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第四章 三角形及四边形
4.2 三角形全等与特殊三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 全等三角形的判定与性质 ☆☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，全等三角形及特殊的三角形部分，考查2-3道题，分值为12分左右，通常以选填题（1-2题）、证明题（1题）的形式考查。全等三角形主要重在掌握基本知识的基础上灵活运用，等腰三角形与直角三角形的性质和判定常在解答题中会出现。
考点2 全等三角形的实际应用 ☆☆
考点3 等腰三角形以及等边三角形 ☆☆☆
考点4 勾股定理及其应用 ☆☆☆
考点5 直角三角形的性质及计算 ☆☆
全等三角形的性质与判定常用四边形在解答题中考查；特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形性质与判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性质、尺规作图等知识点结合考查，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。
2
3
■考点一 全等三角形的判定与性质 3
■考点二 全等三角形的实际应用 5
■考点三 等腰三角形以及等边三角形 7
■考点四 勾股定理及其应用 11
■考点五 直角三角形的性质及计算 13
15
21
■考点一 全等三角形的判定与性质
1）三角形全等的判定定理：
（1）边边边定理：有 的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（2）边角边定理：有 的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（3）角边角定理：有 的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（4）角角边定理：有 的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有 的两个 全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
2）全等三角形的性质：
（1）全等三角形的 相等， 相等；
（2）全等三角形的 相等， 相等；
（3）全等三角形对应的 线、 线、 线都相等。
■考点二 全等三角形的实际应用
1）通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形。
2）若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目。
3）利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
■考点三 等腰三角形以及等边三角形
1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形角等腰三角形。
2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“ ”）。
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“ ”）。
3）等腰三角形的判定：若某三角形有两个角相等，那这两个角所对的边也相等（简称“ ”）。
4）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。
5）等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边 ；（2）三个内角都 ，且每个内角都是 ；（3）等边三角形（边长为a）的面积： 。
6）等边三角形的判定：（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的 三角形是等边三角形。
7）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的 ．
如图，已知平分，，，则．
8）角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的 上．
9）垂直平分线的定理：经过线段的 并且 于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。
10）垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段 相等。
11）垂直平分线的判定：到一条线段 的点在这条线段的垂直平分线上。
■考点四 勾股定理及其应用
1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
2）勾股定理的逆定理：若三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
■考点五 直角三角形的性质及计算
1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2）直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角 ；（2）直角三角形斜边上的中线等于 ；（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 。
3）直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）满足勾股定理逆定理的三角是直角三角形。
4）直角三角形的面积公式： (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)。
■考点一 全等三角形的判定与性质
◇典例1：（2024·浙江宁波·一模）如图，在三角形中，过点，作，，，交于点，若，，，则线段的长度为 )
A．2 B． C．3 D．
◆变式训练
1．（2024·浙江温州·三模）如图，已知四边形中，，，平分，点E在边上且，连接，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2023·浙江温州·一模）在中，，D是边上一点，于点F，．(1)求证：．(2)当，求的长．
◆变式训练
1．（2024·浙江舟山·一模）如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结．(1)求的度数．(2)试说明：．
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，过点作，在上截取，上截取，连接，．(1)求证：．(2)若，，，求的长．
■考点二 全等三角形的实际应用
◇典例3：（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．
请写出平分的依据：____________；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
◆变式训练
1．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏盐城·校考一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．（2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）
■考点三 等腰三角形以及等边三角形
◇典例4：（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，在上取点使得，连结，过点作，垂足为，延长交于点，连结．
(1)求证：为等腰三角形；(2)若，，，求的长．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，是等腰三角形，．设．
(1)如图1，点D在线段上，若，求的度数（用含的代数式表示）．
(2)如图2，已知．若，过点B作于点H，求证：．
2．（2024·浙江绍兴·二模）如图，锐角中，，点在上，交于点E，连接，．(1)特例探索：如图，若，求的度数；
(2)类比迁移：如图，若，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)拓展提升：在图中，猜想与的数量关系，并给出证明．
◇典例5：（2024·浙江杭州·三模）如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，，交于点，连结，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江金华·二模）如图，中，已知．现以为一边向外侧作等边三角形，分别取的中点记为，连接．则的长为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，为等边三角形，点D为延长线上一点．若，，则的长为 ．
