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第四章 三角形及四边形
4.1 平行线与三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 角与角平分线 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，平行线与三角形的部分，考查2道题，分值为8分左右，通常以选填题（2题）的形式一起考查。平行线的性质常单独考查，三角形则常结合其他知识点一起考查。本专题内容是初中几何的基础，也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待。
考点2 相交线与平行线 ☆☆
考点3 平行线性质与判定 ☆☆☆
考点4 三角形的相关概念 ☆☆
考点5 三角形中的重要线段 ☆☆☆
平行线方面需要注意平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。三角形的相关概念（如：内角和、三边关系、三线等）常结合三角形全等在选填题中考查，全等三角形的性质与判定常用四边形在解答题中考查。
2
3
■考点一 角与角的平分线 3
■考点二 相交线与平行线 4
■考点三 平行线的性质与判定 6
■考点四 三角形的相关概念 8
■考点五 三角形中的重要线段 10
13
17
■考点一 角与角的平分线
1.角：有公共端点的两条射线组成的图形。
2.角平分线定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线。
性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC = ，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC。
3.度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°。
4.余角和补角及其性质
1） 余角：∠1＋∠2＝90° ∠1与∠2互为 ；2）补角：∠1＋∠2＝180° ∠1与∠2互为 。
3）性质：同角（或等角）的余角 ；同角（或等角）的补角 。
■考点二 相交线与平行线
1.两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系： 。
2.垂直定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直。
3.垂直的性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线 ；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段 。
4.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这 。
5.三线八角：直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．其中∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是 ；∠2和∠8，∠3和∠5是 ；∠5和∠2，∠3和∠8是 。
6．对顶角：1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。2）性质：对顶角 。
■考点三 平行线的性质与判定
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 。
3.平行线的判定
（1） ，两直线平行；（2），两直线平行；（3），两直线平行．
（4）平行于同一直线的两直线互相平行；（5） 于同一直线的两直线互相平行（同一平面内）。
4.平行线的性质
（1）两直线平行， ；（2）两直线平行，；（3）两直线平行， 。
5.平行线间的距离
1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这 。
2）性质：两平行线间的距离处处 ，夹在两平行线间的平行线段 。
6.除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：
做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
■考点四 三角形的相关概念
1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。
2）三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和 第三边． 推论：三角形的两边之差 第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。
3）三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和 ．
推论：①直角三角形的两个锐角 ；②三角形的一个外角等于和它 的两个内角的 ；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
■考点五 三角形中的重要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做 。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 。
■考点一 角与角的平分线
◇典例1：（2024·浙江杭州·一模）已知，与互余的角的度数是( )
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·浙江杭州·模拟预测）下列说法：①同位角相等；②同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③与同一条直线垂直的两条直线也互相垂直；④若两个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；⑤一个角的补角一定大于这个角，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·浙江·一模）一副三角尺按如图方式摆放，则图中与不一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2023·河北·统考中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向
◆变式训练
1.（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．
■考点二 相交线与平行线
◇典例3：（2024·浙江杭州·二模）利用尺规作图，过直线外一点P作已知直线的平行线．下列作法错误的是（ ）
A．B．C．D．
◆变式训练
1．（2024·河北石家庄·考模拟预测）如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
◇典例4：（2023·河南·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2024·吉林长春·模拟预测）长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小致同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小致这样走的数学依据 ．
2.（2024·浙江杭州·校联考三模）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且，其中，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
■考点三 平行线的性质与判定
