5.4二次函数与一元二次方程同步练习（含解析）

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5.4二次函数与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0，有下列结论：
①当a＞-1时，方程有两个不相等的实根；
②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；
③当a＞-1时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.
以上4个结论中，正确的为（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
2．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A．(-3，0) B．(0，-3) C． D．
3．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若三个方程，，的正根分别记为，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
6．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（－2，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－2，x2＝6；③12a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－2≤x＜2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．关于函数．下列说法正确的是（ ）
A．无论m取何值，函数图像总经过点和
B．当时，函数图像与x轴总有2个交点
C．若，则当时，y随x的增大而减小
D．当时，函数有最小值
9．二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ）

A． B． C． D．或
10．已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（ ）

A． B． C． D．或
12．已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点A的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦关于x的一元二次方程的两个根是，．其中正确的是 （填序号）．
14．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a．
其中正确的结论是 （填写序号）．
15．已知关于的一元二次方程的根为，．则关于的一元二次不等式的解集为 ．
16．若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是 ．
17．抛物线与直线有两个交点，则的取值范围是 ．
三、解答题
18．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点C在该抛物线上移动，若的面积为1，求此时点C的坐标．

19．已知二次函数，请回答下列问题：
(1)其图像与轴的交点坐标为_________；
(2)当满足_________时，；
(3)当时，求的取值范围．
20．如图，抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B．
(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，直接写出点P的横坐标的取值范围．
21．我们约定[a，b，c]为二次函数的“相关数”．
【特例感知】
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为，
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为；
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为；
（1）下列结论正确的是____________（填序号）．
①抛物线，，都经过点；
②抛物线，，与直线都有两个交点；
③抛物线，，有两个交点．
【形成概念】
把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，，，…，．抛物线与轴的交点为，．
【探究问题】
（2）①“—簇抛物线”，，，…，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ．
②拋物线的顶点为，是否存在正整数，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
③当时，抛物线与轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在轴上．判断和是否相等，并说明理由．
22．已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为．
(1)填空：b=________；（用含a的代数式表示）
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值；
(3)若抛物线过点（ 2， 2），当时，二次函数的最值是 2，求k的取值范围；
(4)当a= 1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围．
23．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为
(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；
(2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围．
24．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)求的面积．
《5.4二次函数与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A A C B B D D A
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】根据根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴当a＞-1时，方程有两个不相等的实根，故①正确；
当a＞0时，两根之积，故方程的两根异号，故②说法错误；
由一元二次方程的求根公式得，
∵a＞-1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确；
由③知，当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，
∴正确的结论有：①③④
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，抛物线与轴的交点等知识，理解题意，熟练运用所学知识是解题的关键．
2．B
【分析】把x=0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：当x=0时，y=-3，
