7.5解直角三角形同步练习（含解析）

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7.5解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，在中，AD是高，，，，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
2．如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，连结、，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，点P从点C出发，以的速度沿折线C－A－B做匀速运动，到达点B时停止运动．点P出发一段时间后，点Q从点B出发，以相同的速度沿做匀速运动，到达点C时停止运动．已知当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．设的面积为，点P的运动时间为，则能反映S与t之间的函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，折痕分别交AB、AC于D、E，若BC=5，则线段DE的长为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A．csinA＝ a B．b cosB＝c C．a tanA＝ b D．ctanB＝ b
6．以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（　　）
A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，12，13 D．6，8，10
7．如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（　　）
A．2 B． C． D．
8．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )
A． B．12 C． D．
9．在下列情况下，可解的直角三角形是( )
A．已知b=3，∠C=90° B．已知∠C=90°,∠B=46°
C．已知a=3,b=6,∠C=90° D．已知∠B=15°,∠A=65°
10．如图，在中，，．矩形的顶点、、分别在边、、上，若，则矩形面积的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
11．已知在中，， ，，则的长（ ）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
12．圆内接正六边形的边长为2，则该圆内接正三角形的边长为（　　）
A．4 B． C． D．
二、填空题
13．在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接，则周长的最小值是 ．

14．在中，，，，则 ， ， .
15．如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为 cm的圆形纸片所覆盖．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE= ．
17．在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是 ．
三、解答题
18．已知：△ABC中，∠C＝90°.
(1)a＝6，b＝2，求∠A，∠B，c；
(2)a＝24，c＝24，求∠A，∠B，b.
19．如图，四边形和四边形均为菱形，且．点在线段上，已知，，且，连接，，求的长．
20．如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．
21．如图，在中，，，，求长．
22．在中，，所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素：
（1）；
（2）．
23．如图，拦水坝的横断面为梯形，坝高，坡角，，求的长．
24．定义：如果三角形某一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．