◇典例6：（2024·浙江温州·二模）如图，在中，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结．若，，，则的长为（ ）
A． B． C．9 D．10
◆变式训练
1．（2024·江苏南通·一模）如图，中，．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线CP，PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江杭州·一模）如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◇典例7：（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四边形中，，，对角线平分，则的值是 ．
◆变式训练
1．（2024·浙江·二模）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”．例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”．
利用上述知识解答下列问题．
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________．
(2)在四边形中，对角线平分．
①如图1，若，，求的最小值．
②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数．
③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积．
■考点四 勾股定理及其应用
◇典例8：（2023·湖北恩施·统考中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．
◆变式训练
1．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）
3.（2023·江苏·统考中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 （精确到个位，参考数据：）．
◇典例9：（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．
◆变式训练
1. （2023·广东东莞·校联考二模）如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东江门·校考一模）在学习完勾股定理后，小芳被“弦图”深深地吸引了，她也设计了一个类似“弦图”的图案（如图），主体是一个菱形，把菱形分割成四个两两全等的直角三角形和一个矩形，这四个直角三角形中有两个是等腰直角三角形，另两个三角形的两直角边分别是和，那么中间的矩形的面积是_____________．
■考点五 直角三角形的性质及计算
◇典例10：（2024·浙江·模拟预测）小明用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，是的中点，点，对应的刻度分别是1，8，则 ．
◆变式训练
1.（2023·广西·统考中考真题）如图，在中，，．
(1)在斜边上求作线段，使，连接；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；(2)若，求的长．
2.（2023·湖南郴州·统考中考真题）在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 ．
◇典例11：（2024·浙江绍兴·二模）如图，在四边形中，，，分别是对角线，的中点，连结，，．则下列判断不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图， 为等腰直角三角形，，，是上一点． 交直线于点，且，当，，点为的中点，连接，则的长为 （ ）
A． B． C． D．
1．（2024·湖北·中考真题）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
3．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
4．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（ ）
A．5 B． C． D．4
5．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
7．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
9．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
11.（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则________．
12．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是 ．
13．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．
14．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为 度．
15．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，则的度数为 ；
16．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ．
17．（2024·湖南·中考真题）一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 度．
18．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
19．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．
20．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．
求证：．
21．（2024·广西·中考真题）如图，在中，，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；(2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
22．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
23．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．（1）如图①，当时，探究如下：
由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
1．（2024·上海普陀·统考一模）如图，和都是直角三角形，，，、相交于点，如果，那么的值是( )
A． B． C． D．
2．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，过点作的平分线的垂线，垂足为，点为的中点，连接交于点．若，，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，是等边三角形的边上一点，作于点，若，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，是高线，是中位线，若的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，的中垂线与交于点D，与交于点E，连接，F为的中点，若，则的长为（ ）
A．5 B． C．4 D．3
6．（2024·浙江·一模）如图，将线段绕点B旋转至，点D恰好落在射线上，分别以点为圆心，大于线段的一半长为半径画弧，过两弧的交点作直线交射线于点E，连结，量得，则的度数是 ．
7．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ．
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知中，，与的角平分线分别交边于点，，且，则边的长为 ．
9．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，点D是边上一点，，且，与交于点G，过点E作交于点F，交于点H．(1)求证：；(2)若，求的值．
10．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结．(1)求的度数．(2)求证：．
11．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，射线平分，交于点E，点F在边的延长线上，，连接．(1)求证：．(2)若，求的度数．