则抛物线y=x2-3与y轴交点的坐标为（0，-3），
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
3．A
【详解】∵图象经过第一、二、四象限，∴，，，解得，∴a的取值范围为．
4．A
【分析】根据题意作出二次函数，，得图形，根据函数图象与性质，即可．
【详解】解：∵﹣，
∴二次函数，，，开口大小为：．
∴其函数图象大致为：
∴．
故选：A．
【点睛】考查了抛物线与一元二次方程的根的关系，解题的技巧性在于根据题意作出函数图象，由函数图象直接得到答案，“数形结合”的数学思想的使问题变得直观化．
5．C
【分析】根据对称轴为x＝1可判断①；当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0即可判断②；根据开口方向，对称轴以及与y轴交点即可判断③，求出A点坐标，根据图象即可判断④．
【详解】解：∵对称轴为x＝1，
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故选项①正确；
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故选项②错误；
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故选项③错误；
∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
∴A点坐标为：（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故选项④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
6．B
【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，
∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，故①正确；
对称轴为，
整理得4a＋b＝0，故②正确；
由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，
x＜－2或x＞6，故③错误，
由图像可知，当x＝1时，，故④正确．
∴正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．B
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(6， 0)，则可对②进行判断；由对称轴方程得到b =－2a，然后根据x =－1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，顶点在x轴上方，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴△= b2－4ac>0，
即4ac∴①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(－2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=2，x2=6，
∴②正确；
∵，
∴b=－4a，
∵x=－2时，y=0，
∴4a－2b+c=0，
∴4a+8a+c=0，
即12a+c=0，
∴③错误；
当－20，
∴④错误；
当x<0时，y随x的增大而增大，
∴⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a >0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时( 即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△= b2－4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△= b2－4ac=0时，拋物线与x轴有1个交点；△=b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
8．D
【分析】根据函数的性质逐个求解即可．
【详解】解：A．∵ 当x＝1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝0，
当x＝﹣1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝2，
∴图像过（1，0）和（﹣1，2），
故选项错误，不符合题意；
B．∵当m＝0时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝1﹣x，
∴该函数与x轴只有一个交点，
故选项错误，不符合题意；
C．∵ 当m＞时，函数为开口向上的抛物线，则y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝m（x+）（x﹣1），
∴该函数的对称轴为直线x＝（1+）＝＜1，
∴当x＜1时，y随x的增大而可能减小也可能增大，
故选项错误，不符合题意；
D．∵若m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值，
∴当x＝时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝﹣m+1，
故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，二次函数的增减性，熟悉二次函数与坐标轴的交点坐标、对称轴，顶点坐标等求法，是解题的关键．
9．D
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点坐标求解即可．
【详解】∵二次函数与x轴交于点，
二次函数开口向上，
∴关于的不等式的解集是或．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系：根据当时，利用图象得出不等式解集是解题关键．
10．A
【详解】∵图象经过第一、二、四象限，∴，，，解得，∴a的取值范围为．
11．D
【分析】根据二次函数的对称性求得另一个与轴交点的坐标根据图象与轴交点的坐标即可得到不等式的解集．
【详解】解：对称轴为直线，抛物线与轴的交点，
另一个与轴交点的坐标，
二次函数的图象与轴交点坐标为、，
而，即，
即，
或．
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系，利用图象以及二次函数的性质解决问题．
12．C
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出一元二次方程有实数根，再根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，解得且，再在数轴上表示出来，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数与x轴有交点，
∴一元二次方程有实数根，
∴，且，
∴且，
在数轴上表示为：
故答案为：C．
13．②③④⑥⑦
【分析】根据抛物线的开口方向、与x轴交点个数、对称轴、增减性逐个进行判断，得出答案．
【详解】∵二次函数的图象开口向上，与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，
∴，故②正确；
