6.5相似三角形的性质同步练习（含解析）

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6.5相似三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列左边四幅图中的三角形，与图中的△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，直角三角形中，，于，于，则下列说法中正确的有（ ）个．
①图中有4个三角形与相似；②；③；④；⑤若，，则；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　）
A．4 B．4 C．6 D．4
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　）
A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．1：2
6．如图，中，于E．的长为（ ）
A．3 B． C． D．
7．的三边长分别为，，，的两边长分别为和，如果，那么的第三边长可能是下列数中的（ ）
A． B． C． D．
8．如图，半径为6的分别与轴，轴交于，两点，上两个动点，，使恒成立，设的重心为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．和三角形三个顶点相连后，一定能把三角形分成面积相等的三部分的是该三角形的
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
10．如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知，点D是边中点，且．若（ ）
A．3 B．4
C． D．
12．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE∶S△COB=9∶16，则DE∶BC为（ ）
A．2∶3 B．3∶4 C．9∶16 D．1∶2
二、填空题
13．如图，点A、B分别在平面直角坐标系xOy的y轴正半轴、x轴正半轴上，且OA=4，OB=3，将△AOB沿AB折叠，O的落点为P，若双曲线y=过点P，则k= ．
14．如图，已知矩形对角线和相交于点O，点E是边上一动点，与相交于点F，连结．
（1）若点E为的中点，则= ；
（2）若点F为的中点，则= ．
15．善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径弦于），设，，他用含的式子表示图中的弦的长度，通过比较运动的弦和与之垂直的直径的大小关系，发现了一个关于正数的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式 ．
16．如图，AB是的直径，AD是的切线，点C在上，，，，则BC的长为 ．
17．中，，，，，是直线，上的点．若由，，构成的三角形与相似，，则的长为 ．
三、解答题
18．如图，已知梯形中，，对角线、交于．已知，．求： ．
19．如图，已知矩形中，，点E在边上，的垂直平分线分别与边、相交于点F、G．
（1）若四边形能够成为菱形，则a必须满足的条件是_________；
（2）若，求的最小值；
（3）若经过点D、E、F的圆能够与直线、同时相切，求a的值．
20．已知：如图所示，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且．求证：．
21．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，=，OB=4，S△AOC=36，求
(1)AO的长．
(2)求S△BOD．
22．定义：在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，若△DEF∽△ABC（点D、E、F的对应点分别为点A、B、C），则称△DEF是△ABC的子三角形，如图．
（1）已知：如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上动点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是△ABC的子三角形．
（2）已知：如图2，△DEF是△ABC的子三角形，且AB=AC，∠A=90°，若BE=，求CF和AD的长．
23．已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F，
求证 ：BE2=EF·EG.
24．如图已知点A （﹣2，4）和点B （1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．
《6.5相似三角形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B D A A B C B
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
【详解】解：根据勾股定理，，，
所以，夹直角的两边的比为，
观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
2．B
【详解】解：∵EF是点B、D的对称轴，
∴△BFE≌△DFE，
∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，
∵=，
∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形，
∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，
∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5，
∴AB=CD==，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°，
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，
∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，
∴△BDC∽△DEF，
∴，
∴DF=，
∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，
∴=．
故选B．
3．D
【分析】根据题意，对选项逐一分析，即可得出结论.
【详解】解：因为，，所以 =90°，=90°，所以=90°，可得，所以，所以，即，故选项②正确；
由题意，于，于E，所以=90°，，，，由相似的判定可知图中有4个三角形与相似，分别是、、、，故选项①正确；
因为，所以∠A与∠B互余，于，于，∠BCD与∠B互余，∠CDE与∠DCE互余，∠DCE与∠BCD互余，所以，故选项③正确；
因为，于，于，根据③中结论，所以，，因为，所以，两式相乘即可得，故选项④正确；
若，，由勾股定理可得AB=5，利用等面积可得，故选项⑤错误；
因为DE∥BC，所以，故选项⑥正确；
5个正确，
故答案为：D .
