∴，
∴当x=0时，则，
∴点，
把点B、C的坐标代入一次函数解析式得：，
解得：，故④正确；
综上所述：正确的个数有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质及一次函数是解题的关键．
8．D
【详解】由题意可得6＝m2－m，解得m1＝3，m2＝－2，
∴二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
∴，即m＞0，∴m＝3，∴，
∴二次函数有最小值为．
9．A
【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可．
【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，
∴c＝﹣5①，
a﹣b+c＝﹣4②，
4a﹣2b+c＝5③，
解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5，
所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值．
10．D
【分析】先得到抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），再利用点的平移规律得到点（-2，-3）平移后对应点的坐标为（-1，-5），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式．
【详解】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），把（﹣2，﹣3）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到对应点的坐标为（﹣1，﹣5），所以平移后抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
11．A
【分析】根据抛物线与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x＝2，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．
【详解】解：设抛物线与x轴两个交点坐标为，，
∵抛物线与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x＝2，
∴＝16，﹣＝2，
∴﹣4×＝16，b＝﹣4，
解得c＝0，
∴抛物线的解析式为，
∴顶点P的坐标为（2，﹣4），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．
12．D
【分析】根据待定系数法，可以求得a与b的关系，即可求得对称轴的表达式，再逐项判断即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过，两点，
∴把，代入，可得，
解得，
∴对称轴为直线，
A．若取，则对称轴时直线，所以对称轴不只是直线，故A不正确；
B．因为，所以，所以对称轴一定在直线的右侧，故B不正确；
C．因为，所以，所以对称轴一定不是直线，故C不正确；
D．因为在y轴右侧，同时也可能在直线的左侧，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴．
13．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的判定；由平行、平分条件及勾股定理，可得，再由二次函数的性质得点B的坐标，由待定系数法即可求解．
【详解】解：在中，令，得，
∴，即；
∵，
∴，
由勾股定理得：；
∵轴，
∴；
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵轴，
∴；
把A、B两点坐标代入中，
得，解得：，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】由于对称轴是直线，且图象过点和点，利用顶点公式用待定系数法得到二次函数的解析式．
【详解】解：由题意得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
15．
【分析】设出二次函数的顶点式解析式，把（0，3）代入计算即可；
【详解】解：设二次函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16．
【分析】根据抛物线的对称性求出点顶点的横坐标，再代入直线y=-x+2，再将A及顶点坐标代入解析式y=ax2+bx，据此即可求出抛物线的解析式
【详解】∵抛物线经过点 ，A（2，0），
∴顶点横坐标为1，
∵顶点在直线y=-x+2上，
∴y=-1+2=1，
∴顶点坐标（1，1），
∵y=ax2+bx过点A（2，0），（1，1），
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】考查了用待定系数法求抛物线的解析式，根据抛物线的对称性求出顶点的坐标是解题的关键．
17．（答案不唯一）
【分析】设所求抛物线的解析式为，然后根据条件确定系数即可．
【详解】解：设所求抛物线的解析式为，
抛物线过坐标原点，
，
对称轴为直线，
即，
取，则，
抛物线的解析式为：；
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查求二次函数的解析式，熟练掌握抛物线上点的特征、对称轴方程和待定系数法是解此题的关键．
18．(1)，
(2)或
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质．
（1）把点代入抛物线解析式中，即可求得m的值，得到抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标；
（2）当，求出抛物线与x轴的交点，再结合函数图象即可解答．
【详解】（1）∵抛物线经过点，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）∵
