6.2黄金分割同步练习（含解析）

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6.2黄金分割
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组线段中，能成比例的是（ ）
A．3，6，7，9 B．2，5，6，8
C．3，6，9，18 D．11，12，13，14
2．如图，线段，那么等于（ ）

A． B． C． D．
3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
4．下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（ ）
A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm
B．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm
C．3 cm，9 cm，2cm，6 cm
D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
5．如图，在中，，于点D，不是的高与底的比的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，下面给出三个关系式：①AD=2AG；②GE：BE=1：3；③，其中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
7．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若. 则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列选项中，四条线段a，b，c，d是成比例线段的为（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
10．在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1，3，20，30 B．，，2
C．1，2，3，4 D．，10，10，
11．如图，直线l1∥l2∥l 3，直线AC分别交l1、l2、l 3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l 3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，若AH=2，HB=3，BC=7，DE=4，则EF等于( ) ．
A． B． C． D．以上不对
12．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，且，DF=15，则DE=（　　）
A．3 B．6 C．9 D．10
二、填空题
13．在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则 ．
14．若，则 ．
15．已知b是a、c的比例中项，且a＝3cm，c＝6cm，则b＝ cm．
16．若，则 ．
17．已知点P在线段AB上，且AP：BP=2：3，那么AB：PB= ．
三、解答题
18．已知，求的值．
19．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？
20．已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．
求证：点C是线段AB的黄金分割点．
21．（1）如图所示，已知点是线段的黄金分割点（），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比．
（2）如图所示，在（1）的条件下，取线段的黄金分割点（），判断点是否为线段的另一黄金分割点，并说明理由．
（3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段的黄金分割点（），并且，试用的正整数次幂的形式表示线段，，的长度．
（4）已知，试求以下代数式的值（只要求直接写出结果）：　 　．
22．如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．
23．已知：如图，中，，，，．求的长．
24．在一幅比例尺是1：60000000的地图上，量的甲乙两地的距离是15cm，一辆汽车以每小时120km的速度，从甲地开往乙地，需要多少时间？
《6.2黄金分割》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A C C C C A B D
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【详解】解：A. 从小到大排列，由于3×9≠6×7，所以不成比例，不符合题意；
B. 从小到大排列，由于2×8≠5×6，所以不成比例，不符合题意；
C. 从小到大排列，由于3×18=6×9，所以成比例，符合题意；
D. 从小到大排列，由于11×14≠12×13，所以不成比例，不符合题意．
故选:C．
【点睛】考查比例线段的定义，掌握比例线段的定义是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解．
【详解】解：设，则，，
∴，
故选：D．
3．A
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.

