7.1正切同步练习（含解析）

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7.1正切
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知中，，，若，于点E，则（ ）
A． B． C． D．
2．中，的值是（ ）．
A． B． C． D．
3．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　）
A． B． C． D．2
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB上一点，且AD：DB=1：3，DE⊥AC于点E，连接BE，则tan∠CBE的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则tanB的值为（ ）
A． B． C．2 D．
6．如图，经过原点的⊙P与两坐标轴分别交于点A（2，0）和点B（0，2）， C是优弧上的任意一点（不与点O,B重合），则tan∠BCO的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（ ）米
A． B． C． D．
8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（ ）
A．6 B． C．10 D．12
9．如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，已知AB＝4，AD＝2，△GEF与△AEF关于直线EF成轴对称．当点F沿AD边从点A运动到点D时，点G的运动路径长为（　　）
A．2 B．4π C．2π D．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ）

A．2＋ B．2 C．3＋ D．3
12．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）
A． B．1 C． D．
二、填空题
13．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanB＝ ．
14．如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则
15．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BCOA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE= ．
16．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为 ．
17．等腰三角形的腰长为1cm，底边长为cm，则它的底角的正切值为 ．
三、解答题
18．如图，直角坐标系中，P（3，y）是第一象限内的点，且，求sinα．

19．. 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，把剪下的①这部分展开，平铺在桌面上．若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 .
20．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：AB=DF；
（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．
21．如图，在直角坐标系中有一个格点三角形ABC（顶点都在格点上的三角形），已知A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣4，1），直线MN过点M（2，5），N（5，2）．
（1）请在图中作出格点三角形ABC关于x轴对称的格点三角形A′B′C′（A，B，C的对应点依次为A′，B′，C′）；
（2）连结AM，AN，则tan∠MAN=________ .
22．如图，在矩形中，，，点为边的中点．动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，当点不与点A重合时，连接．作点A关于直线的对称点，连接、，设点的运动时间为秒．
(1)线段的长为______．
(2)用含的代数式表示线段的长．
(3)当时，求的值．
(4)当点在矩形内部（不包括边界）时，直接写出的取值范围．
23．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD，根据此图求tan15°的值．
24．如图，是的弦，半径，交于点为延长线上一点，与相切于点与交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长．
《7.1正切》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D C B A C A D C
题号 11 12
答案 A B
1．D
【分析】连接AD，由题意易得AD⊥BC，然后可得，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：连接AD，如图所示：
∵，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴在Rt△ADB中，，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数是解题的关键．
2．D
【分析】根据题意在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，利用勾股定理求出BC，直接运用三角函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，
∵AB=13，AC=12，
在Rt△ABC中根据勾股定理,
∴tanB=．
故选D．
【点睛】本题主要考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，解答此类题目的关键是画出图形便可直观解答．
3．D
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，通过解一元二次方程－x2－2x+3=0，求得A，B的坐标，根据二次函数的图象与性质得到顶点C的坐标；依题意画出图形，并作出CD⊥AB，可得Rt△CAD，根据相关点的坐标可计算出CD、AD的长；根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠CAB的值．
【详解】令y=0，则－x2－2x+3=0，解得x=1或－3，