∴抛物线开口向下，当时，函数y有最大值，为，
∵当时，，
解得：，
∴当时，x的取值范围是或．
19．抛物线的解析式为
【详解】解法一：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴，解得b＝－8，
又∵抛物线经过点（1，0），∴2－8＋c＝0，解得c＝6，
∴抛物线的解析式为．
多解法
解法二：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于点（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴抛物线的解析式为．
20．(1)
(2)P的坐标
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接BC，根据轴对称的性质得到点P的位置，然后求出BC所在直线的表达式，即可求出点P的坐标；
（3）作轴交BC于点F，根据题意设出点E和点F的坐标，进而表示出的面积，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）抛物线经过两点，
∴，解得
∴；
（2）如图，连接BC，直线BC与直线的交点为P，由于点A、B关于直线对称，
则此时的点P使的周长最小，
设直线的解析式为，
将代入得，解得，
∴，
∴由，所以对称轴是直线时，
当时，，即P的坐标．
（3）如图，作轴交BC于点F，
由（2）得直线解析式为：
，
此时，点的坐标是．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和三角形综合题，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式．
21．(1)
(2)﹣4≤y≤0
(3)3
【分析】（1）根据函数图象知，该函数的顶点为（ 1， 4），且经过点（1，0），所以利用待定系数法可求得该二次函数的解析式．
（2）求得抛物线与x轴的另一个交点，再根据图象可得y的取值范围．
（3）设向上平移n个单位，得，然后代入（ 2，0），即可求得n的值．
【详解】（1）解：设，
∵图象的顶点（ 1， 4），
∴，
∵经过点（1，0），
∴将（1，0）代入得4a 4＝0，
解得a＝1，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：∵二次函数的表达式为，
∴抛物线的对称轴为直线x＝-1，抛物线经过点（-3，0），
又∵抛物线经过点（1，0），当x＝ 1时，y＝-4，
∴当 2＜x≤1时，y的取值范围为 4≤y≤0；
故答案为： 4≤y≤0；
（3）解：设向上平移n个单位，得，
将（0，0）代入，得1 4＋n＝0，
解得n＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
22．(1)
(2)当时，的面积最大，最大值为
【分析】本题考查二次函数与几何的综合．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
（1）根据题意可设抛物线的解析式为，再将代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式；
（2）根据题意可求出的值，即得出直线的解析式．联立两个解析式即可求出D点坐标，从而可求出的值．设点，根据，即可求出，由此可列出关于m的等式，解出m，即得出E点坐标．从而可求出直线的解析式．如图，过点F作轴交直线于点G，设点，则．即可用t表示出的长，再设点B的横坐标为，点E的坐标为，分类讨论①当时，利用，结合二次函数的性质即可求出结果； ②当时，利用，结合二次函数的性质即可求出结果．
【详解】（1）∵抛物线的图象经过点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）∵直线经过点
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴点，
∵，
∴，
∴，
设点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点F作轴交直线于点G，
∵点，
∴．
∴，
设点B的横坐标为，点E的坐标为，
①如图1，当时，
∴当 时，有最大值为．
②如图2，当时，
∴当时，有最大值，最大值为，
综上所述，当时，的最大面积为．
23．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入得的值，从而得出函数解析式，求出顶点的坐标；
（2）过点作轴的平行线，交直线于，交轴于，作于，利用，得，设，表示出的长，从而列出的方程；
（3）设，，利用待定系数法可得直线的解析式为，直线的解析式为，利用根与系数的关系得出、的横坐标，再利用直线与抛物线的交点是、，求出、的横坐标的和，从而解决问题．
【详解】（1）将点代入得，
，
解得，
，
顶点；
（2）过点作轴的平行线，交直线于，交轴于，作于，
对称轴是直线，
，
，，
，
，
，
，
，
设，
由待定系数法可知，直线的解析式为，
，
，
，
，
解得或（舍，
，；
（3）设，，
利用待定系数法可得直线的解析式为，
直线的解析式为，
当时，
，
由根与系数的关系得，，
，
同理得，，
当时，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，抛物线于直线的交点问题，利用“斜化直”思想是解决（2）的关键，利用根与系数的关系是解题（3）的关键．
24．
【分析】由顶点式可设，将代入即可求解．
【详解】解：二次函数的图象的顶点是，
可设该二次函数解式为，则有
，
解得，
故该二次函数解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法中用顶点式求二次函数解析式，掌握解法是解题的关键．
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