◇典例5：（2024·浙江金华·模拟预测）一艘轮船从港出发，沿着北偏东的方向航行，行驶至处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西方向航行，到达后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过角度的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·模拟预测）一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江绍兴·二模）将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，，，若两条斜边，则（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2024·浙江·模拟预测）如图，将一张长方形纸条折叠，如果比大，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．如果，那么 ， ， ．
◇典例7：（2023·浙江温州·二模）如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连接，使．(1)求证：(2)当，时，求的度数．
◆变式训练
1．（2024·江苏扬州·校考二模）完成下面的证明：已知：如图，，，．求证：．
证明：（已知），∴（ ），
∴在中，（ ），
∵（已知），∴，
∵，∴ = （ ），
∴（ ）．
2．（2024·陕西西安·统考一模）如图，相交于点O，，延长到F，延长到E，，连接．求证．
■考点四 三角形的相关概念
◇典例8：（2024·浙江·模拟预测）下列几何图形最具稳定性的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．正六边形
◆变式训练
1．（2023·吉林·统考中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
◇典例9：（2024·浙江嘉兴·二模）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当是等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
◆变式训练
1．（2024·河南郑州·二模）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·模拟预测）在学完八上三角形一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高之比可以为：：，：：，：：，：：”老师说有一个三角形是不存在的，你认为不存在的三角形是（ ）
A．：： B．：： C．：： D．：：
◇典例10：（2023·四川遂宁·统考中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是 三角形．
◆变式训练
1.（2022·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是( )
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
◇典例11：（2024·浙江杭州·二模）如图，已知D，E是边，上两点，沿线段折叠，使点A落在线段的点F处，若，，则 ．
◆变式训练
1.（2024·河北秦皇岛·统考三模）定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角． 求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
2．（2024·山西太原·统考二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．
下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；方法二：延长BC交AD于点E；方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求的度数．
■考点五 三角形中的重要线段
◇典例12：（2023·浙江金华·三模）在中，与边上的中线长分别为，，则的面积不可能为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
2．（2024·浙江·二模）如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）．
(1)在图1中在边上找到点D，使把的面积平分；
(2)在图2中画格点，使．
◇典例13：（23-24八年级上·广西贵港·期末）在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（的对应点是），分析他们折纸情况说法正确的是（ ）
A．小睿折出的是中的平分线 B．小志折出的是边上的中线
C．小芳折出的是中边上的高 D．上述说法都错误
◆变式训练
1．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知，根据尺规作图痕迹，能得出的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
2.（2024·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）
A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
3．（24-25八年级上·河南安阳·期末）分小华在研究三角形的中线时发现：三角形任意一边上的中线把三角形分割成两个面积相等的小三角形，如图1，是的中线，面积符号记为，则．
定义：点是内部的一点，若经过点和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点P是关于这个顶点的均分点，例如图2中，点P是关于顶点A的均分点：
(1)概念理解：下列图形中，点D一定是关于顶点B的均分点的是：______（序号）
(2)概念应用：如图3，在中，，且，点P是关于顶点A的均分点，直线与交于点D，若点P是线段的三等分点，则的面积为______；
(3)拓展应用：如图4，在中，，，，点P是关于顶点A的均分点，直线与交于点D，且点P是关于顶点B的均分点．
结合条件画出图形；求的度数．
1.（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
2．（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
9．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
11．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度．
12．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．
13．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ．
14．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °．
15．（2024·四川乐山·中考真题）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若，那么 ．
16．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ．
17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：．
(1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，将线段绕着点C顺时针旋转，点A的对应点D正好在边上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·模拟预测）高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．平行线之间的距离最短 D．平面内经过一点有无数条直线