所以抛物线y=－x2－2x+3与x轴的交点坐标为（1，0），（－3，0），
可设点A（－3，0），点B（1，0），
由函数解析式可得抛物线顶点C坐标为（－1，4）．
如图，画出函数图象，作CD⊥AB于D，连接AC，
在△ACD中，CD=4，AD=2，
则tan∠CAB==2．
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．
4．C
【分析】根据题意和30°角所对的直角边与斜边的关系，设AB=4a，可以用a分别表示出CE和CB的值，从而可以求得tan∠CBE的值．
【详解】设AB=4a，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB上一点，且AD：DB=1：3，
∴BC=2a，AC=2a，AD：AB=1：4，
∵∠C=90°，DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠C，
∴DE∥BC，
∴△AED∽△ACB，
∴，
∴，
∴AE=a＝，
∴EC=AC-AE=2a ＝，
∴tan∠CBE=，
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
5．B
【分析】直接根据正切的定义求出结果．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，
∴tanB=．
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
6．A
【详解】试题分析：连结AB，根据正切的定义得到tan∠A=，再根据圆周角定理得∠C=∠A，所以tan∠BCO=．
故选A．
考点：圆周角定理．
7．C
【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
【详解】解：∵PA⊥PB，
∴∠APC=90°，
∵PC=50米，∠PCA=44°，
∴tan44°=，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=50 tan44°米．
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
8．A
【详解】∵tanA=，BC=8，
∴AC= =6．
点评：本题主要考查了正切函数定义的应用，已知直角三角形的一个锐角，及其中一条直角边，就可以求出另外的直角边．
9．D
【分析】由轴对称性质可知，GE＝AE＝2是定长，故点G的运动路径为以E为圆心、AE长为半径的圆弧上，圆弧的最大角度即点F到达中点D时，∠AEG的度数．利用AD、AE的长可求tan∠AED的值，求得∠AED并进而求得∠AEG为特殊角．再代入弧长公式即求出点G的运动路径长．
【详解】∵矩形ABCD中，AB＝4，E是AB的中点，
∴AE＝AB＝2，
∵△GEF与△AEF关于直线EF成轴对称，
∴GE＝AE＝2，∠GEF＝∠AEF，
∴G在以E为圆心，AE长为半径的圆弧上运动，
如图，当点F与点D重合时，AD＝2，
∴tan∠AED＝，
∴∠AED＝60°，
∴∠AEG＝2∠AED＝120°，
∴G运动路径长为：2π×2×=，
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称性质，圆的定义，三角函数，圆弧计算．解题关键是由轴对称性质得到GE＝AE＝2为定值，得到点G的运动轨迹为圆弧．
10．C
【分析】由cosA=，知道∠A=60°，得到∠B的度数即可求得答案．
【详解】解：∵∠C=90°，cosA=，
∴∠A=60°，得∠B=30°，所以tanB=tan30°= ．
故选：C．
【点睛】考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是正确识记30°角的正切值．
11．A
【详解】设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x，
所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x，
在Rt△ACD中，tan∠DAC=，
故选A.
12．B
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【详解】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
13．
【详解】∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC==12，
∴tanB=，
故答案为．
14．
【分析】根据正切函数的定义得出，利用勾股定理求出的长，过点D作的平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质即可得答案．
本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数，熟练掌握判定，正切函数的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作交于点M，
则，
四边形是矩形，
，，
，
由勾股定理得．
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
【详解】解：连接PB、PE．
∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，
∴PB⊥BC，PE⊥OA，
∵BC//OA，
∴B、P、E在一条直线上，
∵A（2，0），B（1，2），
∴AE=1，BE=2，
∴tan∠ABE==，
∵∠EDF=∠ABE，
∴tan∠FDE=．
16．
【分析】在中，由勾股定理可得．根据旋转性质可得，，，利用线段的和差关系可得．在中根据计算即可．
【详解】∵在中，AB=5，BC=12，
∴．
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，，
∴CD=AC-AD=8．
在中，．
故答案为
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．
17．．
【分析】作等腰三角形底边上的高，将问题转化到直角三角形中，求底角的正切值即可．
【详解】解：设AB＝AC＝1，BC＝，
过A点作AD⊥BC，垂足为D，如图所示：
则BD＝BC＝，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝,
∴tanB＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正切函数的求值,属于简单题,熟悉正切函数值的表示方式并通过勾股定理得到边长是解题关键.