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
4．B
【分析】根据题意判断出△CBA∽△CAD，从而利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵BC＝8，AD是中线，
∴CD＝BD＝4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴，
∴AC2＝CD BC＝4×8＝32，
∴AC＝4；
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
5．D
【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
则△DFE∽△BAE，
∴DF：AB=DE：EB．
∵O为对角线的交点，
∴DO=BO．
又∵E为OD的中点，
∴DE=DB，
则DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3．
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2．
故选D．
6．A
【分析】先证明，找出BE=2 DE，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意知：∠BED=∠C，∠B=∠B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴BE=2DE，
由勾股定理知：,
代入计算得：BE=2，
又，
∴AE=5-2=3，
故答案为：A
【点睛】此题考查三角形相似，涉及到勾股定理求解，难度一般．
7．A
【分析】本题可根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，来求出△DEF的第三边的长．
【详解】解：设△DEF的第三边长为x，
∵△ABC∽△DEF，
且△ABC的三边长分别为，，，△DEF的其中的两边长分别为1和，
∴==，
∴x=，
即：△DEF的第三边长为；
故选A．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
8．B
【分析】连接AG并延长，交BC于点F，由△ABC的重心为G，可知F为BC的中点，再由垂径定理可知OF⊥BC，从而可求得OF的长；在AO上取点E，使AE=AO，连接GE，可判定△AGE∽△AFO，由相似三角形的性质列出比例式，求得GE的长，进而可得点E的坐标，利用勾股定理求出DE的长，根据G在以E为圆心，为半径的圆上运动，可知DG的最小值为DE的长减去，计算即可．
【详解】解：连接并延长，交于点，
的重心为，
为的中点，
，
，
，
，
，
的重心为，
，
在上取点，使，连接，
，，
，
，
．
在以为圆心，2为半径的圆上运动，
，，
，
的最小值是，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的重心、30°角所对的直角边等于斜边的一边、相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
9．C
【分析】通过重心的性质和相似三角形得到S△OBC= S△ABC，同理可得S△OCA= S△ABC，S△OAB= S△ABC，问题得解.
【详解】解：如图，点O是△ABC的重心，
作△OBC的高OG和△ABC的高AH，
∴OG∥AH，
∴△OGD∽△AHD，
∴，
∴S△OBC= S△ABC，
同理可得：S△OCA= S△ABC，S△OAB= S△ABC
∴S△OBC= S△OCA = S△OAB，
∴一定能把三角形分成面积相等的三部分的是该三角形的重心，
故选C.
【点睛】本题考查三角形重心的定义和相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键.
10．B
【分析】过点作的平行线，分别交于点，先根据矩形的性质与判定可得四边形和四边形都是矩形，设，则，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的值，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点，
四边形是矩形，，
，
四边形是矩形，
，
同理可得：四边形是矩形，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
，，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得或，
经检验，是所列分式方程的根，且符合题意；不是所列分式方程的根，舍去，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
11．D
【分析】由点D是边中点，得，再证明，得到，代入数值即可得到答案．
【详解】解：∵点D是边中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
12．B
【分析】首先根据平行得出三角形相似，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出答案．
【详解】∵DE∥BC， ∴△DOE∽△COB， ∴， ∴DE：BC=3：4，
故选B．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质，属于基础题型．明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
13．
【分析】设P（x，y），过P作PD⊥x轴于D，过A作AC⊥PD于C，由垂直定义得∠AOB=∠ODC=∠C=90°，进而得∠PAC+∠APC=90°，再由折叠的性质得PA=OA=4，PB=OB=3，∠APB=90°，从而得∠APC+∠BPD=90°，∠BPD=∠PAC，进而证明△ACP∽△PDB，由相似三角形的性质即可求得点P的横、纵坐标，即可求解．
