6.4探索三角形相似的条件同步练习（含解析）

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6.4探索三角形相似的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各对三角形中一定不相似的是（ ）
A．△ABC中，∠A=54°，∠B=78°，△A′′B′′C′′中，∠C′=48°，∠B′=78°
B．△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，△A′′B′′C′′中，∠C′=90°，A′C′=12cm，B′C′=9cm
C．△ABC中，∠B=90°，AB=5，AC=13，△A′′B′′C′′中，∠B′=90°，A′B′=2.5a，B′C′=6a
D．△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=5，△A′′B′′C′′中，∠A′=45°，A′B′=5
2．如图， ABCD的面积为20，点E，F，G为对角线AC的四等分点，连接BE并延长交AD于H，连接HF并延长交BC于点M，则的面积为　　
A．10 B． C．4 D．5
3．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．将一个三角形的各边都缩小到原来的后，得到三角形与原三角形（ ）
A．一定不相似 B．不一定相似 C．无法判断是否相似 D．一定相似
5．如图，下列条件不能判定∽的是（ ）
A．， B．
C．， D．，
6．如图，已知，欲证，可补充条件（ ）
A． B． C． D．
7．下列条件，能使和相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，一副三角板，，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，点D，E分别在上，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．下列各组图形必相似的是（ ）
A．任意两个等腰三角形
B．两边为1和2的直角三角形与两边为2和4的直角三角形
C．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形
D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形
11．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④
12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣6，0），B（6，0），C（4，8），则△ABC重心的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（3，4） C．（，） D．（，）
二、填空题
13．如图，若，，，且，则 .
14．如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使△ABC∽△ADE，则这个条件可以是 （填一个即可）．
15．如图，已知：点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件 ，就可以使△ADE与原△ABC相似．
16．如图，有三个三角形，其中相似的是 .
17．等腰被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰的顶角的度数是 ．
三、解答题
18．如图,在中,,点分别是上的点(点D不与点B重合),且满足．

