6.7用相似三角形解决问题同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
6.7用相似三角形解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立米长的标杆测得其影厂为米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为米和米，则学校旗杆的高度为（ ）米．
A． B． C． D．
2．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（　　）
A．8m B．9m C．16m D．18m
4．如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5m，EF=0.25m，目测点D到地面的距离DG=1.5m，到旗杆的水平距离DC=20m，则旗杆的高度为( )
A． m B． m
C．11.5m D．10m
6．如图，路灯距地面8米，身高米的小明从点处沿所在的直线行走到点时，人影长度（　　）
A．变长 B．变长 C．变短 D．变短
7．在同一时刻，身高1.5米的小红在阳光下的影长2米，则影长为6米的大树的高是（ ）
A．4.5米 B．8米 C．5米 D．5.5米
8．为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示测得BD＝120m，DC＝40m，EC＝30m，那么这条河的大致宽度是（　　）
A．90m B．60m C．100m D．120m
9．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是一个小孔成像的示意图，光线经过小孔，物体在幕布前形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到物体和实像的水平距离，分别为，则实像的高度为（ ）

A． B． C． D．
11．某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是1.5米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是（ ）
A．12米 B．11米 C．10米 D．9米
12．2015年6月27日，四川共青图雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训，参加培训的小王想把一块Rt△ABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片，如图所示，若∠C=30°，AB=10cm，则该矩形BDEF的面积最大为（　　）
A．4cm2 B．5cm2 C．10cm2 D．25cm2
二、填空题
13．小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是 米．
14．如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为 米．
15．雨后操场，小明从他前面2米远的一小块积水中看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水的距离为20米，小明眼睛离地面1.5米，则旗杆的高度为 ．
16．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得米，米、米，那么 米．

17．如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是 米．
三、解答题
18．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．
19．如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．
20．如图，有一块三角形土地，它的底边m，高m，某单位要沿底边BC建一座是矩形的大楼，且使矩形的两个端点D、G分别在AB、AC上，当这座大楼的地基面积为1875时，求这个矩形沿BC边所占的EF的长．
21．一个阳光明媚的午后，小丽和小明准备测量千金塔的高度（塔的顶部A不易到达，底部B可以到达），他们所带的测量工具有：①可调节高度的标杆、②皮尺、③自制三角板（角度未知）．请你用学过的知识设计一种测量塔高的方案．
(1)你所选用的测量工具是______；（填序号）
(2)画出测量示意图，并用a、b、c等字母表示出测量数据；（不要求写操作步骤）
(3)结合测量数据，用含a、b、c等字母的式子表示出千金塔的高度AB．
22．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度CD．
23．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，这时CD与AB有什么关系？为什么？
24．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m，塔影长 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB．
《6.7用相似三角形解决问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B C C A A B A
题号 11 12
答案 A D
1．D
【分析】利用相似三角形对应线段成比例，求解即可．
【详解】解：米长的标杆测得其影长为米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值，
所以墙上的米投射到地面上实际为米，即旗杆影长为米，
因此旗杆总高度为米，
故选．
【点睛】本题考查的是相似形在投影中的应用，关键是利用相似比来解题．
2．C
【分析】由题意知：，可得：，再由，代入即可求得答案．
【详解】由题意知：，
∴
∴
∵，，
∴
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用问题，熟练地掌握相似三角形的判定和性质、并正确的列出相似比的关系式是解题的关键，属于基础应用题型．
3．A
【分析】根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性质即可求得CD的长．
【详解】如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE
∵EP⊥BD
∴∠APB=∠CPD
∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠ABP=∠CDP=90°
∴△ABP∽△CDP
∴
∴
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形在测高中的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射问题是关键．
4．B
【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答．
【详解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，
∴9+2x=10，
∴x=0.5（cm）．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．
5．C
【分析】确定出△DEF和△DAC相似，根据相似三角形对应边成比例求出AC，再根据旗杆的高度=AC+BC计算即可得解．
【详解】解：∵∠FDE=∠ADC，
∠DEF=∠DCA=90°，
∴△DEF∽△DAC，
∴ ，
即： ，
解得AC=10，
∵DF与地面保持平行，目测点D到地面的距离DG=1.5米，
∴BC=DG=1.5米，
∴旗杆的高度=AC+BC=10+1.5=11.5米．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，准确确定出相似三角形是解题的关键．
6．C
【分析】此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化．小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
【详解】解：设小明在处时影长为，长为，处时影长为．
，，
，，
，，
则，
；
，
，
，
故变短了米．
故选：C．
7．A
【分析】根据同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似即可得.
