7.4由三角函数值求锐角同步练习（含解析）

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7.4由三角函数值求锐角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．∠B是Rt△ABC的一个内角，且sinB=，则cosB等于( )
A． B． C． D．
2．用计算器计算sin24°的值，以下按键顺序正确的是( )
A． B．
C． D．
3．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB＝5，BC＝8，sinB＝，那么tan∠CDE的值为(　　)
A． B． C． D．－1
4．若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（　　）
A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4
5．已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
6．已知sinαcosα=，且0°<α<45°，则sinα－cosα的值为( )
A． B．－ C． D．±
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子中不一定成立的是（ ）
A．tanA= B．sin2A+sin2B=1 C．sin2A+cos2A=1 D．sinA=sinB
8．在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
9．已知∠A，∠B均为锐角，且cosA＝，sinB＝，则下列结论中正确的是（ ）
A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30°
C．∠A＝30°，∠B＝60° D．∠A＝60°，∠B＝30°
10．按键，使科学记算器显示 回后，求的值，以下按键顺序正确的是( )
A．
B．
C．
D．
11．已知，是锐角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
二、填空题
13．如果是锐角，且，那么 度
14．如图，射线AB经过，，若将射线AB绕点A顺时针旋转，旋转到经过点的位置，若旋转的角度为α，则 ．
15．如图，在矩形ABCD中，点O在BC边上，，以O为圆心，OB的长为半径画弧，这条弧恰好经过点D，且交AD于E点，则BE弧的长为 ．
16．如果，则的形状是 ．
17．若，则锐角 ．
三、解答题
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA，sinB，cosB，tanA，tanB的值．
19．如图，已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
（1）试说明：S△ABC=absinC；
（2）若a=30cm，b=36cm，∠C=30°，求△ABC的面积．
20．如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
21．用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中：
锐角 … … …
随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？
22．如图，在中，．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
23．如图，已知，是的直径，，与的边，分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若的平分线交于点，连接交于点，求的值．
24．已知α是锐角，且cosα=，求sinα、tanα的值．
《7.4由三角函数值求锐角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B C B D D D A
题号 11 12
答案 C B
1．C
【详解】,∠B=60°，cosB= .选C.
2．A
【详解】根据用计算器算三角函数的方法：先按键“sin”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果.先按键“sin”，再输入角的度数24，按键“=”即可得到结果.故选A.
3．A
【详解】在△ABE中，AE⊥BC，AB=5，sinB=，
∴AE=AB·sinB=4，BE==3.
则EC=BC-BE=8-3=5.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5.
∴△CED为等腰三角形.
则∠CDE=∠CED.
又∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED=∠CDE.
在Rt△EAD中，AE=4，AD=BC=8，
∴tan∠CDE=tan∠ADE==.
故选A.
4．B
【详解】分析：首先明确tan45°=1，tan60°=，再根据正切值随着角的增大而增大，进行分析解答即可．
详解：
∵tan45°=1，tan60°=，
∴1＜tan55°＜，
∴1＜tan55°＜2.
故选B.
点睛：本题考查了锐角三角函数的增减性，利用特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性是解决这类题目的基本思路.
5．C
【分析】通过tan30°、tan45°、tan60°这些特殊角度的正切值来判断随角度变化正切值的变化规律，再通过具体数值确定其大致范围.
【详解】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，则可知正切值随角增大而增大，
由1＜＜可得，45°＜∠A＜60°．
故选择C．
【点睛】熟悉特殊角的正切值以及由此判断正切函数随角度变化的变化规律是解题关键.
6．B
【分析】由题意把已知条件两边都乘以2，再根据sin2α+cos2α=1，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出cosα与sinα的取值范围，从而得到sinα-cosα＜0，最后开方即可得解．
【详解】解：∵sinαcosα=，
∴2sinα cosα=，
∴sin2α+cos2α-2sinα cosα=1- ，
即（sinα-cosα）2=，
∵0°＜α＜45°，
∴＜cosα＜1，0＜sinα＜，
∴sinα-cosα＜0，
∴sinα-cosα= －．
故选：B．
【点睛】本题考查同角的三角函数的关系，利用好sin2α+cos2α=1，并求出sinα-cosα＜0是解题的关键．
7．D
【分析】根据同角三角函数的关系式直接进行判断即可．
【详解】根据同角的三角函数的关系：tanA=,sin2A+cos2A=1,sinB=sin(90° A)=cosB，可知只有D不正确.
故选D.
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键.
8．D
【详解】试题分析：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D．
考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方．
9．D
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵∠A，∠B均为锐角，cosA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=30°．
故选D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
10．A
【分析】根据用计算器算三角函数的方法作出选择．
【详解】解：第一步按sin，第二步90，最后按=，
故选A.