根据图象可知，当时，，
∴，故③正确；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，故⑤错误；
根据图象可知，当时，，
∴，故⑥正确；
∵二次函数的对称轴为直线，二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为，
∴关于x的一元二次方程的两个根是，，故⑦正确．
综上所述，正确的有②③④⑥⑦．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线的对称性是解决问题的关键．
14．①③④
【分析】将A、B两点坐标代入解析式可判断结论①；抛物线开口向下，由抛物线的对称性，绝对值的意义，可判断结论②；C，D为抛物线与x轴的交点，利用一元二次方程根与系数的关系，计算CD≤6，可以判断结论③；抛物线开口向下，3≤x≤4时函数值递减，由点B（4，3），得到x=3时，y的取值范围便可判断结论④；
【详解】解：将A、B两点坐标代入抛物线得：，
解得，故结论①正确；
抛物线对称轴为=2，函数开口向下，
∵|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0，即P1（x1，y1）离对称轴更远，
∴y1＜y2，故结论②错误；
设C（x3，0），C（x4，0），
由根与系数的关系得：x3＋x4=4，x3·x4=，
∴| x3－x4|=，
解得：a，故结论③正确；
由题意知：x=4时，y=3，
∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，函数开口向下，
∴y对应的整数值为：5，4，3，
∴x=3时，对应的y值：5≤y＜6，
∴5≤9a+3b+c＜6，5≤9a－12a+3＜6，
解得﹣1＜a，故结论④正确；
故答案为：①③④；
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，绝对值的意义，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
15．或
【分析】已知一元二次方程的解，可先将其转化为二次函数，根据开口方向和与x轴交点位置即可算出解集．
【详解】令y=，
当y=0时，，
又∵a=1
∴此二次函数开口方向向上
∴的解集为或．
【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数的关系．通过交点确定一元二次不等式的解集是解决本题的关键．注意数形结合．　
16．且
【分析】根据二次函数的图象与轴有公共点得到一元二次方程有解且，再根据根的判别式进行判断即可得到答案．
【详解】解：二次函数的图象与轴有公共点，
，且有解，
，且，
解得：且，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，理解二者之间的关系是解决问题的关键．
17．
【分析】本题考查二次函数的性质，直线和抛物线的交点问题，先画出二次函数的图像并确定图像与轴的交点，，然后求出直线过点时的值，此时直线与抛物线有两个交点；然后将直线向下平移至与抛物线有一个交点时，再确定此时的值，即可得解．解题的关键是画出二次函数的图像，利用数形结合的思想解决问题．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴抛物线与轴的交点为，，
如图，当直线经过时，此时直线与抛物线有两个交点，
∴，
解得：，
直线向上平移时，有1个交点，直线向下平移时，有2个交点或1个交点或无交点，
∴直线向下平移至刚好与抛物线有一个交点时，
联立方程组，
整理得：，
∴，
解得：，
综上所述，抛物线与直线有两个交点时，的取值范围是．
故答案为：．
18．，，
【分析】首先解方程，可求出A，B的坐标，进而得到的长，再根据的面积为1，设C点的坐标，进而求出C的坐标．
【详解】解：解方程得：，，
A点的坐标为，B点的坐标为，
线段的长为2，
设C点的坐标，由题意知，
，
，
在二次函数中，令，
解得：，，
令，解得：，
综上可知C点的坐标为，，．
【点睛】本题考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标和解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标，解一元二次方程是解题的关键．
19．(1)和
(2)
(3)
【分析】（1）令，解得，，即可获得答案；
（2）由，易知该函数图像开口向上，结合抛物线与轴的交点坐标为和，即可获得答案；
（3）由二次函数解析式，易知该抛物线的对称轴为，顶点坐标为，结合该抛物线开口向上，可知抛物线上的点到对称轴的距离越大，其纵坐标越大，即可获得答案．
【详解】（1）解：令，解得，，
所以抛物线与轴的交点坐标为和；
故答案为：和；
（2）对于二次函数，
∵，
∴该函数图像开口向上，
由（1）可知，抛物线与轴的交点坐标为和，
∴当满足时，；
故答案为：；
（3）∵二次函数，
∴该抛物线的对称轴为，顶点坐标为，
∵该抛物线开口向上，
∴则抛物线上的点到对称轴的距离越大，其纵坐标越大，
又∵，
∴若，当时，函数值最大，此时；
当时，函数值最小，此时，
∴当时，求的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质、二次函数图像与轴交点等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．
20．(1)
(2)（-1，-3）
(3)或
(4)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立抛物线和直线解析式进行求解即可；
（3）根据不等式的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取值范围，进行求解即可；
（4）分点P在点B下方，点P在线段AB上，点P在A点上方进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，直线解析式为，
联立，
解得或（舍去），
∴点B的坐标为（-1，-3）；
（3）解：由题意得不等式的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或；
（4）解：如图所示，当点P在点B下方时，线段PQ与抛物线没有交点；
当点P在线段AB之间（包含B不包含A）时，线段PQ与抛物线只有一个交点，此时，当P在A点时，线段PQ与抛物线有两个交点；
当线段PQ恰好经过抛物线顶点时，线段PQ与抛物线恰好只有一个交点，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∴此时点P的纵坐标为1，
∴点P的坐标为（3，1），
∴；
综上所述，线段PQ与抛物线只有一个公共点，或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，待定系数法求函数解析式，图象法解不等式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
21．（1）①②③
（2）①（0，3），（1，0）
②n=1或n=5；理由见解析
③；理由见解析