【详解】解：如图，设P（x，y），过P作PD⊥x轴于D，过A作AC⊥PD于C，
∵PD⊥x轴，AC⊥PD，x轴⊥y轴，
∴∠AOB=∠ODC=∠C=90°，
∴∠PAC+∠APC=90°，
∵OA=4，OB=3，将△AOB沿AB折叠，O的落点为P，
∴PA=OA=4，PB=OB=3，∠APB=90°，
∴∠APC+∠BPD=90°，
∴∠BPD=∠PAC，
∴△ACP∽△PDB
∴，即，
解得：x=，y=，
∵双曲线y=过点P，
∴k=×=．
故答案为：
【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
14． /0.5 2
【分析】（1）根据矩形的性质可得点O是的中点，再结合已知可得是的中位线，从而可得，，然后证明8字模型相似三角形可得，利用相似三角形的性质进行计算即可解答；
（2）过作交于点，利用平行线分线段成比例和三角形全等即可求解．
【详解】(1)解：∵为矩形对角线交点，
∴．
∵点为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴；
(2)如图，过作交于点，
∴，
∴点为中点．
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为（1）；（2）2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及全等三角形的判定和性质等，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．
【详解】解：连接AC，BD，
∵∠CAE=∠BDE，∠AEC=∠DEB，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，CD=2CE，
∴CE2=AE BE，
∴CE=．
∵CD=2CE，
∴CD=2CE=2．
又AB=x+y，且AB≥CD，得x+y≥2．
故答案为：x+y≥2．
16．
【分析】试题分析：根据圆周角定理可得∠C=90°，根据切线的性质可得∠OAD=90°，根据平行线的性质可得∠B=∠DOA，即可证得△OAD∽△BCA，最后根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线
∴∠C=90°，∠OAD=90°
∵BC//OD
∴∠B=∠DOA
∴△OAD∽△BCA
∴
∵AB=2，OD=3
∴，解得
故答案为
【点睛】本题考核知识点：圆周角定理，切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质. 相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中半径常见的知识点.
17．或或或
【分析】由中,，，，,可求得的长，又由，，构成的三角形与相似，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长．
【详解】∵△ABC中,BC=18,AC=12,AB=9,,
∴AE=4，
∵由A，D，E构成的三角形与△ABC相似，
∴当△ADE∽△ABC时，AD:AB=AE:AC=1:3，
∴
则BD=AB AD=6；
当△ADE∽△ACB时，AD:AC=AE:AB，
∴
∴
∴DB的长为：6或
当△ADE∽△ABC时，AD:AB=AE:AC=1:3，
∴
则BD=AB+AD=12；
当△ADE∽△ACB时，AD:AC=AE:AB，
∴
∴
综上所述：DB的长为：或或或
故答案为或或或.
【点睛】考查相似三角形的性质，注意分类讨论思想在解题中的应用.
18．16
【分析】由，可得 由可证 可得，根据即可计算出梯形ABCD的面积.
【详解】解：∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了相似比例与面积的关系，掌握面积间的关系是解题的关键.
19．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据菱形的性质，找到E必在点D处，只要，那么形成的四边形必为菱形，就可求出a的取值范围；
（2）根据E点的运动过程，得到AF逐渐减小，即可得到当E在D时，最小，此时四边形为菱形；
（3）添加辅助线，过中点H作∥交AD于M，交BC于N，由题中所给已知条件可知，HN、EH、FH都是该圆的直径，用含a的式子表示HN和EF，再利用得出a的值
【详解】（1）
∵矩形，
∴BG∥DF
若四边形为菱形，则BG∥EF，
∴E必在点D处．
又，只要，那么形成的四边形必为菱形．
即．
（2）由运动规律可知，当E由C到D运动过程中，AF逐渐减小，所以当E在D时，最小，此时四边形为菱形．
设，则
∴
，解得，
即．
（3）如图所示，过中点H作∥交AD于M，交BC于N，
∵
∴H为过D、E、F的圆的圆心，EF为直径
∵经过点D、E、F的圆能够与直线、同时相切
∴，HN是半径
∵F在中垂线上，则
∴，（同角的余角相等），
∴
∴，
∴
又∵∥
∴
∴
∴
又
∴
又，则
∴
解得：．
【点睛】本题考查了菱形的性质和判定、勾股定理、全等三角形、圆的切线和相似三角形等相关知识，综合性较强．
20．见解析.
【分析】根据F为DC的中点，可得CE：DF＝CF：AD＝1：2，所以Rt△CEF∽Rt△DFA，然后根据相似三角形对应角相等可证出∠EFC＋∠DFA＝90°，即．
【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∵F是CD中点，
∴DF＝CF＝CD＝AD，
∵CE＝BC＝CD，
∴CE：DF＝CF：AD＝1：2，
∴Rt△CEF∽Rt△DFA，
∴∠FAD＝∠EFC，
∵∠FAD＋∠DFA＝90°，
∴∠EFC＋∠DFA＝90°，
∴∠EFA＝90°，
∴AF⊥EF；
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，根据题意得出CE：DF＝CF：AD是解题关键.