12．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，于D．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连结，判断和的数量关系，并说明理由．
13．（2024·浙江温州·一模）如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．(1)求证：；(2)若，，求的长．
14．（2024·浙江舟山·三模）如图，在的正方形网格中，点A、点B均为格点，请只利用无刻度直尺完成以下作图．
(1)在图1中，过点A 作出线段的垂线段，点C为格点；
(2)在图2中，作出面积最小的等腰三角形，点D为格点；
(3)在图2的基础上，继续在图 2中作出△的重心E．
15．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．(1)依题意补全如图；(2)若，求；(3)若，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明．
16．（2024·浙江宁波·一模）（1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：;（2）如图2，在中，交边于点于点H．已知，求的面积；（3）如图3，在等边中，点D在边上，P为延长线上一点，E为边上一点，已知平分，求的长．
17．（2024·浙江·一模）我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”．
(1)如图1，已知，，
①用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹）
②过点C能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由；
(2)如图2，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为；(3)如图3，已知四边形中，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”．（保留作图痕迹）
18．（2024·北京海淀·校考模拟预测）如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，上，满足，与交于点F．
(1)求的度数；(2)以C为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，点N为的中点，连接．①依题意补全图形；②若，求k的值．
129．（2023·北京顺义·统考二模）已知：线段及射线．
求作：等腰，使得点C在射线上．
作法一：如图1，以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点C（不与点A重合），连接．
作法二：如图2．
①在上取一点D，以点A为圆心，长为半径作弧，交射线于点E，连接；
②以点B为圆心，长为半径作弧，交线段于点F；
③以点F为圆心，长为半径作弧，交前弧于点G；
④作射线交射线于点C．
作法三：如图3，
①分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q；
②作直线，交射线于点C，连接．根据以上三种作法，填空：
由作法一可知：______，
∴是等腰三角形．
由作法二可知：______，
∴（__________________）（填推理依据）．
∴是等腰三角形．
由作法三可知；是线段的______．
∴（__________________）（填推理依据）．
∴是等腰三角形．
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第四章 三角形及四边形
4.2 三角形全等与特殊三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 全等三角形的判定与性质 ☆☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，全等三角形及特殊的三角形部分，考查2-3道题，分值为12分左右，通常以选填题（1-2题）、证明题（1题）的形式考查。全等三角形主要重在掌握基本知识的基础上灵活运用，等腰三角形与直角三角形的性质和判定常在解答题中会出现。
考点2 全等三角形的实际应用 ☆☆
考点3 等腰三角形以及等边三角形 ☆☆☆
考点4 勾股定理及其应用 ☆☆☆
考点5 直角三角形的性质及计算 ☆☆
全等三角形的性质与判定常用四边形在解答题中考查；特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形性质与判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性质、尺规作图等知识点结合考查，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。
2
4
■考点一 全等三角形的判定与性质 4
■考点二 全等三角形的实际应用 7
■考点三 等腰三角形以及等边三角形 9
■考点四 勾股定理及其应用 18
■考点五 直角三角形的性质及计算 23
26
40
■考点一 全等三角形的判定与性质
1）三角形全等的判定定理：
（1）边边边定理：有三边对应相等 的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等 的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等 的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等 的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形 全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
2）全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边 相等，对应角 相等；
（2）全等三角形的周长 相等，面积 相等；
（3）全等三角形对应的中 线、高 线、角平分 线都相等。
■考点二 全等三角形的实际应用
1）通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形。
2）若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目。
3）利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
■考点三 等腰三角形以及等边三角形
1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形角等腰三角形。
2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角 ”）。
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一 ”）。
3）等腰三角形的判定：若某三角形有两个角相等，那这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边 ”）。
4）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。
5）等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等 ；（2）三个内角都相等 ，且每个内角都是60° ；（3）等边三角形（边长为a）的面积： 。
6）等边三角形的判定：（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形。
7）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ．
如图，已知平分，，，则．
8）角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线 上．
9）垂直平分线的定理：经过线段的中点 并且垂直 于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。
10）垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等。
11）垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等 的点在这条线段的垂直平分线上。
■考点四 勾股定理及其应用
1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
2）勾股定理的逆定理：若三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
■考点五 直角三角形的性质及计算
