7.2正弦、余弦同步练习（含解析）

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7.2正弦、余弦
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是斜边边上的高，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，当小球向下滚动了米时，则小球下降的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为(　　)
A． B． C． D．1
5．已知中，为的对边，为的对边，若与已知，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，下列各式中正确的是（　　）
A．a=b cosA B．c=a sinA C．a cotA=b D．a tanA=b
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为(　　)．
A． B． C． D．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，那么sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD．若AC＝2，则cosD＝ .
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，即sinA＝
例如，当∠A＝30°时，有sinA＝sin30°＝ ；当∠A＝45°时，有sinA＝sin45°＝ ．
15．如图，若点A的坐标为 ，则 = ．
16．如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则 ．
17．已知：α是锐角，tanα＝，则sinα＝ ，cosα＝ ．
三、解答题
18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．
(1)求的值．
(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）
19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=1，求∠A的三个三角函数值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．
21．如图所示，AD是△ABC的外接圆的直径，∠C＝62°，BD＝4，则AD的长是多少？(精确到0.01)．
22．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求：
（1）BC的长；
（2）sin ∠ADC的值．

23．已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线使∥AN交圆与D、E两点（点D、点E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，
（1）求证：BG＝EG；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为的圆O与圆P的圆心距．
24．（1）如图1．△ABC中，∠C为直角，AC=6，BC=8，D，E两点分别从B，A开始同时出发，分别沿线段BC，AC向C点匀速运动，到C点后停止，他们的速度都为每秒1个单位，请问D点出发2秒后，△CDE的面积为多少？
（2）如图2，将（1）中的条件“∠C为直角”改为∠C为钝角，其他条件不变，请问是否仍然存在某一时刻，使得△CDE的面积为△ABC面积的一半？若存在，请求出这一时刻，若不存在，请说明理由．
《7.2正弦、余弦》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A C C C D D A
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】由同角的余角相等可得，在三个直角三角形中由正弦函数的定义即可确定答案．
【详解】，，
，
，
；
故正确的是B选项；
故选：B．
【点睛】本题考查了正弦函数的定义，同角的余角相等，掌握正弦函数的定义是关键．
2．B
【分析】本题考查求锐角三角函数，勾股定理，
根据勾股定理先求出，再证明，进而即可求解
【详解】解：在中，
∵在和中，
，
故选B.
3．C
【分析】根据余弦的定义求出BC，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图可知，
在Rt△ABC中，cosα＝，即，
解得：BC＝2，
由勾股定理得，AC＝＝1.5（米），
故选：C．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．A
【分析】根据正弦的定义列式计算即可．
【详解】∵∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA=，
故选：A．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．
5．C
【分析】利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可．
【详解】解：如图所示：tanA=，
则a=btan∠A．
故选：C．
【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．C
【分析】根据三角函数的定义，知，设BC=x，AC=2x，根据勾股定理可求得AB，再根据三角函数的定义就可以求出的值．
【详解】解：在△ABC中，，
∵，
∴设BC=x，AC=2x，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，一个锐角的正弦值为对边比斜边，余弦值为邻边比斜边，正切值为对边比邻边．
7．C
【详解】∵∠C=90°，
∴cosA=，sinA= ，tanA=，cotA=，
∴c·cosA=b，c·sinA=a，b·tanA=a，a·cotA=b，
∴只有选项C正确，
故选C.
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义并且灵活运用是解题的关键.
8．D
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，
∴AB==10，
故选D．
【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
9．D
【分析】找出OB边上的格点C，连接AC，利用勾股定理求出AO、AC、CO的长度，再利用勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形，然后根据余弦定义计算即可得解．
【详解】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
据勾股定理，AO=，
AC=，
OC=，
所以，AO2=AC2+OC2=20，
所以，△AOC是直角三角形，
cos∠AOB．
故选D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出格点C并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
10．A
【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∴cosA=，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA=．
故选A．
11．B
【分析】根据勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】解：由勾股定理得，，
所以，．
故选：．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
12．B
【分析】设正方形网格的小正方形的边长为１，根据题意，得，则，利用余弦的定义解答即可．
本题考查了勾股定理，余弦计算，熟练掌握定理和定义是解题的关键．
【详解】解：设正方形网格的小正方形的边长为１，如图，根据题意，得，则，
故，
故选：B．
13．
【详解】试题分析：连接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案为．
考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．
14． 正弦；； sinA
【解析】略
15．
【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．
【详解】解：如图，
点A的坐标为 ，
由勾股定理，得：OA==2
sin∠1=，
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理，正弦的概念，比较简单．
16．
【分析】作AD⊥BC于D点，在Rt△ABD中根据余弦的定义求解即可．
【详解】如图，作AD⊥BC于D点，则△ABD为直角三角形，
其中，AD=3，BD=4，由勾股定理可得AB=5，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查求余弦值，根据余弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键．
17． ；
【分析】作出直角三角形,根据tanα＝设出边长,再根据正弦值和余弦值的定义即可解题.
【详解】解：如下图,设∠A=α
∵tanα＝，
∴BC=7k,AC=24k,
∴直角三角形的斜边AB=25k,（勾股定理）
∴sinα＝，cosα＝．
【点睛】本题考查了三角函数的定义,属于简单题,熟悉三角函数值的定义是解题关键.
18．(1)
(2)图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键．
（1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得；
（2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴是以为直角的直角三角形，
∴．
（2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下：
在中，．
19．sinA=，cosA=，tanA=2．
【分析】根据勾股定理，可得c，根据sinA=，cosA=，tanA=，可得答案．
【详解】∵∠C=90°，a=2，b=1，
∴c=，
∴sinA===，
cosA===，
tanA==2．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．
20．．
【分析】易证得△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC=x，在Rt△ABC中，根据三角函数可求cosB．
【详解】∵∠C=90°，MN⊥AB，
∴∠C=∠ANM=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴==，
设AC=3x，AB=4x，
由勾股定理得：BC==，
在Rt△ABC中，cosB=．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题关键是表示出BC，AB．
21．约8.52.
【分析】由AD是△ABC的外接圆直径可以推出∠ABD=90°，由圆周角定理得∠D=∠C=62°，再由cosD=，求得AD的值．
【详解】解: 由题意知∠D＝∠C＝62°，∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°.
在Rt△ABD中，cos ∠ADB＝ ，
∴AD＝≈8.52.
【点睛】本题利用直径对的圆周角是直角，圆周角定理，余弦的概念求解．
22．（1）BC＝4；（2）sin ∠ADC＝.
【详解】（1）如图，作AE⊥BC，