3．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024·浙江杭州·二模）已知直线，将含有的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·一模）如图，，，平分交于点E，则图中与相等的角的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，直线，等腰直角三角形和等边在之间，点A，D分别在上，点B，C，E，F在同一直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，过直线外的点P作直线的平行线，下列作法错误的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·浙江丽水·一模）如图是一款教室护眼灯，用两根电线，吊在天花板上，已知，为保证护眼灯与天花板平行，添加下列条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·浙江宁波·一模）把含的直角三角尺和一把直尺摆放成如图所示的图形，能使与互余的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024·浙江·模拟预测）小江在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”你可能不会求解，但你可以根据所学知识，帮助小江推断下面答案可能的一项是（ ）
A． B．2 C． D．4
11．（2024·浙江台州·一模）如图，等边三角形中，内部一点是三角形的中心，边上的点是三等分点．现在连接其中的一些点，构造出右边的3个图形中阴影部分面积占整个等边三角形面积的的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
12.（2024·河北保定·统考模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
13．（2024·山西晋中·校联考模拟预测）如图，将一副三角尺如图放置，、交于点，(，)则下列结论不正确的是( )
A． B． C．若，则 D．若，则
14．（2024·河北衡水·统考二模）在作业纸上，，点C在，之间，要得知两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行
15．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，则 ．
16．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．
（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ．
17.（2024·江苏南京·校考模拟预测）如图中，点是边的中点，是边上一点，且，连接、交于点，若的面积是，则的面积为 ．
18.（2023·河北衡水·二模）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．（1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”）；（2）若，则比的度数大 ．
19．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．
20．（2024·北京平谷·统考二模）下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，，点是延长线上一点． 求证：．
方法一：利用三角形的内角和定理的方法 证明： 二：构造平行线进行证明行证明 证明：
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第四章 三角形及四边形
4.1 平行线与三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 角与角平分线 ☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，平行线与三角形的部分，考查2道题，分值为8分左右，通常以选填题（2题）的形式一起考查。平行线的性质常单独考查，三角形则常结合其他知识点一起考查。本专题内容是初中几何的基础，也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待。
考点2 相交线与平行线 ☆☆
考点3 平行线性质与判定 ☆☆☆
考点4 三角形的相关概念 ☆☆
考点5 三角形中的重要线段 ☆☆☆
平行线方面需要注意平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。三角形的相关概念（如：内角和、三边关系、三线等）常结合三角形全等在选填题中考查，全等三角形的性质与判定常用四边形在解答题中考查。
2
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■考点一 角与角的平分线 3
■考点二 相交线与平行线 5
■考点三 平行线的性质与判定 7
■考点四 三角形的相关概念 11
■考点五 三角形中的重要线段 16
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■考点一 角与角的平分线
1.角：有公共端点的两条射线组成的图形。
2.角平分线定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线。
性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB ，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC。
3.度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°。
4.余角和补角及其性质
1） 余角：∠1＋∠2＝90° ∠1与∠2互为余角 ；2）补角：∠1＋∠2＝180° ∠1与∠2互为补角 。
3）性质：同角（或等角）的余角相等 ；同角（或等角）的补角相等 。
■考点二 相交线与平行线
1.两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交 。
2.垂直定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直。
3.垂直的性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 。
4.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离 。
5.三线八角：直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．其中∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角 ；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角 ；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角 。
6．对顶角：1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。2）性质：对顶角相等 。
■考点三 平行线的性质与判定
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 。
3.平行线的判定
（1）同位角相等 ，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行．
（4）平行于同一直线的两直线互相平行；（5）垂直 于同一直线的两直线互相平行（同一平面内）。
4.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等 ；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补 。
5.平行线间的距离
1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离 。
