高二数学圆锥曲线的应用题苏教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
圆锥曲线的应用题
二. 教学重点：
1. 提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力．
2. 发展数学应用意识和创新意识，力求能用解析几何知识解决常见的应用题．
三. 知识点归纳：
1. 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
2. 双曲线的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为定值(小于|F1F2|)的点的轨迹．其中两定点为焦点，两焦点之间的距离为焦距．
3. 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
【典型例题】
例1. 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求该彗星与地球的最近距离． ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解 ( http: / / www.21cnjy.com / )同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考 ( http: / / www.21cnjy.com / )仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a－c，这样把问题就转化为求a，c或a－c． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：建立如图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（－c，0）处，椭圆的方程为+=1，
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=（或∠xFA′=）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
作AB⊥Ox于B，则｜FB｜=｜FA｜=m，
故由椭圆的第二定义可得
m=（－c）① 且m=（－c+m）②
两式相减得m=·m，∴a=2c ( http: / / www.21cnjy.com / )
代入①，得m=（4c－c）=c，
∴c=m ( http: / / www.21cnjy.com / ) ∴a－c=c=m ( http: / / www.21cnjy.com / )
答：彗星与地球的最近距离为m万千米． ( http: / / www.21cnjy.com / )
点评：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a－c，另一个是a+c． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想 ( http: / / www.21cnjy.com / )另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2. 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）． ( http: / / www.21cnjy.com / )已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工． ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：
（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远 ( http: / / www.21cnjy.com / )
显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点 ( http: / / www.21cnjy.com / )则有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜． ( http: / / www.21cnjy.com / )
于是｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=150－100=50． ( http: / / www.21cnjy.com / )
从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则
｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜，
∴｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=50． ( http: / / www.21cnjy.com / )
在△PAB中，由余弦定理得
｜AB｜2=｜PA｜2+｜PB｜2－2｜PA｜｜PB｜cos60°=17500，
且50＜｜AB｜． ( http: / / www.21cnjy.com / )
由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，
设此双曲线方程为－=1（a＞0，b＞0）．
∵2a=50，4c2=17500，c2=a2+b2，
解之得a2=625，b2=3750． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴M点轨迹是－=1（x≥25）在半圆内的一段双曲线弧． ( http: / / www.21cnjy.com / )
于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工． ( http: / / www.21cnjy.com / )
点评：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）应用分类思想解题的一般步骤：①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3. 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1. ( http: / / www.21cnjy.com / )6 m ( http: / / www.21cnjy.com / )现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0. ( http: / / www.21cnjy.com / )4 m的距离行驶 ( http: / / www.21cnjy.com / )已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值 ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0. ( http: / / www.21cnjy.com / )4 m到2 m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m（即在横断面上距拱口中点2 m）处隧道的高度是否够3 m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，
由题意可得抛物线的方程为x2=－2p（y－），
∵点A（－，0）在抛物线上，
∴（－）2=－2p（0－），得p=． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴抛物线方程为x2=－a（y－）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
取x=1 ( http: / / www.21cnjy.com / )6+0 ( http: / / www.21cnjy.com / )4=2，代入抛物线方程，得
22=－a（y－），y=． ( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意，令y＞3，得＞3，
∵a＞0，∴a2－12a－16＞0． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴a＞6+2． ( http: / / www.21cnjy.com / )
又∵a∈Z，∴a应取14，15，16，…． ( http: / / www.21cnjy.com / )
答：满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14 m． ( http: / / www.21cnjy.com / )
点评：本题的解题过程可归纳为两步：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m处y的值；二是由y＞3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的． ( http: / / www.21cnjy.com / )
变式：如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4 ( http: / / www.21cnjy.com / )5 m，隧道全长2 ( http: / / www.21cnjy.com / )5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为底面积乘以高 ( http: / / www.21cnjy.com / )本题结果均精确到0 ( http: / / www.21cnjy.com / )1 m）
（1）解：如下图建立直角坐标系，则点P（11，4. ( http: / / www.21cnjy.com / )5），椭圆方程为+=1． ( http: / / www.21cnjy.com / )
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得
a=，此时l=2a=≈33. ( http: / / www.21cnjy.com / )3． ( http: / / www.21cnjy.com / )
因此隧道的拱宽约为33 ( http: / / www.21cnjy.com / )3 m ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）解法一：由椭圆方程+=1，得+=1． ( http: / / www.21cnjy.com / )
因为+≥，
即ab≥99，且l=2a，h=b，所以S=lh=≥． ( http: / / www.21cnjy.com / )
当S取最小值时，有==，
得a=11，b=． ( http: / / www.21cnjy.com / )
此时l=2a=22≈31 ( http: / / www.21cnjy.com / )1，h=b≈6. ( http: / / www.21cnjy.com / )4． ( http: / / www.21cnjy.com / )
故当拱高约为6. ( http: / / www.21cnjy.com / )4 m、拱宽约为31. ( http: / / www.21cnjy.com / )1 m时，土方工程量最小． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解法二：由椭圆方程+=1，得+=1． ( http: / / www.21cnjy.com / )
于是b2=·． ( http: / / www.21cnjy.com / )
a2b2=（a2－121++242）≥（2+242）=81×121，
即ab≥99，当S取最小值时，
有a2－121=． ( http: / / www.21cnjy.com / )
得a=11，b=，以下同解法一． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4. A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：如下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则
B（－3，0）、A（3，0）、C（－5，2）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
因为|PB|=|PC|，
所以点P在线段BC的垂直平分线上． ( http: / / www.21cnjy.com / )
因为kBC=－，BC中点D（－4，），
所以直线PD的方程为y－=（x+4）． ( http: / / www.21cnjy.com / ) ①
又|PB|－|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上． ( http: / / www.21cnjy.com / )
设P（x，y），则双曲线方程为－=1（x≥0）． ( http: / / www.21cnjy.com / ) ②
联立①②，得x=8，y=5，
所以P（8，5） ( http: / / www.21cnjy.com / )因此kPA==． ( http: / / www.21cnjy.com / )
故炮击的方位角为北偏东30°．