1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2）直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余 ；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ；（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 。
3）直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）满足勾股定理逆定理的三角是直角三角形。
4）直角三角形的面积公式： (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)。
■考点一 全等三角形的判定与性质
◇典例1：（2024·浙江宁波·一模）如图，在三角形中，过点，作，，，交于点，若，，，则线段的长度为 )
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【详解】解：，，，
，是等腰直角三角形，，
，，，，
在与中，，，
，，故选：C．
◆变式训练
1．（2024·浙江温州·三模）如图，已知四边形中，，，平分，点E在边上且，连接，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，
在和，，∴，∴，
设，则，
∵，∴，∴，
∵，∴，即，
∵，即，
，得：，∴．故选：B．
2.（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题中所给的作图步骤可知，是的角平分线，即．
当时，又，且，
所以，所以，故A选项不符合题意．
当时，，又，且，
所以，所以，故B选项不符合题意．
当时，因为，，，
所以，所以，
又，所以，即．
又，所以，
则方法同（2）可得出，故C选项不符合题意．故选：D．
◇典例2：（2023·浙江温州·一模）在中，，D是边上一点，于点F，．(1)求证：．(2)当，求的长．
【答案】(1)见解析(2)6
【详解】（1）证明：∵∴，∴∴
又∵ ∴
（2）解：∵，∴，∴，
在 中，
◆变式训练
1．（2024·浙江舟山·一模）如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结．(1)求的度数．(2)试说明：．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：．．，；
（2）证明：在中，，，．．
在和中，，，．
2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，过点作，在上截取，上截取，连接，．(1)求证：．(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）证明：，，，
在和中，，．
（2）解：，，，
，，，，
，．
■考点二 全等三角形的实际应用
◇典例3：（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．
请写出平分的依据：____________；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析；
【详解】解：（1）∵，，，
∴，∴，∴是的角平分线；故答案为：
（2）∵，，，∴，
∴，∴是的角平分线；
（3）如图，点即为所求作的点；
．
◆变式训练
1．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A. ．根据SSS一定符合要求；B. ．根据SAS一定符合要求；
C. ．不一定符合要求；D. ．根据ASA一定符合要求．故选：C．
2．（2024·江苏盐城·校考一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．（2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）
【答案】（1）理由见解析（2）图见解析
【详解】（1）证明：在和中，∴，∴；
（2）连接，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，连接，四边形即为所求，如图：
■考点三 等腰三角形以及等边三角形
◇典例4：（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，在上取点使得，连结，过点作，垂足为，延长交于点，连结．
(1)求证：为等腰三角形；(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，，，
垂直平分，∴为等腰三角形；
（2）解：，，，，
，，，，，
，，
，，，过作于，
∴，，，．
◆变式训练
1．（2024·浙江·模拟预测）如图，是等腰三角形，．设．
(1)如图1，点D在线段上，若，求的度数（用含的代数式表示）．
(2)如图2，已知．若，过点B作于点H，求证：．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：∵，∴．
设，，则解得：，即；
（2）解：如图，延长，交于点F，过点A作于点E．
∵，．∴．
又∵，∴
∵，∴，∴．
又∵，，∴，∴．
2．（2024·浙江绍兴·二模）如图，锐角中，，点在上，交于点E，连接，．
(1)特例探索：如图，若，求的度数；
(2)类比迁移：如图，若，求的度数（用含的代数式表示）；
(3)拓展提升：在图中，猜想与的数量关系，并给出证明．
【答案】(1)；(2)；(3)，理由见解析．
【详解】（1）∵，，∴是等边三角形,∴，
∵，∴，∵，∴；
（2）∵，，∴，
∵，∴，∵，∴；
（3），理由如下：如图，在上截，连接，
∵∴ 则，
由（）知，∴，∴，又∵，∴．
◇典例5：（2024·浙江杭州·三模）如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】四边形是正方形，
为等边三角形，
，，
同理 故选：B．
◆变式训练
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，，交于点，连结，．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：为等边三角形，，，
在和中，，，，即，
又∵，，，即，
，，，即，过点作于，如下图所示：
设，，，，，，
，，，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，，，故选：B．
2．（2024·浙江金华·二模）如图，中，已知．现以为一边向外侧作等边三角形，分别取的中点记为，连接．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点作，交延长线于点，
∵．∴，
∵是等边三角形，∴，，
∵分别取的中点记为，∴，，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴，，
∴，故选：．
变式3．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，为等边三角形，点D为延长线上一点．若，，则的长为 ．
【答案】2
【详解】解：如图，过点A作于点E，∵为等边三角形，∴，
∵，∴，，
∵，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，∵，∴，∴，
在中，，∴，∴，∴．故答案为：2
◇典例6：（2024·浙江温州·二模）如图，在中，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结．若，，，则的长为（ ）
A． B． C．9 D．10
【答案】B
【详解】解：由作图可得，垂直平分，∴，∴，
∵，，，∴，∴，
∴，故选：．
◆变式训练
1．（2024·江苏南通·一模）如图，中，．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线CP，PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由做图可知垂直平分线段，得，，
，，，，
是的中位线，，故选项B正确，不符合题意；
，故选项A正确，不符合题意；
，，，，，
，故选项D正确，不符合题意；只有当时，，
故选项C错误，符合题意．故选：C．
2．（2024·浙江杭州·一模）如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：为的高，且，垂直平分线段，，
为的高，即，，
，，，故选：A．
◇典例7：（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，四边形中，，，对角线平分，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：过点作，则：，
∵平分，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴，，