21．（1）6；（2）16.
【分析】（1）由三角形相似可知，据此可求解；
（2）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
【详解】解：（1）∵△OBD∽△OAC，
∴，
∵OB=4，
∴OA=6．
（2）∵△OBD∽△OAC，
∴，
∵S△AOC=36，
∴S△OBD=16．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及相似比.
22．（1）证明见解析（2）2
【分析】（1）只要证明△DAF≌△EBD≌△FCE，可得DE=EF=DF，推出△DEF是等边三角形，推出∠DEF=∠EDF=∠B=∠A=60°，推出△DEF∽△ABC．可得△DEF是△ABC的子三角形；
（2）如图2中，作EH⊥AB于H．首先证明△DEF是等腰直角三角形，由△DEH≌△DFA，推出AD=HE，由△BEH是等腰直角三角形，推出HE=×=1，推出AD=1，由△BDE∽△CEF，可得，由此即可求出CF.
【详解】（1）证明：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵AD=BE=CF，
∴AF=BD=CE，
∴△DAF≌△EBD≌△FCE，
∴DE=EF=DF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠DEF=∠EDF=∠B=∠A=60°，
∴△DEF∽△ABC．
∴△DEF是△ABC的子三角形．
（2）如图2中，作EH⊥AB于H．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵△DEF是△ABC的子三角形，
∴△DEF∽△ABC，
∴DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠AFD=90°，∠ADF+∠EDH=90°，
∴∠EDH=∠AFD，
∵∠DHE=∠A=90°，
∴△DEH≌△DFA，
∴AD=HE，
∵△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=×=1，
∴AD=1，
∵∠DEC=∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE，
∵∠B=∠DEF=45°，
∴△BDE∽△CEF，
∴，
∴CF=2．
【点睛】考查相似三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题.
23．见解析
【分析】先连接CE，由于AB=AC，AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可得BE=CE，再利用等边对等角可知∠EBC=∠ECB，易证∠ABE=∠ACE，结合CG∥AB，利用平行线的性质，可证∠CGF=∠FCE，再加上一组公共角，可证△CEF∽△GEC，于是CE2=EF·EG，从而得到BE2=EF·EG.
【详解】如图所示，连接EC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB，
即∠ABE=∠ACE,
又∵CG∥AB，
∴∠ABE=∠CGF,
∴∠CGF=∠FCE,
又∠FEC=∠CEG，
∴△CEF∽△GEC，
∴CE2=EF·EG，
又CE=BE,
∴BE2=EF·EG.
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰三角形得到角度与线相等，从而解出此题.
24．（1）（2）（3）
【分析】（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值．
（2）根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形A A′B′B一定为平行四边形，若四边形A A′B′B为菱形，那么必须满足AB=BB′，由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．
（3）易求得直线AB′的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到C点的坐标，进而可求出AB、BC、AC、B′C的长；在（2）题中已经证得AB=BB′，那么∠BAC=∠BB′C，即A、B′对应，若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：①∠B′CD=∠ABC，此时△B′CD∽△ABC，②∠B′DC=∠ABC，此时△B′DC∽△ABC；
根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的BD长，进而可求得D点的坐标．
【详解】解：（1）由于抛物线经过A （﹣2，4）和点B （1，0），则有：
，解得；
故m=﹣，n=4．
（2）由（1）得：y=﹣x2﹣x+4=﹣（x+1）2+；
由A （﹣2，4）、B （1，0），可得AB==5；
若四边形A A′B′B为菱形，则AB=BB′=5，即B′（6，0）；
故抛物线需向右平移5个单位，即：
y=﹣（x+1﹣5）2+=﹣（x﹣4）2+．
（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；
∵A（﹣2，4），B′（6，0），
∴直线AB′：y=﹣x+3；
当x=4时，y=1，故C（4，1）；
所以：AC=3，B′C=，BC=；
由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：
①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：
=，即=，B′D=3，
此时D（3，0）；
②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：
=，即=，B′D=，
此时D（，0）；
综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（，0）．
【点睛】此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识；（3）题中，在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．
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