【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
4．C
【解析】略
5．C
【分析】根据三角形底和高的定义即可得出正确选项.
【详解】
利用排除法可知C符合题意.
故选C.
【点睛】此题考查三角形的底和高的定义以及比例式的列式，解题关键在于熟练掌握三角形底和高的定义列出对应的比例式.
6．C
【分析】根据三角形的中位线的性质定理和平行线分线段定理的推论即可判定，根据已知对各个关系式进行分析，从而得到正确的选项．
【详解】∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵EF=FC，
∴DF为△CBE的中位线，
∴DF∥BE，
∴△CDF∽△CBE，△AGE∽△ADF，
∴GE：DF=AG：AD=1：2，DF：BE=1：2，
∴GE：BE=1：4，①正确；
连接GF，设BE、DF之间的距离是h，
根据题意，得S△BDG=BG h，S四边形EFDG=S△DFG+S△EGF=DF h+EG h，
又∵DF：BG=2：3，DF=GE，
∴S△BDG=DF h，S四边形EFDG=DF h，
∴S△BDG=S四边形EFDG，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理．解题的关键是证明DF是△CBE的中位线，EG是△ADF的中位线．
7．C
【详解】①∵MN ∥ BC，∴ AN：CN = AM：BM ，该项错误；②∵DN ∥ MC，∴ AD：DM = AN：NC ，再由（1）得 AD：DM = AM：BM，该项正确；③根据（1）知，此项正确；④根据（2）知，此项正确．所以正确的有3个，故选C．
点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
8．A
【分析】直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．
【详解】∵2x-7y=0，∴2x=7y．
A．，则2x=7y，故此选项正确；
B．，则xy=14，故此选项错误；
C．，则2y=7x，故此选项错误；
D．，则7x=2y，故此选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．
9．B
【分析】本题主要考查了比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断．
【详解】解：A．，这四条线段不成比例，故不符合题意；
B．，这四条线段成比例，符合题意；
C．，这四条线段不成比例，故不符合题意；
D．，这四条线段不成比例，故不符合题意．
故选：B．
10．D
【分析】本题考查比例线段，分别找出各选项对应的比例关系即可，然后选出符合题意的答案．
【详解】解：因为，所以A选项不符合题意．
因为，所以B选项不符合题意．
因为，所以C选项不符合题意．
因为，所以D选项符合题意．
故选：D．
11．C
【分析】根据平行线分线段成比例即可列出比例式进行求解.
【详解】设EH为x，则DH=DE-x=4-x
∵l1∥l2
∴,即
解得x=
又∵l2∥l 3，
∴,即
解得EF=
故选C.
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟知分线段成比例定理的性质.
12．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
∵DF＝15，
∴DE＝6，
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．
【分析】如图，先利用三角形的面积关系可得 ，，再结合比例的基本性质证明，可得，同理可得：， 可得， 从而可得结论．
【详解】解：如图，设AD，BE，CF相交于点，
， ，
，
，
同理可得： ，
，
，，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的面积关系，比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行比例的变形是解题的关键．
14．
【分析】利用比例的性质得出a与b，c与d的关系，进而代入，计算即可求出答案．
【详解】∵，
∴，，
∴，
故填：．
【点睛】此题考查了比例线段，根据比例的性质正确得出a与b，c与d的关系是解题关键．
15．3
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【详解】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac，即b2＝3×6，
解得b＝±3（线段是正数，负值舍去），
∴a和c的比例中项b＝3cm．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了比例线段，理解比例中项的概念是本题的关键，注意线段不能是负数．如果b是a、c的比例中项，那么b2＝ac.
16．
【分析】根据题意，设，，，代入计算即可．
【详解】解：由题意，设，，，
∴ 原式．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是根据已知条件，求比，掌握设参法是解决此题的关键．
17．5:3
【详解】试题解析：由题意AP：BP=2：3，
AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3.
故答案为5:3.
18．
【分析】根据，设每份为k，则，，．再代入分式计算即可．
【详解】解：∵，设每份为k，
则，，．
∴．
【点睛】本题考查了比例的性质，分式化简求值，设每份为k，得出，，是解题的关键．
19．米
【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
【详解】解：设米，则米，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，
经检验，，为分式方程的解，
∵，
∴，
答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上．
20．见解析
【分析】在直角△ABD中根据勾股定理计算出AD=，则AE=AD-DE=-1，再利用画法得到AC=AE=-1，即AC=AB，然后根据黄金分割的定义得到点C就是线段AB的黄金分割点．
【详解】证明：∵AB＝2，BD＝AB，
∴BD＝1．
∵BD⊥AB于点B，
∴AD＝，
∴AE＝AD﹣DE＝﹣1，
∴AC＝AE＝﹣1，
∴AC＝AB，
∴点C就是线段AB的黄金分割点．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
21．（1）；
（2）点是线段的另一黄金分割点，理由见解析；
（3）线段，，的长度为：，，；
（4）．
【分析】（1）设，，则有，由点是线段的黄金分割点，可得，代入数据求解即可；
（2）由点 是线段的黄金分割点，可得，由此可求出、的长度，进而求出的值，即可求解；
（3）由点是线段的黄金分割点，即可求出、的长度，由点 是线段的黄金分割点，可求出、的长度，由点 是线段的黄金分割点，可求出、的长度；
（4）由以上证明可得：，，，…，（为正整数），， ，…， （为正整数）．运用数形结合的思想可将所求代数式转化为：，求出答案即可．
【详解】解：（1）设，，则有，
点是线段的黄金分割点，
，
，
，
整理得：，
解得，（舍去负值），
，
．
（2）点是线段的另一黄金分割点，理由如下：
点 是线段的黄金分割点，
，
，
，
，
点是线段的另一黄金分割点．
（3）点是线段的黄金分割点，
，
，
，
，
点 是线段的黄金分割点，
，
，
，
点是线段的黄金分割点，
，
，
，
线段，，的长度为：，，．
（4）由以上证明可得以下规律：
，，，…，（为正整数）．
，
，…，
（为正整数）．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，解一元二次方程，比例线段，运用数形结合是解题的关键．
22．原矩形ABCD是黄金矩形．理由见解析
【分析】根据黄金分割设出矩形BCFE的长和宽，然后表示出矩形ABCD的宽，再求出宽与长的比值即可得证．
【详解】解：原矩形ABCD是为黄金矩形．
理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，
∵四边形BCFE为黄金矩形，
∴宽FC为x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴AB=x+x=x，
则= ，
∴原矩形ABCD是为黄金矩形．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分比．
23．
【分析】根据平行行线分线段成比例定理得出，进而求出AE即可．
【详解】解：∵△ABC中，DE∥BC，
∴，
∵AB＝8，AD＝5，EC＝4，
∴，
解得：AE＝．
【点睛】此题主要考查了平行行线分线段成比例定理，利用DE∥BC，得出是解题关键．
24．75小时
【分析】先根据比例尺的定义求出实际距离，再根据时间=路程÷速度得出答案．
【详解】解：（厘米）
900000000厘米＝9000千米，
9000÷120＝75（小时），
答：从甲地开往乙地，需要75小时．
【点睛】本题主要考查了比例尺的知识，掌握定义是解题的关键．即比例尺＝图上距离÷实际距离．
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