2）性质：两平行线间的距离处处相等 ，夹在两平行线间的平行线段相等 。
6.除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：
做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
■考点四 三角形的相关概念
1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。
2）三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于 第三边． 推论：三角形的两边之差小于 第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。
3）三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180° ．
推论：①直角三角形的两个锐角互余 ；②三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和 ；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
■考点五 三角形中的重要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线 。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 。
■考点一 角与角的平分线
◇典例1：（2024·浙江杭州·一模）已知，与互余的角的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴互余的角的度数是，
故选：D．
◆变式训练
1．（2023·浙江杭州·模拟预测）下列说法：①同位角相等；②同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③与同一条直线垂直的两条直线也互相垂直；④若两个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；⑤一个角的补角一定大于这个角，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：①同位角不一定相等，故说法①错误；
②同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故说法②正确；
③同一平面内，与同一条直线垂直的两条直线互相平行，故说法③错误；
④若两个角的两边互相平行，则这两个角一定相等或互补，故说法④错误；
⑤一个角的补角不一定大于这个角，故说法⑤错误；故选：A．
2．（2024·浙江·一模）一副三角尺按如图方式摆放，则图中与不一定相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 A、由图形可得，则，故A不符合题意；
B、由对顶角相等得：，故B不符合题意； C、由图形可得，故C符合题意；
D、根据同角的余角相等，得：，故D不符合题意， 故选：C．
◇典例2：（2023·河北·统考中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向
【答案】D
【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向．故选D．
◆变式训练
1.（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．
【答案】55
【详解】∵由作图可得，是的角平分线∴．故答案为：55．
■考点二 相交线与平行线
◇典例3：（2024·浙江杭州·二模）利用尺规作图，过直线外一点P作已知直线的平行线．下列作法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：对于A，根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，此时同位角相等，两直线平行，符合题意；对于B，此时作的角平分线及作等腰，故，即内错角相等，两直线平行，符合题意；对于C，以P为圆心为半径，交于点C、交延长线于点D，此时，再分别以C和D为圆心作出角平分线，
故，易得，即同位角相等，两直线平行，符合题意；
对于D，以C为圆心，为半径作弧交于点D，即有，再分别以D和P为圆心作出线段的垂直平分线交弧于点G，易得，但无法证明此时，即无法得证菱形，故无法证明平行，不符合题意 故选：D．
◆变式训练
1．（2024·河北石家庄·考模拟预测）如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【详解】解：经过刻度尺平移测量，③符合题意，故选：C．
◇典例4：（2023·河南·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，故选：B
◆变式训练
1.（2024·吉林长春·模拟预测）长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小致同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小致这样走的数学依据 ．
【答案】垂线段最短
【详解】解：由题意可得：小致这样走的数学依据 垂线段最短，故答案为：垂线段最短．
2.（2024·浙江杭州·校联考三模）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且，其中，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】A
【详解】解：根据垂线段最短，，∵，∴A符合要求．故选：A．
■考点三 平行线的性质与判定
◇典例5：（2024·浙江金华·模拟预测）一艘轮船从港出发，沿着北偏东的方向航行，行驶至处时发现前方有暗礁，所以转向北偏西方向航行，到达后需要把航向恢复到出发时的航向，此时轮船航行的航向向顺时针方向转过角度的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，由题意可知，，，，，
，．故选：C．
◆变式训练
1．（2024·浙江台州·模拟预测）一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 在和中，，∴，∵，∴，
在中，，故选：B．
2．（2024·浙江绍兴·二模）将一副直角三角板按图中所示的位置摆放，，，若两条斜边，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴，∵，，∴，
∴，故选：A．
◇典例6：（2024·浙江·模拟预测）如图，将一张长方形纸条折叠，如果比大，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，∵，∴，
∵长方形纸条折叠，∴，∴，
∴，∴，∵比大，∴，
∴，∴，∴，故选：D．
◆变式训练
1．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．如果，那么 ， ， ．
【答案】 /55度
【详解】解：∵四边形是长方形，∴，
∵，∴，由折叠得，
；又∵，
∴，，
∴．故答案为：，，．
◇典例7：（2023·浙江温州·二模）如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连接，使．(1)求证：(2)当，时，求的度数．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：∵平分，∴，又∵，∴，∴．
（2）∵，∴
在中，， ∴，
又∵平分，∴∴．
◆变式训练
1．（2024·江苏扬州·校考二模）完成下面的证明：已知：如图，，，．求证：．
证明：（已知），∴（ ），
∴在中，（ ），
∵（已知），∴，
∵，∴ = （ ），
∴（ ）．
【答案】垂直定义；直角三角形的两个锐角互余(或三角形的内角和为；；； 等量代换；内错角相等，两直线平行
【详解】证明：（已知），∴（垂直定义），
∴在中，（直角三角形的两个锐角互余），
∵（已知），∴，