∵，∴，∴，
∴；故答案为：．
◆变式训练
1．（2024·浙江·二模）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”．例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”．
利用上述知识解答下列问题．
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________．
(2)在四边形中，对角线平分．
①如图1，若，，求的最小值．
②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数．
③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积．
【答案】(1)菱形、正方形；
(2)①的最小值是4；②；③或．
【详解】（1）解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角，
∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”；
∵菱形、正方形的对角线平分一组对角，∴菱形、正方形一定是“可折四边形”；
故答案为：菱形、正方形．
（2）解：①当，时，与最小，∴此时最小；
∵，对角线平分．∴
∴，∴ 答：的最小值为4；
②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，
①
又平分，平分， ②
①×2－②得 ∵，，，
又平分，平分 ∴，
平分 ∴
③如图2过作，，又∵平分∴
∵∴∴
∵平分∴
∴∴则，，，四点共圆
∴，
当时，如图3∴
∴∴∴∴，
∵∴∵，∴∴
∵∴∴∵
∴∴
．
当时，如图4∵，∴∴
∵∴同理可求得，，，
．
综上，四边形的面积为或．
■考点四 勾股定理及其应用
◇典例8：（2023·湖北恩施·统考中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．
【答案】8，6，10
【详解】解：设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，
根据题意可得：，解得：或（舍去），
∴（尺），（尺），
即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺，故答案为：8，6，10．
◆变式训练
1．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
【答案】m2-1
【详解】∵2m为偶数，∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，故答案为：m2-1．
2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）
【答案】10
【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，
由题意得：，，
∵底面周长为，，，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10．
3.（2023·江苏·统考中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x至少为 （精确到个位，参考数据：）．
【答案】
【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，则，，
在中，，即
∵这台扫地机能从角落自由进出，∴这台扫地机的直径不小于长，
即最小时为，解得：（舍），，
∴图中的x至少为，故答案为：．
◇典例9：（2022·湖南永州·中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．
【答案】3
【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，
则AE=x-1，在Rt AED中，，即，
解得：x=4（负值已经舍去），∴x-1=3，故答案为：3．
◆变式训练
1. （2023·广东东莞·校联考二模）如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵正方形的边长为4，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，
∴，同理，，∴，
∴，故选：A．
2．（2023·广东江门·校考一模）在学习完勾股定理后，小芳被“弦图”深深地吸引了，她也设计了一个类似“弦图”的图案（如图），主体是一个菱形，把菱形分割成四个两两全等的直角三角形和一个矩形，这四个直角三角形中有两个是等腰直角三角形，另两个三角形的两直角边分别是和，那么中间的矩形的面积是_____________．
【答案】##
【详解】如图，由题意可知，，,
∴，∴．
∵，即，∴，∴
∴，，
∴中间的矩形的面积是．故答案为：．
■考点五 直角三角形的性质及计算
◇典例10：（2024·浙江·模拟预测）小明用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，是的中点，点，对应的刻度分别是1，8，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，，是的中点，
∴，故答案为：．
◆变式训练
1.（2023·广西·统考中考真题）如图，在中，，．
(1)在斜边上求作线段，使，连接；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；(2)若，求的长．
【答案】(1)图见详解；(2)
【详解】（1）解：所作线段如图所示：
（2）解：∵，，∴，
∵，∴，∴，即点O为的中点，
∵，∴，∴，∴．
2.（2023·湖南郴州·统考中考真题）在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 ．
【答案】5
【详解】解：如图：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8∴
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=×10=5．故答案为5．
◇典例11：（2024·浙江绍兴·二模）如图，在四边形中，，，分别是对角线，的中点，连结，，．则下列判断不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵在四边形中，，是对角线的中点，
∴，∴，故A选项正确；
∵是对角线的中点，∴，故B选项正确；
∵∴ ∵ ∴，故C选项正确；
∵∴，故D选项错误．故选：D．
◆变式训练
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图， 为等腰直角三角形，，，是上一点． 交直线于点，且，当，，点为的中点，连接，则的长为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于H，
∵，∴，∵，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，设，则，
由勾股定理得，
，∴，
解得或（舍去），∴，∴，
∵为的中点，∴，故选：C．
1．（2024·湖北·中考真题）平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵点的坐标为，∴，，∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，∴，∴，
∴，，∴点的坐标为，故选：B．
2．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有①
【答案】B
【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分；
在图③中，利用作法得，
在和中，，∴，∴，
在和中，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴是的平分线；
在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线．
则①③可得出射线平分．故选：B．
3．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
【答案】C
【详解】解：连接，如图：
∵，，点D是中点，
∴∴，
∴
又∵ ∴故选：C
4．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（ ）
A．5 B． C． D．4
【答案】C
【详解】解：是四个全等的直角三角形，
，，，四边形为正方形，
，，故选：C．
5．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【详解】解：根据上述基本作图，可得，
故可得判定三角形全等的依据是边边边，故选A.