(1)如图①，在中，，，求证：是“好玩三角形”；
(2)如图②，若等腰三角形是“好玩三角形”，，求腰长和底边长的比．
《7.5解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A B A A C A C C
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】分两种情况讨论，①AD在三角形内部，②AD在三角形外部，分别画出图形求解即可．
【详解】解：①当AD在三角形内部时，
∴∠BAD=45°，∠CAD=60°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=105°．
②当AD在△ABC外部时，
∴∠BAD=45°，∠CAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD-∠BAD=15°．
故选C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是分类讨论，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．
2．D
【分析】连接，根据点，是以为直径的半圆的三等分点，可得,点是的二等分点，则垂直平分，得到,，根据的长为，可求得，根据,可求得结果．
【详解】解，如图示，连接，
点，是以为直径的半圆的三等分点，
∴,
∴点是的二等分点，
∴垂直平分，
∴,
又∵的长为，
设半径，则有，
∴，
∴,，
∴,
故选：D．
【点睛】本题考查了不规则图形的面积计算，三角形的面积和扇形面积的计算，熟悉相关性质是解答本题的关键．
3．A
【分析】根据题意可得点Q是在点P出发后开始运动的，然后分三种情况：当，，时，画出图形，用含t的式子表示出相关线段，再根据三角形的面积公式可求得相应的函数关系式，即可求解．
【详解】解：∵在中，
∴，
∴点P运动的路程是cm，运动的时间是，
又∵点P到达点B时，点Q恰好到达点C，且点Q、P的运动速度相同，
∴点Q是在点P出发后开始运动的，
当时，点Q未动，点P在上运动，如图1所示：
，是正比例函数关系；
当时，点Q未动，点P在上运动，如图2所示：
此时，，
作于H，
则，
∴，
∴，是一次函数关系；
当时，点Q在上，点P在上，如图3所示：
作于H，同理可得，，
∴；是二次函数关系，且抛物线的开口向上；
综合各选项，符合题意的是选项A；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确分类、灵活应用数形结合思想、求出三种情况下的相应函数关系式是解题的关键．
4．B
【分析】连接AM、OB，则其交点O即为此圆的圆心，根据正三角形的性质可知，∠OBC=∠OAD=30°，再根据直角三角形的性质及勾股定理可求出OB的长；在Rt△AOD中，进而可依据特殊角的三角函数值即可求出OD的长，由垂径定理得出DE的长即可．
【详解】解：连接AM、OB，则其交点O即为此圆的圆心；
因为是正三角形，所以,
在Rt△OBF中，,
所以，OB==，
所以,
在Rt△AOD中，∠DAO=30°,
所以
【点睛】本题考查外接圆和锐角三角函数，此类试题属于难度较大的试题，考生解答此类试题时，一定要注意正三角形的基本性质怎样区分和应用．
5．A
【详解】解：∵，∴根据勾股定理逆定理，得△ABC是直角三角形，且∠C=900．
∴根据锐角三角函数定义，有：
，∴
，∴
，∴
，∴．
∴正确的是：csinA= a．
故选A．
6．A
【分析】分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．
【详解】A、∵是等边三角形，设O是外心，
∴，平分，
∴，
∴，
∴的外接圆的半径为，
B、∵是等腰三角形，
过点A作于D，延长交于E，
∵，
∴，，
∴是的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴外接圆半径为，
C、∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为，
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为5，
∴其外接圆半径最小的是A选项，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7．C
【详解】试题分析：根据AB=3m，∠ABC=45°可得：AC=，根据∠D=30°可得：AD=2AC=2×=3m．
考点：三角函数
8．A
【分析】作三角形的高AD，在直角△ABD中，利用三角函数即可求得AD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】作AD⊥BC于点D，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABD=180°-120°=60°，
在直角△ABD中，AD=AB sin60°=6×=3，
在△ABC的面积是：BC AD=×8×3=12，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式以及三角函数，正确求得三角形的高是关键．
9．C
【分析】要解直角三角形，必须求出直角三角形的三个内角和三边长.
【详解】A项中，缺少∠A或∠B的值，故不能解直角三角形；
B项中，知道角的关系，但是没有边的大小，故不能解直角三角形；
C项中，利用勾股定理求出c的值，然后利用锐角三角函数的定义求出∠A和∠B.
D项中，∠C=100°，不是直角三角形.
故选C.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握直角三角形的性质.
10．C
【分析】过点作，垂足为，根据已知可得，再根据矩形的性质可证一线三等角模型相似三角形，从而可得，然后设，，，，利用勾股定理可得，，再在中，利用锐角三角函数的定义表示出，从而根据，可得，最后根据矩形的面积公式进行计算可得矩形的面积，从而利用二次函数的最值进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
设，，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
矩形的面积
，
当时，矩形的面积最大值为：，
故选：C ．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，等腰直角三角形，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11．D
【分析】①过作交于，可求 ，，从而可求，，即可求解；②过作交的延长线于，由即可求解．
【详解】解：①如图，过作交于，

，
，，
，，
，
，
；
②如图，过作交的延长线于，
，，
；
综上所述：的长为7或17．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握解法是解题的关键．
12．D
【分析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】如图（一），

∵圆内接正六边形边长为2，
∴，，
∵，
∴可得是等边三角形，圆的半径为2，
如图（二），

连接，过O作于D，
则根据内接正三角形的性质，可得，
即，
故．
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．
【分析】分别作出点P关于OA和OB的对称点和，连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．
【详解】解：分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．