∵，∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直定义；直角三角形的两个锐角互余(或三角形的内角和为；；； 等量代换；内错角相等，两直线平行．
2．（2024·陕西西安·统考一模）如图，相交于点O，，延长到F，延长到E，，连接．求证．
【答案】见解析
【详解】证明：，，即，
，， ．．
■考点四 三角形的相关概念
◇典例8：（2024·浙江·模拟预测）下列几何图形最具稳定性的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．正六边形
【答案】A
【详解】解：由三角形具有稳定性可知，三角形具有稳定性，故选：．
◆变式训练
1．（2023·吉林·统考中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．
◇典例9：（2024·浙江嘉兴·二模）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当是等腰三角形时，对角线的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】∵为等腰三角形，∴或，
当时，满足三角形三边关系，符合题意；
当时，在中，，不构成三角形，不符合题意；∴，故选：C．
◆变式训练
1．（2024·河南郑州·二模）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由点在数轴上的位置得：，
∵线段能围成三角形，∴由三角形三边关系定理得：，
不等式①恒成立，由不等式②得：，由不等式③得：，
∴不等式组的解集是，故选：C．
2．（2023·浙江·模拟预测）在学完八上三角形一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高之比可以为：：，：：，：：，：：”老师说有一个三角形是不存在的，你认为不存在的三角形是（ ）
A．：： B．：： C．：： D．：：
【答案】B
【详解】解：假设存在这样的三角形，对于A选项，根据等积法，得到此三角形三边比为，
存在这样的三角形，故不符合题意；对于B选项，同理可得，三边比为，这与三角形三边关系相矛盾，所以这样的三角形不存在，故符合题意；
对于C选项，同理可得，三边比为，存在这样的三角形，故不符合题意；
对于D选项，同理可得，三边比为，存在这样的三角形，故不符合题意，故选：B
◇典例10：（2023·四川遂宁·统考中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是 三角形．
【答案】直角
【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为，，．
则，解得．所以，，即，．
故这个三角形是直角三角形．故答案是：直角．
◆变式训练
1.（2022·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是( )
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
【答案】A
【详解】解：A、设∠1、∠2为锐角，因为：∠1+∠2+∠3=180°，
所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，故A选项不正确，符合题意；B、如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．
∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD与Rt△CBE中，，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．，故B选项正确，不符合题意；
C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，故C选项正确，不符合题意；
D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D选项正确，不符合题意；故选：A．
◇典例11：（2024·浙江杭州·二模）如图，已知D，E是边，上两点，沿线段折叠，使点A落在线段的点F处，若，，则 ．
【答案】40°/40度
【详解】解：∵,∴,
∵是由折叠得到的,∴,∴,
∵,∴,
又∵,∴.故答案为: ．
◆变式训练
1.（2024·河北秦皇岛·统考三模）定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角． 求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【答案】C
【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得，
∴（两直线平行，内错角相等），∴，∴．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，故选：C．
2．（2024·山西太原·统考二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．
下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；方法二：延长BC交AD于点E；方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求的度数．
【答案】，方法见解析
【详解】解：选择方法一：如答图1，作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E．
∵是的外角，∴． 同理可得．
∴． ∴．
∵，，，∴
选择方法二：如答图2，延长BC交AD于点E．
∵是的外角，∴．
同理可得． ∴．
∵，，，∴
选择方法三：如答图3，连接BD．在中，．
∴∴．
在中，． ∴．
∵，，， ∴
■考点五 三角形中的重要线段
◇典例12：（2023·浙江金华·三模）在中，与边上的中线长分别为，，则的面积不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，根据题意，为边上的中线，过A作于M，
由垂线段最短知，，∴，
∴，∴的面积不可能为．故选：D．
◆变式训练
2．（2024·浙江·二模）如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）．
(1)在图1中在边上找到点D，使把的面积平分；
(2)在图2中画格点，使．
【答案】(1)图见解析(2)图见解析
【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求；
（2）解：如图2中，点，，即为所求．
◇典例13：（23-24八年级上·广西贵港·期末）在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（的对应点是），分析他们折纸情况说法正确的是（ ）
A．小睿折出的是中的平分线 B．小志折出的是边上的中线
C．小芳折出的是中边上的高 D．上述说法都错误
【答案】A
【详解】A、根据折叠后对应角相等可知：，是的平分线，选项说法正确，符合题意；B、根据折叠后对应边相等可知：且，并非边中线，选项说法错误，不符合题意；C、根据折叠后对应角相等可知：且，，，但并不是的高，因此选项说法错误，不符合题意；D、由于选项A说法正确，因此该选项说法错误，不符合题意．故选：A．
◆变式训练
1．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知，根据尺规作图痕迹，能得出的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【答案】D
【详解】解：如图①中，由作图可知平分，∵，∴；
如图②中，由作图可知，
在和中，∴，∴，
∵，∴，在和中，，∴，∴，由于，
则，∴；
如图③中，由作图可知是等腰直角三角形，可以推出．
综上，①②③能得出；故选：D．
2.（2024·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）
A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