6．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【详解】解：由作图知，垂直平分，，
的周长，
，，的周长，故选：C．
7．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、连接，
∵，，，∴，∴
又∵点F为的中点∴，故不符合题意；
B、连接，∵，，，
∴，∴，
又∵点F为的中点，∴，∵,∴，∴，
∴，∴，故不符合题意；
C、连接，∵点F为的中点，∴，∵，，∴，∴， ， ∵，，∴，
∴，∴，∴，故不符合题意；
D、，无法得出题干结论，符合题意；故选：D．
8．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：∵，∴，在中，，解得，
∵平分，∴，∴，解得，
当时，线段长度的最小，∵平分，∴．故选∶C．
9．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，
由旋转得，∵四边形是正方形，
∴，，，设，∴，
∵，∴，∴，
∴，，设，则，∴，
∴，而，∴，∴，
∵，∴，同理可求，
∴，∴，故选：A．
10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【详解】解：∵，∴，在和中，，
在中，，在中，，
在中，综上所述，共有4对“伪全等三角形”，故选：D．
11.（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则________．
【答案】或
【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
过A点作AH⊥BC于H，∵∠B=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴,
在Rt△ACH中，由勾股定理可知：，∴．
情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
由情况一知：，，∴．故答案为：或．
12．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，．连接，在和上分别截取，使．分别以点E和点F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线交于点H，则线段的长是 ．
【答案】/
【详解】解：设，过H作于Q，在矩形中，，
∴，由作图得：平分，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
在中，有，即：，解得：，故答案为：．
13．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，
由折叠的性质可知，∵，
∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为；
故答案为．
14．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为 度．
【答案】
【详解】解： ，， ，
根据尺规作图过程，可知为的角平分线，
，故，故答案为：．
15．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，则的度数为 ；
【答案】/100度
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴，，
∴
∴．故答案为：
16．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ．
【答案】2
【详解】解：∵在中，，，∴，
∵平分，∴，∴，
∴，∴,故答案为：2．
17．（2024·湖南·中考真题）一个等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 度．
【答案】
【详解】解：因为其底角为40°，所以其顶角．故答案为：100．
18．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ．
【答案】60
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
∴，∴平分，过点作，，
则：，∵，且，
∴，∴四边形的面积，
∵，∴，设，则：，
由勾股定理，得：，
∴，解：，∴，
∴，∴四边形的面积为60．
19．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ．
【答案】6
【详解】解：作图可知平分，∵是边上的高，，，∴，
∵，∴，∴，故答案为：6．
20．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，．
求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：，，即，
在和中，，．
21．（2024·广西·中考真题）如图，在中，，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
【答案】(1)见详解 (2)
【详解】（1）解：如下直线l即为所求．
（2）连接如下图：∵为线段的垂直平分线，∴，
∴，∴，∴为等腰直角三角形，
∴，∴
22．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型应用】（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解
【详解】（1），理由如下：
∵，，，∴，
∴，∴，∵，∴，
∴，，∴，∴；
（2），理由如下：过E点作于点M，过E点作于点N，如图，
∵四边形是正方形，是正方形的对角线，
∴，平分，，
∴，即，
∵，，∴，∵，∴，∴，
∵，，，，
∴四边形是正方形，∴是正方形对角线，，
∴， ，
∴，，
∴，即，
∵， ∴，即有；
（3），理由如下，
过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图，
∵，，，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
∵在正方形中，，∴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，∴，
∵，，∴是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴．