(1)图中有哪几对相似三角形 并选择其中一对加以证明；
(2)当是等腰三角形时,求的长；
(3)当最大时,求的长．
19．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？
20．如图，BC与DF交于点，求证：∽．
21．已知：如图所示，相交于点O，连接，且，求证：．
22．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
23．如图，在中，，于D．
求证：．
24．如图，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求证：△ADE∽△EFC．
《6.4探索三角形相似的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C D C D B A C D
题号 11 12
答案 D D
1．D
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C，根据相似三角形的判定判断即可；根据相似三角形的判定判断B、C、D即可；
【详解】A、∠C=180°-∠A-∠B=180°-54°-78°=48°，∴∠C=∠C'，∵∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'，故本选项错误；
B、 ，∠C=∠C'，∴△ABC∽△A'B'C'，故本选项错误；
C、由勾股定理得：BC==12，∴，∠B=∠B'=90°，∴△ABC∽△A'B'C'，故本选项错误；
D、根据已知不能推出证明三角形相似的条件，故本选项正确．故选D．
【点睛】本题主要考查对相似三角形的判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键
2．B
【分析】首先连接CH，由四边形ABCD是平行四边形，可证得△AEH∽△CEB，△AFH∽△CFM，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BM：BC=2：3，继而求得答案．
【详解】连接CH，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴△AEH∽△CEB，△AFH∽△CFM，
点E，F，G为对角线AC的四等分点，
∴AE：EC=1：3，AF：FC=1：1，
∴AH：BC=AE：EC=1：3，AH：CM=AF：FC=1：1，
∴CM=AH，
∴CM：BC=1：3，
∴BM：BC=2：3，
∵ ABCD的面积为20，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
3．C
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再由△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的，即可得答案．
【详解】如图，由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，故①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，故③错误；
∵S△GBE=×6×8=24，S△BEF：S△BGE=EF：EG，
∴S△BEF=×24=，
故④正确．
综上可知正确的结论是3个．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.
4．D
【分析】根据题意可得原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为，再由三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解．
【详解】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的，
∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为，
∴得到三角形与原三角形一定相似．
故选：D
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
5．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
根据三边对应成比例的两三角形相似，有两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两三角形相似，依次判断即可．
【详解】解：、∵，
∴，
∴，
∵，
∴∽，不符合题意；
、∵，
∴∽，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，
∵，不是两边夹角，
∴不能判定∽，符合题意；
、∵，
∴，
∴，
∵，
∴∽，不符合题意；
故选：．
6．D
【分析】
由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得．
【详解】解：，
，即．
当或或时，．
故选：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，属基础题，比较简单．但需注意对应关系．
7．B
【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．
【详解】解：A、，不能使和△相似，错误；
B、，能使和△相似，正确；
C、，不能使和△相似，错误；
D、，不能使和△相似，错误；
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．
8．A
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：选项B，∵，
∴，故选项B不合题意；
选项C，如图，设与交于点O，
∵，
∴，故选项C不合题意；
选项D，∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，故选项D不合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
9．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再把，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，列出比例式是本题的关键．
10．D
【分析】根据相似三角形的判定定理可分别判断各选项是否足以证明三角形相似，从而判断选项的正确性.
【详解】A. 任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误;
B.因为不能判定已知边2和4是直角边还是斜边，故无法判定三角形相似，故本选项错误；
C. 两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误;
D. 两边和一边的中线均对应成比例，即可以判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，即可判定三角形相似，故本选项正确.
故本题选D.
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理.熟练掌握相似三角形的判定定理，能根据相似三角形的判定定理判断是否满足判定条件是解决本题的关键.
11．D
【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可．
【详解】解：①中三角形三边分别为，2，，
②中三角形三边分别为，3，，
③中三角形三边分别为，，，
④中三角形三边分别为2，，，
∵，
∴是相似三角形的是①和④．
故选D．
12．D
【分析】连接OC，如图，先确定△ABC的重心D在OC上，作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，如图，根据三角形重心的性质得OD：OC＝1：3，由于DF∥CE，则＝，然后计算出DF和OF，从而得到D点坐标．
【详解】解：连接OC，如图，
∵A（﹣6，0），B（6，0），
∴O点为AB的中点，
∴△ABC的重心D在OC上，
作CE⊥OB于E，DF⊥OB于F，如图，
∵D点为△ABC的重心，
∴CD＝2OD，
∴OD：OC＝1：3，
∵DF∥CE，
∴＝，
而C（4，8），
∴OE＝4，CE＝8，
∴，
∴DF＝，OF＝，
∴D（，）．
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的重心的性质和相似三角形的判定与性质．
13．
【分析】根据相似三角形的判定即可求解.
【详解】∵，，，且
∴
故填：.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
14．∠B=∠D 或∠C=∠AED或 =（答其中一个即可）
【分析】要使△ABC∽△ADE，在这两三角形中，由∠1=∠2可知∠BAC=∠DAE，还需的条件可以是∠B=∠D或∠C=∠AED或 =
【详解】解：这个条件为：∠B=∠D
∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE
（或∠C=∠AED或 =也可）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
15．DE//BC(或者∠B＝∠ADE ) (或者∠C＝∠AED )
【解析】略
16．①与②
【分析】先分别计算三个三角形的第三个角做对比，再根据相似三角形的性质即可求出
【详解】第一个图：第三个角为: 180°-68°-61°=51°
此三角形三个角分别为：51°，61°，68°
第二个图：第三个角为: 180°-68°-51°=61°
此三角形三个角分别为：51°，61°，68°
第三个图：第三个角为: 180°-68°-49°=63°
此三角形三个角分别为：49°，63°，68°
根据两角对应相等，两个三角形相似.期中相似的是:①和②.
故答案为: ①和②.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键.
17．或或
【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解．
【详解】解：①如图1，∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°．
此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故∽；
②如图2，∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故∽；
③如图3，∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°．
此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有∽；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，并应用相似三角形的判定进行检验，不要漏解，不能多解.
18．(1)，见解析
(2)或
(3)3
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、求二次函数的最大值等，解题的关键是找准相似三角形的对应角与对应边．
（1）根据外角的性质与等腰三角形的性质可推得当有两个角相等时则两三角形相似，据此即可判断有二对三角形相似．
（2）当是等腰三角形时，分三种情况分别讨论即可；
（3），根据相似三角形的性质列出比例式，然后化简整理成y关于x的函数关系式，求二次函数的最大值即可．
【详解】（1）①
∵，
∴
∵，
∴
又，
∴，
∴
或②
，
∴
又，
∴
∵，
∴．
（2）①当时，过点A作，垂足为点H．（如图）

则．
由与可得：
∴
②当时，，
③当时，不存在
（3）设．
∵
∴，又，
∴，
∴
∴当时，最大，此时．
19．框的另两边长可选 ，3或 ， 或 ，．
【详解】试题分析：三角形的形状一样，就是这两个三角形互为相似三角形，其中一个三角形的三边长知道，三角形的框架的一个边长为2，可让2和其中一边成比例，那么框架的两边和另外两边成比例，选择的情况是不唯一的．
试题解析：∵让2依次和4，5，6成比例，那么框架的两边和剩下的两边成比例．因此选料是不唯一的．
为整数的情况：
（1）当2和4成比例时，那么框架的剩下的边长和5，6成比例，依次为，3．
（2）当2和5成比例时，那么框架的剩下的边长和4，6成比例，依次， ．
（3）当2和6成比例时，那么框架的剩下的边长和4，6成比例，依次，．
20．见解析
【分析】由三角形外角关系可得，，又已知，故可得到∠B=∠D，又因公共角∠A，故可证两三角形相似.
【详解】，
，
∴，
又是公共角，
∴∽．
【点睛】本题考查了运用两角对应相等判定两三角形形似的方法.
21．见解析
【分析】根据判断两个三角形相似．
【详解】证明：∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
22．见解析
【分析】根据三边对应成比例的三角形相似进行解答即可．
【详解】证明：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18c m，B′C′＝24cm，A′ C′＝30cm，
∴，，
∴
∴△ABC∽△A′B′C′．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
23．见解析
【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．
【详解】证明：∵于D．
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．
24．证明见解析
【分析】根据平行线的性质得到∠ADE=∠B，∠EFC=∠B，∠AED=∠C，等量代换得到∠ADE=∠EFC，于是得到结论．
【详解】∵ED∥BC，EF∥AB，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠EFC=∠B，
∴∠ADE=∠EFC，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△EFC．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．
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