18．sinα=．
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．
【详解】如图：

作PC⊥x于C点，
由，得y=4．
由勾股定理，得OP==5，
．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
19．
【详解】解：作OB⊥AD，根据已知可以画出图形，
∵根据折叠方式可得：
AB=AD，CD=CE，∠OAB=60°，AO等于正六边形的边长，
∴∠BOA=30°，
∴2AB=AO，
=tan60°=，
∴BO：AM=：2．
20．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）由矩形性质得到∠B=∠DFA,AE=BC,AD=BC，证得△AEB≌△DAF；
（2）由（1）可知：DF=AB=6，AE=AD=10. 在Rt△AFD中，求出AF和EF.
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC,AD∥BC，∠B=90°.
∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠FAD
∵DF⊥AE，
∴∠DFA=90°
∴∠B=∠DFA
∵AE=BC，AD=BC，
∴AE=AD
∴△AEB≌△DAF
∴AB=DF
（2）解：由（1）可知：AB=DF=6，AE=AD=10.
在Rt△AFD中，∠DFA=90°，
∴AF===8
∴EF=AE-AF=10-8=2
在Rt△DFE中，∠DFE=90°
∴tan∠EDF===
【点睛】矩形性质，求正切.
21．（1）图形见解析；（2）
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点可得A′，B′，C′的坐标，再顺次连接即可；
（2）根据网格图可得：∠AMN=90°，，利用勾股定理可计算出MN、AM的长，再根据正切定义可得答案．
【详解】解：（1）解：如图所示
（2）由网格图可得：∠AMN=90°，
∵MN==， AM==
∴tan∠MAN=
故答案为．
【点睛】此题主要考查了作图轴对称变换，以及三角函数，关键是掌握正切=．
22．(1)5
(2)
(3)
(4)或
【分析】(1)根据点A关于直线的对称点是点，可得，再根据点为边的中点即可求得；
(2)分两种情况分别计算，即可求得；
(3)过点作于点，于点N，根据，，利用勾股定理即可求得，，再根据勾股定理即可求得t的值；
(4)分两种情况即可分别求得．
【详解】（1）解：，点为边的中点，
，
点A关于直线的对称点是点，
，
故答案为：5；
（2）解：当点P在线段AD上时，，
当点P在点D的上方时，，
故；
（3）解：如图：过点作于点，于点N，
，
设，EM=4x，
在中，，，
，解得x=1(负值舍去)，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，
解得t=15；
（4）解：当点在DC边上时，过点E作于点M，
则EM=BC=4，，DM=AE=5，，DP=4-t，
，
，解得(负值舍去)，
，
，解得，
故当时，点在矩形内部；
当点在DC边上时，过点作于点N，
则，，，DP=t-4，
，
，解得(负值舍去)，
，
，解得，
故当时，点在矩形内部，
综上，当或时，点在矩形内部．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，动点问题中的用字母表示相关线段的长，正切函数的定义，勾股定理，矩形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
23．2－
【分析】设AB＝BD＝2，由∠DBC＝30°，可知CD＝1，CD＝，最后求出的值即可．
【详解】设AB＝BD＝2，
∴∠A＝（180°－∠ABD）＝∠DBC＝15 ，
∵∠DBC＝30 ，
∴CD＝1，
∴由勾股定理可求出：BC＝＝，
∴AC＝AB＋BC＝2＋，
∴tan15 ＝＝2 .
【点睛】本题主要考查了角的正弦值的计算，解题的关键是知道∠A＝15°并求出AC的长.
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由切线的性质可得∠OCP=90°，由等腰三角形的性质可得∠E=∠OCE，可得∠CFP=∠FCP，可得PC=PF；
（2）过点B作BH⊥PC，垂足为H，由题意可证四边形OCHB是正方形，由勾股定理可得BH=CH=3，可求PH，BP的长，即可求BF的长．
【详解】解：（1）连接．
，
．
与相切于点，
，
．
，
，
．
，
，
．
（2）过点作于点．
，
．
，
∴四边形OCHB是正方形，
∴BH=CH，
∵BH2+CH2=BC2，BC=，
∴BH=CH=3，
在中，，
∴PF=PC=3+4=7，，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线的性质，以及锐角三角函数等知识，需要学生灵活运用所学知识．
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