【详解】如图，由题意可得：
由相似三角形的性质得：，即
解得：（米）
故选：A.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，理解题意，将问题转化为利用相似三角形的性质求解是解题关键.
8．A
【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB的长即可．
【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△ABD∽△ECD，
∴AB：CE=BD：CD，
即AB：30=120：40，
∴AB=90（m），
即这条河的大致宽度是90m．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．根据相似三角形的性质可知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值即可求解．
【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，
则：，即
解得：
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可得，得到，即得，再由得，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，分别为，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
11．A
【详解】解：设旗杆的高度为x，
根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：=，
∴x==12m，
∴旗杆的高度是12m．
故选A．
12．D
【分析】先根据锐角三角函数的定义求出BC的长，根据EF∥BC可知△AEF∽△ACB，故∠AEF=∠C=30°，设EF=x，则，故，再由矩形的面积公式即可得出结论．
【详解】∵Rt△ABC中,∠C=30 ，AB=10cm，
∴cm.
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠C=30°，
设EF=x,则，
∴，
∴S矩形BDEF=BD BF=x ()=，
∴当x=时,S最大=.
故选D.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数与三角函数的应用，解题关键是根据题意列出关于x的二次函数，利用二次函数的最值问题求解．
13．1.92
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】根据题意知，小红的身高为175-7=168（厘米），
设小红的影长为x厘米,则
解得：x=192，
∴小红的影长为1.92米，
故答案为1.92．
【点睛】考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．
14．10
【分析】由已知可得BC∥DE，因此△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求得水塔的高度．
【详解】解：∵BC⊥AD，ED⊥AD，
∴BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
即，
∴DE=10，即水塔的高度是10米．
故答案为10．
【点睛】本题考查了考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形得出比例式．
15．15米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用.
利用相似三角形对应线段成比例解题，因为人和旗杆均垂直于地面，所以平行，构成两个相似三角形．
【详解】解：假设旗杆高x米，则，
∴x=15．
16．7.8
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD//AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴，
∴AC=7.8(米)，
故答案为：7.8．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
17．8
【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到代入数值求解即可．
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP
∴，
即
解得：CD=8米．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．
18．窗口底边离地面的高为．
【分析】因为光线AE、BD是一组平行光线，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有，从而算出BC的长．
【详解】∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即窗口底边离地面的高为．
【点睛】本题考查了相似的三角形在实际生活中的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
19．路灯杆AB高5.1m．
【分析】利用△CDF∽△ABF及△EGH∽△ABH得到相关比例式，求得BD的值，进而代入和AB有关的比例式，求得AB的值即可．
【详解】∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴＝，
同理可得＝，
∴＝，
∴＝，
解得BD＝6，
∴＝，
解得AB＝5.1．
答：路灯杆AB高5.1m．
【点睛】考查相似三角形的应用；利用相似三角形的知识得到BD的长是解决本题的关键．
20．当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米
【分析】设DE的长为x，先证△ADG∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比等于相似比得，得，再根据面积列出，求出x即可．
【详解】解：设DE的长为x，
∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC，
∴AM⊥DG
∴，
∴，
∴，
∴矩形DEFG面积为：，
解得：x＝30或50，
EF＝DG＝62.5或37.5．
∴当EF的长为62.5或37.5米时，最大面积为1875平方米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题关键是理清题意正确地找到相似三角形．
21．(1)①②
(2)见解析
(3)千金塔的高度AB为点
【分析】（1）根据题意选用①②，即可；
（2）根据题意，画出测量示意图，测得标杆CD的高为a，DE＝b，BD＝c，即可求解；
（3）证明，可得，即可求解．
【详解】（1）解∶ 所选用的测量工具是①②．
故答案为：①②
（2）测量示意图如图所示：
测得标杆CD的高为a，DE＝b，BD＝c．
（3）解：根据测量过程得：，，
∴，
∴，即，
∴，
即千金塔的高度AB为点．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，明确题意，准确得到相似三角形是解题的关键．
22．CD=8米
【分析】由题意得到两对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到△ABP与△CDP相似，由相似得比例求出CD的长即可．
【详解】由题意知：∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP，
∴=，
得：=，
解得：CD=8．
答：该古城墙CD的高度为8米．
故答案为CD=8米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
23．AB=3CD．理由见解析
【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：AB=3CD．理由如下：
∵OA=3OD，OB=3CO，
∴OA：OD=BO：CO=3：1，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∴AB=3CD．
【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．
24．塔高AB为24m.
【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．
【详解】如图，过点D作，交AE于点F，过点F作，垂足为点G.
由题意得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
答：塔高AB为24m.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用；解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)