【答案】B
【详解】解：由图可得，图①中，线段是的高线，
图②中，线段是的角平分线，图③中，线段是的中线，故选：B．
3．（24-25八年级上·河南安阳·期末）分小华在研究三角形的中线时发现：三角形任意一边上的中线把三角形分割成两个面积相等的小三角形，如图1，是的中线，面积符号记为，则．
定义：点是内部的一点，若经过点和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点P是关于这个顶点的均分点，例如图2中，点P是关于顶点A的均分点：
(1)概念理解：下列图形中，点D一定是关于顶点B的均分点的是：______（序号）
(2)概念应用：如图3，在中，，且，点P是关于顶点A的均分点，直线与交于点D，若点P是线段的三等分点，则的面积为______；
(3)拓展应用：如图4，在中，，，，点P是关于顶点A的均分点，直线与交于点D，且点P是关于顶点B的均分点．
结合条件画出图形；求的度数．
【答案】(1)； (2)或； (3)见解析；．
【详解】（1）解：根据题意可知，经过点P和中的一个顶点的直线把平分成两个面积相等的图形，则称点P是关于这个顶点的均分点，也就是为中点；
，只能说明是的角平分线，不能得出为中点，所以点不一定是关于顶点的均分点；
，说明是中点，是关于顶点的均分点，不是关于关于顶点的均分点；
，只能说明是的角平分线，不能得出是中点，所以点不一定是关于顶点的均分点；
，说明是中点，当与重合时，是的中线，所以点一定是关于顶点的均分点；故答案为：；
（2）解：，且，，
，即，，
点P是线段的三等分点，分两种情况：或，，
若，则，那么；
若，则，那么；故答案为：或；
（3）解：如图所示，；点P是关于顶点A的均分点，
是的中线，为中点，，
又，是等边三角形，，点是关于顶点的均分点，
是的中线，也是的角平分线，．
1.（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【答案】D
【详解】解：如图，∵由折叠的性质可知，∴AD是的角平分线，故选：D．
2．（2024·北京·中考真题）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，∵，，
∴，故选：B．
3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，即，
∵是等边三角形，∴，又∵，
∴，∴，故选：B．
4．（2024·广东·中考真题）如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意知，，∴，故选：C．
5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解∶∵，∴，∵，∴，
又，∴图中与互补的角有，，，共3个．故选∶C．
6．（2024·广东深圳·中考真题）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图：∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，
∴，，∴，则，
∵光线是平行的，即，∴，故选：B．
7．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，
，，，．故选B．
8．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
【答案】B
【详解】解：由作图可得：，∴线段一定是的高线；故选B
9．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：由图得，，，为直角三角形，共有4个直角三角形．
故选：C．
10．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ．
【答案】/100度
【详解】解：∵，∴，
∵是边上的高，∴，∴，
∵是的平分线，∴，
∴．故答案为：．
11．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度．
【答案】
【详解】解：如图：∵，，
∴设，，则，，
由三角形的外角的性质得：，，∴，
如图：同理可求：，∴，……，∴，
即，故答案为：．
12．（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短 故答案为：两点之间，线段最短．
13．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，，，．则 ．
【答案】66
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴，故答案为：．
14．（2024·广西·中考真题）已知与为对顶角，，则 °．
【答案】35
【详解】解：∵与为对顶角，，∴．故答案为：35．
15．（2024·四川乐山·中考真题）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若，那么 ．
【答案】/度
【详解】解：如图，，，而，
，故答案为：．
16．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ．
【答案】30
【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴；故答案为：30．
17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：．
(1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：如图所示
作法：①作的垂直平分线交 于点
②作的垂直平分线交于点
③连接、相交于点
④标出点 ，点 即为所求
（2）解：∵是的重心，∴∴
∵的面积等于，∴
又∵是的中点，∴ 故答案为：．
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，将线段绕着点C顺时针旋转，点A的对应点D正好在边上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得，，，∴，
∵，∴，
∵，∴，故选：A．
2．（2024·浙江·模拟预测）高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．平行线之间的距离最短 D．平面内经过一点有无数条直线
【答案】A
【详解】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，
这是因为：两点之间，线段最短． 故选：A．
3．（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：由题意可知．∵，∴，，
∴，．
当大货车第一次到达D地时，用时，∴此时小车行驶路程为．
∵，∴此过程两车不相遇；
当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，
∵，∴大货车到达C地用时．
假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，则，
解得：，即说明大货车到达C地之前没相遇；
当大货车继续由C地返回B地时，∵，∴大货车到达B地用时．
此时大货车共行驶．∵小车到达C地用时，
∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠．
∵小车中途在C地停靠3分钟，即，
∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠．
当大货车又从B地出发前往D地时，用时，
∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，∴此时小车剩余停靠时间，
∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了．
假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为，则，