【点睛】本题考查了用过计算器计算三角函数，会用科学记算器进行计算是解题关键．
11．C
【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出各条边的长，再求出答案．
【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，
由于，因此设BC=5k，则AC=12k，
由勾股定理得，，
∴，
故选 C．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出各条边的长是解决问题的关键．
12．B
【分析】连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数．
【详解】解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故选：B．
【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键．
13．48
【分析】根据锐角三角函数关系：，即可求解．
【详解】∵是锐角，，
又∵，
∴48°．
故答案是48．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的关系，掌握，是解题的关键．
14．2
【分析】连接CB，作于点D，通过A，B，C三点坐标，求出△ABC的面积及AB，AC的长，求出CD，AD的长，即可求出的值.
【详解】如图，连接CB，作于点D. ，
的面积为，
，，
，
，
，
.
【点睛】本题是对锐角三角函数的综合考查，熟练掌握坐标点知识及锐角三角函数知识是解决本题的关键，难度适中.
15．
【分析】连接OE，根据矩形的性质，得到∠C=90°，进而得到∠ODC=90°，然后得出等边三角形EOD，可求∠BOE=60°，再根据弧长公式求解即可．
【详解】连接OE
∵矩形ABCD中，BO=2CO=2，
∴DO=2CO=2
∴∠ODC=30°，
∵
∴∠EDO=∠DOC=60°
∵OE=OD，
∴为等边三角形，
∴∠EOD=60°
∴∠BOE=60°
∴BE弧的长为．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质和弧长公式，关键是根据矩形的性质得到30°角，构造等边三角形．
16．等边三角形
【分析】根据特殊角的三角函数值以及非负数的性质求解进而根据等边三角形的判定可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质，也考查了等边三角形的判定．
17．
【分析】先求出tan(α+10°)= ，然后求α+10°的值，再求α的值即可．
【详解】解：∵，
∴tan(α+10°)= ，
∴α+10°=60°，
故α=50°，
故答案为50°．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
18．；；；；
【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．
【详解】解:如图
因为Rt△ABC中，∠C=90°，，
所以，
设BC＝3k(k＞0)，
则AB＝4k．
在Rt△ABC中，由勾股定理得．
所以，
，
，
，
．
19．（1）见解析；（2）270cm2
【分析】（1）作BD⊥AC，即可求得BD的长度，根据S△ABC=12AC BD即可解题；（2）根据（1）中结论代入a，b，∠C的值即可解题．
【详解】(1)如图，作BD⊥AC，
∵Rt△BCD中，BD=BC sinC=asinC，
∴S△ABC=AC BD=absinC；
(2)根据(1)中结论，
S△ABC=absinC=×30×36×12=270(cm2)
【点睛】本题考查了三角形面积的计算、特殊角的三角函数值，本题求BD的长度是解题的关键.
20．（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
【详解】解：（1）∵点P纵坐标为4，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
设，则，
当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得：，（舍去），
当时，，
∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：，，均舍去．
综上，M点的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
21．见解析，随着锐角A的度数不断增大，的值不断增大，的值不断减小，的值不断增大
【分析】利用计算器计算出各函数值，再观察表格由此得到答案．
【详解】解：
锐角A … … …
… 0.2588 0.3090 0.3420 0.3746 … 0.9848 0.9903 0.9945 …
… 0.9659 0.9511 0.9397 0.9272 … 0.1736 0.1392 0.1045 …
… 0.2679 0.3249 0.3640 0.4040 … 5.6713 7.1154 9.1544 …
随着锐角A的度数不断增大，的值不断增大，的值不断减小，的值不断增大．
理由：在中，，假定的对边不变，当增大时，必有斜边减小，因此的值增大；假定的邻边不变，当增大时，必有斜边增大，对边增大，因此的值减小，的值增大．
【点睛】此题考查利用三角函数数值表求各角度的三角函数值，根据数据变化总结规律，熟记三角函数值的计算方法是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可．
（1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可；
（2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出．
【详解】（1）解：证明如下：
∵中，，
∴，，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）连接DF，由圆周角性质可得，则利用平行线的判定与性质可得，再根据等腰三角形性质及直角三角形性质可推出，即可证得结论；
（2）由相似三角形的判定可得，则推出，由得出，可利用勾股定理求得，即可求出的值；
（3）连接MN，并延长CO与AF，分别相交于点P，点Q，连接AQ，利用（2）所得结论及已知分别求得，，，，，，再由相似三角形的判定及性质可推出，代入求值后即可求得的值．
【详解】（1）证明：如图，连接DF，
∵是的直径，
∴．
∴DF∥AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥OC．
∴DF∥OC．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则．
由勾股定理得，
即，
解得，（不合题意，舍去）．
∴．
∵，
∴．
（3）解：连接MN，并延长CO与AF，分别相交于点P，点Q，连接AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，AB∥OC．
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵AB∥OC，
∴．
∴．
∵，
∴．
在Rt△APO中，由勾股定理得．
∴．
在Rt△APH中，由勾股定理得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质及求角的三角函数值等知识，熟练掌握圆的相关知识及相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键．
24．．
【分析】如图所示，设∠A＝α，由题意可知：cosα＝,故设AC＝3k，AB＝4k，根据勾股定理求出BC，再依次求出sinα，cosα.
【详解】解：如图，
Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，
∵
∴设AC=3，AB=4（＞0），则BC= ．
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形中三角函数的基本概念.
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