23．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．
（1）如图①，当时，探究如下：
由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．
（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析
【详解】解：图②的结论是：
证明：∵∴是等边三角形，∴，
以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，，，，
又即
又，，；
∵∴，∴
，∴，
在中,可得：即
整理得
图③的结论是：
证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，
，，，
又即
又，， 在中，，
，；，
在中,可得：即
整理得
1．（2024·上海普陀·统考一模）如图，和都是直角三角形，，，、相交于点，如果，那么的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，过点作于点，
则，
，，
是等腰直角三角形，，
设，则，，，
，，
，，故选：D．
2．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，过点作的平分线的垂线，垂足为，点为的中点，连接交于点．若，，则的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】B
【详解】解：如图，分别延长、交于，
过点作的平分线的垂线，垂足为，
，，而，
（ASA），，而，，
点为的中点，点为的中点，为的中位线，，
，，．故选：B．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，是等边三角形的边上一点，作于点，若，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过点作，使 ，作，交延长线于点，
，，是等边三角形，
，，
在和中，，，，
，，，，
设，，∵则
，，，
，，故选C．
4．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，是高线，是中位线，若的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【详解】解：是的中位线，，
是高线，，，，故选：A．
5．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，的中垂线与交于点D，与交于点E，连接，F为的中点，若，则的长为（ ）
A．5 B． C．4 D．3
【答案】C
【详解】∵的中垂线与交于点D，∴，
∵F为的中点，∴∵∴
∵∴，∴∴．故选：C．
6．（2024·浙江·一模）如图，将线段绕点B旋转至，点D恰好落在射线上，分别以点为圆心，大于线段的一半长为半径画弧，过两弧的交点作直线交射线于点E，连结，量得，则的度数是 ．
【答案】/35度
【详解】解：∵由作图可得，在的垂直平分线上，∴，∴，
∵由旋转可得：，∴，∵，
∴，∴，故答案为：
7．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ．
【答案】3
【详解】解：如图所示，连接，
设，，在中，，，，，
中，是的中点，，又，，
，即，，
又，，∴，又∵，∴，，
又，，，即，
，，故答案为：3．
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知中，，与的角平分线分别交边于点，，且，则边的长为 ．
【答案】或
【详解】解：平分，，
四边形是平行四边形，，，
，，，同理：，
分两种情况：①如图所示：
，；
②如图2所示：
，，，；
综上所述：的长为或．故答案为：或6
9．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，点D是边上一点，，且，与交于点G，过点E作交于点F，交于点H．(1)求证：；(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，，，，
，．
（2）解：，，，，，
．
10．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结．(1)求的度数．(2)求证：．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：∵．∴．∵，∴；
（2）证明：在中，，，∴．∴．
在和中，，∴，∴．
11．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，射线平分，交于点E，点F在边的延长线上，，连接．(1)求证：．(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析(2)为
【详解】（1）证明：射线平分，∴，
在和中，，∴；
（2）解：∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴为．
12．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，于D．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连结，判断和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析
【详解】（1）解：线段的垂直平分线如下图所示；
（2）解：；理由如下：是线段的垂直平分线，，，
，A点在线段的垂直平分线上，，，
，；
，，由三角形外角的性质得．
13．（2024·浙江温州·一模）如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：在中，．
，．．
，．，．
（2）解：，．
，，，．
14．（2024·浙江舟山·三模）如图，在的正方形网格中，点A、点B均为格点，请只利用无刻度直尺完成以下作图．
(1)在图1中，过点A 作出线段的垂线段，点C为格点；
(2)在图2中，作出面积最小的等腰三角形，点D为格点；
(3)在图2的基础上，继续在图 2中作出△的重心E．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）解：由勾股定理可知，，
取格点可知，，则，∴，如图所示，即为所求；
（2）当以为顶点，时，有以下三种个情况：可得：，