【分析】（1）①令x=0，得到，，，推出抛物线，，都经过点；②根据直线y=3，可知抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（4，3）；抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2．5，3）；抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2，3）；推出抛物线，，与直线都有两个交点；③x=1时，得到，，，得到抛物线，，都经过点（1，0）；结合①问结论推出抛物线，，都经过点（1，0）和（0，3）两点；
（2）①写出“一簇抛物线”解析式：，，，…，，；令x=0，，令x=1，，得到“一簇抛物线”都经过（0，3），（1，0）两点；
②配方，得到顶点，设抛物线的对称轴交x轴于点D，得到，，根据对称性得到，，根据，得到，令，解得x=1或，得到，，推出，，得到，推出，求得n=1或n=5；
③根据在点处，，解得x=1（舍去），或，得到，同理可得，得到；根据在点处，，解得x=0（舍去），或，得到，从而得到，推出，得到．
【详解】（1）①当x=0时，=3，=3，=3，
∴抛物线，，都经过点；故①正确；
②∵直线y=3，
∴当=3时，解得x=0或x=4，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（4，3）；
当=3时，解得x=0或x=2.5，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2.5，3）；
当=3时，解得x=0或x=2，∴抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2，3）；故②正确；
③当x=1时，=0，=0，=0，
∴抛物线，，都经过点（1，0）
∵抛物线，，都经过点
∴抛物线，，都经过点，（1，0）两点；故③正确；
故答案为①②③；
（2）①“一簇抛物线”解析式为：
，
，
，
…，
，
当x=0时，，
当x=1时，，
故“一簇抛物线”都经过（0，3），（1，0）两点；
故答案为：（0，3），（1，0）；
②存在n=1或n=5，理由：
∵，
∴，
设抛物线的对称轴交x轴于点D，
则，，
由抛物线的对称性知，，
∴当为直角三角形时，，
∴，
令，则x=1或，
∴，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴当n-3=0时，顶点在x轴上，，，三点重合，不能构成三角形，
∴n-3≠0，n≠0，
∴，
∴n=1或n=5；
③，理由：
在点处，，
则x=1（舍去），或，
∴
为与x轴的左交点，则，
∴，
在点处，，则x=0（舍去），或，
∴，
为与直线的一个交点，点不在轴上，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了新定义“相关数”和“一簇抛物线”，解决问题的关键是熟练掌握新定义，二次函数的性质，等腰直角三角形性质，两点间的距离公式．
22．(1)4a
(2)0
(3) 6≤k≤0
(4) 4≤c＜5
【分析】（1）根据题意可得，即可求解；
（2）根据抛物线的顶点在x轴上，可得抛物线与x轴只有一个交点，从而得到16a2 4ac=0，进而得到c=4a，即可求解；
（3）根据题意可得抛物线的顶点是（ 2， 2），再由当k 2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是 2，可得，即可求解；
（4）根据题意可得关于x的方程 x2 4x+c=0在 3＜x＜1的范围内有解，根据题意画出图象，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的，解得b=4a，
故答案为：4a；
（2）解∶∵抛物线的顶点在x轴上，
∴抛物线与x轴只有一个交点，
∴Δ=b2 4ac=0，
∴16a2 4ac=0，
∵a≠0，
∴4a c=0，即c=4a，
∴c b=4a 4a=0；
（3）解：∵抛物线过点（ 2， 2），且对称轴为直线x= 2，
∴抛物线的顶点是（ 2， 2），
∵当k 2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是 2，
∴，解得： 6≤k≤0；
（4）解：当a= 1时，b= 4，
∴抛物线y= x2 4x+c，
∵关于x的方程式ax2+bx+c=0在 3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程 x2 4x+c=0在 3＜x＜1的范围内有解，
c=x2+4x，
可以看作是抛物线y=x2+4x=（x+2）2 4与直线y=c在 3＜x＜1的范围内有交点，
当x= 2时，y=4 8= 4，x=1时，y=1+4=5，
如图所示，由图象得：c的取值范围： 4≤c＜5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
23．(1)（0，2）；2
(2)的取值范围为，的取值范围为
【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵，
∴点关于对称轴对称，
∴；
（2）解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，
∵1＜3，
∴2t＞3，即（不合题意，舍去），
当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，
此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，解得：，
∵1＜3，
∴2t＞3，即，
∴，
∵，，对称轴为，
∴，
∴，解得：，
∴的取值范围为，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
24．(1)，
(2)
【分析】（1）将A点坐标代入抛物线即可求出m的值，则二次函数解析式可得，则C点坐标可得；根据点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，可知两点的纵坐标相等，即B点坐标可求，再根据待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）连接，，设直线交y轴于点N，根据即可作答．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像过，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：，
化成一般式为：，
令，则有：，
∴，
∵点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴点B、点C的纵坐标相等，
∴令，则有：，
解得：，，
∴，
设直线解析式为：，
∵，，
则有：，
解得：，
∴直线解析式为：，
即：二次函数的解析式为：，直线解析式为：，
（2）解：连接，，设直线交y轴于点N，如图，
在（1）中有：二次函数的解析式为：，直线解析式为：，
令，则有：，
∴，
∵，，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
即的面积为6．
【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合，考查了用待定系数法求解一次函数、二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，求解三角形面积等知识，掌握二次函数的图形与性质是解答本题的关键．
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