解得：，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，∴此过程两车没相遇．
当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，∴两车此过程必相遇．
综上可知，两车相遇的次数为2次．故选A．
4．（2024·浙江杭州·二模）已知直线，将含有的直角三角板在这两条平行线中按如图所示的方式摆放，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，∵是一块含有的直角三角板，∴，
∵，∴，
∵，∴．故选：D．
5．（2024·浙江·一模）如图，，，平分交于点E，则图中与相等的角的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：∵平分∴∵∴
∵，∴∵∴故选D．
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，直线，等腰直角三角形和等边在之间，点A，D分别在上，点B，C，E，F在同一直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：延长交于H，如下图所示：
∵，，∴，，
∵是等腰直角三角形，且，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，
在四边形中，，即，
∴，∴．故选：B．
7．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，过直线外的点P作直线的平行线，下列作法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】A、根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行判定，不符合题意；
C、是角的平分线作图，无法判定，符合题意；
D、根据基本作图，以的点Q为圆心，以为半径画弧，交于点B，分别以P，B为圆心，以为半径画弧，二弧交于点Q，C，根据作图，得到
故都等边三角形，得到，根据内错角相等，两直线平行判定，不符合题意；故选：C．
，
8．（2023·浙江丽水·一模）如图是一款教室护眼灯，用两根电线，吊在天花板上，已知，为保证护眼灯与天花板平行，添加下列条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、由，不能判定，故该选项不符合题意；
B、由，不能判定，故该选项不符合题意；
C、由，能判定，故该选项符合题意；
D、由，不能判定，故该选项不符合题意；故选：C．
9．（2024·浙江宁波·一模）把含的直角三角尺和一把直尺摆放成如图所示的图形，能使与互余的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：如图：，，，，；
如图：延长交于点，，，
是的一个外角，，；
如图：，，，，；
如图：过点作，，，，，
，，；
所以，能使与互余的图形有4个，故选：D
10．（2024·浙江·模拟预测）小江在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”你可能不会求解，但你可以根据所学知识，帮助小江推断下面答案可能的一项是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】解：如图设边上的中线为，∵，∴，
由题意得，，
∴，，∴，
如图，延长至，使，连接，则，
，
是边上的中线，，在和中，，
，，，
，即，．∴．
观察四个选项，选项C符合题意，故选：C．
11．（2024·浙江台州·一模）如图，等边三角形中，内部一点是三角形的中心，边上的点是三等分点．现在连接其中的一些点，构造出右边的3个图形中阴影部分面积占整个等边三角形面积的的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【详解】解：连接等边边上的三等分点，如图：
设，由题意可知，9个小三角形的面积相等，则，故①符合题意；
∵，则，∴，故②符合题意；
∵，则，同理，，
∴，故③符合题意；故选：D．
12.（2024·河北保定·统考模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【详解】连接，则．如图1，当点在线段上时，；
如图2，当点在的延长线上时，，∴的取值范围为，故选：D．
13．（2024·山西晋中·校联考模拟预测）如图，将一副三角尺如图放置，、交于点，(，)则下列结论不正确的是( )
A． B． C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】解： ＋＋，，故A正确；
，，故B正确；
，，，，和不平行，故C错误；
，，，，，故D正确．故选：C．
14．（2024·河北衡水·统考二模）在作业纸上，，点C在，之间，要得知两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行
【答案】C
【详解】解：如图，延长交于，过作，而，∴，
∴，，∴，∴I可行，
如图，延长交于，∵，∴，∴II可行，故选C
15．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，则 ．
【答案】/41度
【详解】∵旋转得到，∴，，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴．故答案为：．
16．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．
（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ．
【答案】
【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度，
∴当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为；故答案为：；
（2）过点作于点，如图所示：
则，∴，根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直，
∴，∴，∴，∴，
根据平行投影可知，当12点时，点在水平方向的投影为点E，经过n小时后，的投影在上，因此，∵， ∴．故答案为：．
17.（2024·江苏南京·校考模拟预测）如图中，点是边的中点，是边上一点，且，连接、交于点，若的面积是，则的面积为 ．
【答案】30
【分析】连接，由点是边的中点，得，由的面积是，得，令，由及三角形的面积公式得，，从而得，从而即可计算得解。
【详解】解：连接，∵点是边的中点，∴，∴，
∵的面积是，∴，令，
∵，∴，∴，
，
∴，∴，∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的面积，三角形中线等知识点，掌握等积变换是解答此题的关键．
18.（2023·河北衡水·二模）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．
（1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”）
（2）若，则比的度数大 ．
【答案】 高
【详解】（1）由折叠的性质可知，，，
∴折痕是的高．故答案为：高；
（2）∵由折叠的性质可知，，
∴．故答案为：15．
19．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）；；（2），见解析
【详解】（1），，．
在中，，，，
，．．
（2），的关系：．理由如下：设，．
在中，，，．，
在中，，．
．．．
20．（2024·北京平谷·统考二模）下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，，点是延长线上一点． 求证：．
方法一：利用三角形的内角和定理的方法 证明： 二：构造平行线进行证明行证明 证明：
【答案】见解析
【详解】证明：方法一：中，，
∵，∴；
方法二：过点C作，如图，
∵∴，， ∴．
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