，，
当以为顶点，时，有以下两种种个情况：
可得：，，
当以为顶点，时，有以下两种种个情况：，当，则，
∴此时为等腰直角三角形，，
当，此时，
综上，面积最小的等腰三角形如图所示，即为所求；
（3）如图所示，取格点，，连接交于，
由矩形性质可知，点为的中点，连接，即为边上的中线，
由（2）知，，，则垂直平分，延长交于，则为边上的中线，∴与的交点即为的重心，即：点即为所求．
15．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．(1)依题意补全如图；(2)若，求；(3)若，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析
【详解】（1）解：过点作直线的垂线，交于点，取点，使得，连接，交于点，连接，则点为点关于直线的对称点，图1为所求的图：
（2）如图2：连接，∵点与点关于直线对称，∴，，
∴，，∴，即，
∵，，∴，∴，∴，
在与中，，，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，∴；
（3）解：，理由如下：如图，连接交于点，
∵点与点关于直线对称，∴，，∴，，
∴，即，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴在与中，∴
∵是等边三角形 ∴∴，
过点作于点，设，，则，，
在中，，在中，，
∴，
∵，，∴
16．（2024·浙江宁波·一模）（1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：;（2）如图2，在中，交边于点于点H．已知，求的面积；（3）如图3，在等边中，点D在边上，P为延长线上一点，E为边上一点，已知平分，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）证明：平分，，
又，，；
（2）解：如图，过C作于点D．
，，又，，
，，，；
（3）解：如图，在线段上取一点F，使，并连结．
平分，，又，，
，，，，
，，即 ．
17．（2024·浙江·一模）我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”．
(1)如图1，已知，，
①用尺规作图作出的一条“紫金线”；（保留作图痕迹）
②过点C能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由；
(2)如图2，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为；(3)如图3，已知四边形中，．用尺规作图作出四边形的“紫金线”．（保留作图痕迹）
【答案】(1)①见详解；②不能，理由见详解(2)(3)见详解
【详解】（1）解：①如图，直线l即为所求：
∵直线l是的垂直平分线，则记与直线l与交于点E，点E为的中点，
∴与等底同高，故面积一样，∵，，∴l平分周长，
故直线l是的一条“紫金线”；
②过点C不能作出的“紫金线”，设过点C能作直线“紫金线”交于点D，如图：
则点D为中点，满足平分面积，∵，∴，
∴与周长不相等，故不能平分该图形周长，∴不能能作出的“紫金线”；
（2）解：由题意得平分，当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线，
∵是的垂直平分线∴，
∵四边形是矩形，∴，， ∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，左右两部分梯形面积也一样，
∴即平分周长也平分面积，∴是矩形的“紫金线”，
∵，，∴，
∵，∴，故答案为：．
（3）解：如图，直线即为所求：
记直线与分别交于点F、E，连接，
∵直线是的垂直平分线，∴，，∴，
∵，∴由勾股定理得：，
则，解得：，∴，
∴，∴，
∴直线平分该图形周长，，
∴，∴直线平分该图形面积，∴直线四边形的“紫金线”．
18．（2024·北京海淀·校考模拟预测）如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，上，满足，与交于点F．
(1)求的度数；(2)以C为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，点N为的中点，连接．①依题意补全图形；②若，求k的值．
【答案】(1)(2)①见解析；②
【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，，
∵，∴，∴，
∴．
（2）解：①如图所示：
②延长至点Q，使，连接，如图所示：∵N是的中点，∴，
在和中，∴，
∴，，∴，∴，
∵为等边三角形，∴，
∵绕点C旋转得到，∴，，∴，
延长至点P使得，连接，，由（1）可知，，
∴为等边三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，∴，
∴，，∴为等边三角形，
∴，∵，∴，∴．
129．（2023·北京顺义·统考二模）已知：线段及射线．
求作：等腰，使得点C在射线上．
作法一：如图1，以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点C（不与点A重合），连接．
作法二：如图2．
①在上取一点D，以点A为圆心，长为半径作弧，交射线于点E，连接；
②以点B为圆心，长为半径作弧，交线段于点F；
③以点F为圆心，长为半径作弧，交前弧于点G；
④作射线交射线于点C．
作法三：如图3，
①分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q；
②作直线，交射线于点C，连接．根据以上三种作法，填空：
由作法一可知：______，
∴是等腰三角形．
由作法二可知：______，
∴（__________________）（填推理依据）．
∴是等腰三角形．
由作法三可知；是线段的______．
∴（__________________）（填推理依据）．
∴是等腰三角形．
【答案】；；等角对等边；垂直平分线；线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等
【详解】由作法一可知：，∴是等腰三角形．
由作法二可知：，
∴（等边对等角）∴是等腰三角形．
由作法三可知；是线段的垂直平分线．
∴（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）
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