∴CE=AC cosC=1，∴AE=CE=1，，
∴BE=3AE=3，∴BC=4；
（2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1，
∴∠ADC=45°，∴．
23．（1）见解析；（2）y＝x﹣3+，定义域是x＞；（3）圆O与圆P的圆心距为或．
【分析】（1）证明△FBG∽△FAP，得出比例线段，同理可得△FEG∽△FCP，得出，则可得出结论；
（2）过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，联结PE，由锐角三角函数的定义及勾股定理可求出答案；
（3）由等腰三角形的性质得出y+5＝2x，解方程求出x＝5，分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明：∵BGAP，
∴∠FBG=∠FAP，∠FGB=∠FPA，
∴△FBG∽△FAP，
∴，
∵GEPC，
∴∠FEG=∠FCP，∠FGE=∠FPC，
△FEG∽△FCP，
∴，
∴，
∵AP＝PC，
∴BG＝EG；
（2）解：过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，
∴∠AQK=∠QKP=90°，
∵DEAP，
∴AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠AQK=∠QKP=90°，
∴四边形APKG为矩形，
∴PK＝AQ，AP＝QK，
∵cos∠BAP＝cos∠ABQ＝，AB＝5，
∴BQ＝AB cos∠ABQ＝×5＝3，
∴AQ＝，
∴PK＝4，
∵AP＝x
∴PE=AP= x，
∴KE＝，
又∵BK＝QK﹣QB＝x﹣3，
∴BE＝BK+EG＝，
∴y＝，
当圆P过点B时，点D与点B重合，过B作BH⊥AP于H，
∵AQ⊥AP，QBAH，
∴∠Q=∠QAH=∠BHA=90°，
∴四边形QAHB为矩形，
∴AH=QB=QD=3，AQ=BH=4，
在Rt△BHP中，由勾股定理
即
解得,
∴AP＝，
∴定义域是x＞；
（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，连结OG，直线OG交AC于V，
当BF=EF时，点D与点B重合，不成立，
∴BF＝BE，
∴∠BFE=∠FEB，
∵BEAC，
∴∠ACF=∠BEF，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
∴y+5＝2x，
∵y＝，
∴2x﹣5＝，
整理得,
两边平方得,
整理得,
∴x＝5，
∴BE＝5，
∴BG=EG＝，
∵圆O的半径为，
在Rt△BOG中，BO=，
根据勾股定理
∴OG＝，
∴EK=
∴PV＝KG=3-GE=3-=，
当圆心O在BE下方时，在Rt△PO2V中，由勾股定理
∴O2P＝，
当圆心O在BE上方时，
∴OP＝．
综合以上可得OP的长为或．
【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，掌握三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，圆心距，利用辅助线准确构图是解题关键．
24．（1）D点出发2秒后，△CDE的面积为12；（2）D点出发2秒钟时△CDE的面积为△ABC面积的一半，理由见解析.
【分析】（1）D，E出发2秒后，BD=AE=2，然后求出CD，CE的长，根据三角形的面积公式求解即可；
（2）如图，过B，D点分别作AC，CE边上的高，设D，E运动时间为x秒，根据根据三角形的面积公式列出方程式求解即可.
【详解】（1）∵D，E出发2秒后，BD=AE=2，
∴CD=BC－BD=8－2=6，CE=AC－AE=6－2=4，
则S△CDE=CD·CE=×6×4=12.
答：D点出发2秒后，△CDE的面积为12.
（2）如图，过B，D作AC边上的高DH，BG
设D，E运动时间为x秒，
则(8﹣x)(6﹣x)sin∠BCG=×6×8sin∠BCG
解得x=2或x=12（舍去），
所以D点出发2秒钟时△CDE的面积为△ABC面积的一半，
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