由可得直线OA的表达式为，由⊥OA，可设直线的解析式为 ，然后把点P代入得：，解得：，
直线的解析式为 ，
联立直线OA和的解析式可求的中点坐标，即：
，
解得：，
设点由中点坐标公式可得：，
，
由两点距离公式可得：
．
即周长的最小值．
故答案为．
【点睛】本题考查了轴对称变换中的最短路径问题及一次函数，解题关键在于找出两个对称点，利用方程求出点的坐标．
14．
【分析】可借助图形，由勾股定理先算出斜边AB的长，即可求出，，的值
【详解】解：根据勾股定理得：;
∴
故答案为(1) (2) (3)
【点睛】本题考查锐角三角函数的求法，比较简单，要熟练掌握
15．．
【分析】作圆的直径，连接，根据圆周角定理求出，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可．
【详解】解：作圆O的直径CD，连接BD，
∵圆周角∠A、∠D所对弧都是，
∴∠D=∠A=60°．
∵CD是直径，∴∠DBC=90°．
∴sin∠D=．
又∵BC=3cm，∴sin60°=，解得：CD=．
∴的半径是（cm）．
∴△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，锐角三角函数的定义的应用，关键是利用外接圆直径构造直角三角形求半径.
16．
【详解】∵在Rt△ABC中，BC=6，sinA=
∴AB=10
∴．
∵D是AB的中点，∴AD=AB=5．
∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴
即
解得：DE=．
17．4或或．
【分析】根据题意画出AB=AC，AB=BC和AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．
【详解】解：(1)如图，
当AB=AC时，
∵∠A=30°，
∴CD=AC=×8=4．
（2）如图，当AB=BC时，
则∠A=∠ACB=30°．
∴∠ACD=60°．∴∠BCD=30°
∴CD=cos∠BCD BC=cos30°×8=4．
（3）如图，当AC=BC时，
则AD=4．
∴CD=tan∠A AD=tan30° 4=．
综上所述，AB边上的高CD的长是4或或．
故答案为：4或或．
18．(1)∠A＝60°，∠B＝30°，c＝4；(2) b＝24，∠A＝∠B＝45°.
【详解】试题分析：
（1）由tanA=，可得∠A=30°，从而可得∠B=60°，再由c=2b可得c=；
（2）由勾股定理可得：b=24，由tanA=可得∠A=45°，从而可得∠B=45°.
试题解析：
(1)∵在Rt△ ABC中，tanA＝，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°，
∴c＝2b＝2×2＝4；
(2)∵在Rt△ABC中，根据勾股定理有b2＝c2－a2，
∴b＝24，
∴ tanA＝＝1，
∴∠A＝∠B＝45°.
19．．
【分析】
由得到，由为菱形对角线得到平分，求得．已知，所以在中只要求出即能求出．又因为为菱形对角线且已知菱形边长为，连接另一对角线，根据对角线互相垂直平分且即能求出．
【详解】解：连接，交于点，
∵四边形为菱形，
∴，，平分，
∵四边形为菱形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴
在菱形中，
有，，，
∴，，
∴，
在中，
有，
即．
【点睛】本题考查了菱形的性质，含的直角三角形的性质，充分利用作为菱形对角线的性质是解题关键．
20．（1）；（2）
【详解】（1）过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2．
在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．
∴OA==4．
又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．
∵AC⊥BD，∴．
∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．
∴S阴影=．
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，
∴．
∴．
21．
【分析】过点A作，构造两个直角三角形，再利用三角函数解直角三角形即可求得BC的长度．
【详解】解：过点A作，垂足为
在中，，
，
在中，
长为
【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，掌握利用三角函数求线段长度的方法是解决本题的关键．
22．（1），，；（2），，
【分析】（1）根据∠A+∠B=90°，sinA=，求出∠B，a，b即可；
（2）根据∠A+∠B=90°，cosB=，tanB=，求出∠A，c，b即可；
【详解】解：（1）∠B=90°-∠A=90°-45°=45°，
∴a=b=sinA c=；
即：∠B=45°，a=b=；
（2）∠A=90°-∠B=90°-30°=60°，
∵，
∴，
∵，
∴，
即
【点睛】考查直角三角形的边角关系，掌握锐角三角函数、勾股定理是正确计算的前提．
23． m
【分析】过点作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，得到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，解直角三角形即可得到结论．
【详解】过A点作于点，过作于点，
则四边形是矩形，有，
坡角，
，
，
，
答：的长．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．
24．(1)见解析
(2)腰长和底边长的比为或
【分析】本题考查的是新定义的含义，解直角三角形的相关计算，勾股定理的应用，理解新定义的含义是解本题的关键；
（1）如图，取的中点D，连接．由题意设设，则．结合勾股定理证明，从而可得结论；
（2）分情况讨论：①如图，取的中点G，连接，则．去，从而可得答案；②如图，取的中点M，连接．过点D作于点H，则．设，则，．求解．即可得到答案；
【详解】（1）证明：如图，取的中点D，连接．

∵，，
∴．
∴设，则．
∵D是的中点，
∴，
∴．
∴，
∴是“好玩三角形”．
（2）分情况讨论：
①如图，取的中点G，连接，则．

又∵，
∴，．
∴在中，由勾股定理，得
，
∴＝＝，即腰长和底边长的比为．
②如图，取的中点M，连接．

由题意，知．
过点D作于点H，则．
设，则，．
在中，根据勾股定理，得．
在中，根据勾股定理，得．
∴＝，即腰长与底边长的比为．
综上所述，腰长和底边长的比为或．
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