小结：解决圆锥曲线应用问题时，要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【模拟试题】（满分100分，时间60分钟）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为……（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) m B. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 2m C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 4. ( http: / / www.21cnjy.com / )5 m D. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 9 m
2. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 某抛物线形拱桥的跨度是20 m，拱高是4 m，在建桥时每隔4 m需用一柱支撑，其中最长的支柱是………（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 4 m B. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 3. ( http: / / www.21cnjy.com / )84 m C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 1. ( http: / / www.21cnjy.com / )48 m D. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 2. ( http: / / www.21cnjy.com / )92 m
3. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是………（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 椭圆 B. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 圆 C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 双曲线的一支 D. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 抛物线
4. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星 ( http: / / www.21cnjy.com / )卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km，远地点为 n km，地球的半径为R km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于………（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 2 B. ( http: / / www.21cnjy.com / )
C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 2mn D. ( http: / / www.21cnjy.com / ) mn
5. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是………（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 2. ( http: / / www.21cnjy.com / )5 m B. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 4 m C. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 5 m D. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 6 m
二、填空题（每题5分，共20分）
6. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是____ cm ( http: / / www.21cnjy.com / )
7. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 在相距1400 m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s，已知声速340 m/s ( http: / / www.21cnjy.com / )炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________． ( http: / / www.21cnjy.com / )
8. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y（0≤y≤20）． ( http: / / www.21cnjy.com / )在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为________． ( http: / / www.21cnjy.com / )
9. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高 m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距____________m时，小船不能通航． ( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
10. （本题满分10分）
如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑 ( http: / / www.21cnjy.com / )已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，
（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；
（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度． ( http: / / www.21cnjy.com / )
11. （本题满分10分）
有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为4 ( http: / / www.21cnjy.com / )5 cm，灯丝距顶面距离为2 ( http: / / www.21cnjy.com / )8 cm，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳 试求这个曲线方程． ( http: / / www.21cnjy.com / )
12. （本题满分10分）
某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0 ( http: / / www.21cnjy.com / )04 m，若不考虑水下深度，该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么
13. （本题满分10分）
2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行 ( http: / / www.21cnjy.com / )该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com / )选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点 ( http: / / www.21cnjy.com / )近地点A距地面200 km，远地点B距地面350 km ( http: / / www.21cnjy.com / )已知地球半径R=6371 km ( http: / / www.21cnjy.com / )（如图）
（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；
（2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km，问飞船巡天飞行的平均速度是多少 （结果精确到1 km/s）（注：km/s即千米/秒）
14. （本题满分15分） ( http: / / www.21cnjy.com / )
中国跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）
在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距水面高度为5 m或5 m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的解析式． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）要使此次跳水不至于失误，该运动员按（1）中抛物线运行，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多少？
试题答案
1. 解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=－2Py（P>0），
由题意知，抛物线过点（2，－2），
∴4=2p×2 ( http: / / www.21cnjy.com / )∴p=1 ( http: / / www.21cnjy.com / )∴x2=－2y． ( http: / / www.21cnjy.com / )
当y0=－3时，得x02=6． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴水面宽为2|x0|=2． ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：B
2. 解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x2=－2py（p>0），
由题意知其过定点（10，－4），代入x2=－2py，得p=． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴x2=－25y． ( http: / / www.21cnjy.com / )
当x0=2时，y0=，
∴最长支柱长为4－|y0|=4－=3. ( http: / / www.21cnjy.com / )84（m）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：B
3. 解析：设旗杆高为m，华表高为n，m＞n ( http: / / www.21cnjy.com / )旗杆与华表的距离为2a，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com / )设曲线上任一点M（x，y），由题意=，即（m2－n2）x2+（m2－n2）y2－2a（m2－n2）x+（m2－n2）a2=0． ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：B
4. 解析：由题意－c=m+R， ① +c=n+R， ②
∴c=，2b=2=2． ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：A
5. 解析：以O为原点，OP所在直线为y轴建立直角坐标系（如下图），
则抛物线方程可设为y=a（x－1）2+2，P点坐标为（0，1），
∴1=a+2 ( http: / / www.21cnjy.com / )∴a=－1． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴y=－（x－1）2+2． ( http: / / www.21cnjy.com / )
令y=0，得（x－1）2=2，∴x=1±． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴水池半径OM=+1≈2 ( http: / / www.21cnjy.com / )414（m）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
因此水池直径约为2×|OM|=4 ( http: / / www.21cnjy.com / )828（m）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：C
6. 解析：设抛物线方程为y2=2px（p>0），点（40，30）在抛物线y2=2px上，
∴900=2p×40 ( http: / / www.21cnjy.com / )∴p= ( http: / / www.21cnjy.com / )∴=． ( http: / / www.21cnjy.com / )
因此，光源到反射镜顶点的距离为cm．
答案：
7. 解析：设M（x，y）为曲线上任一点，
则|MA|－|MB|=340×3=1020<1400
∴M点轨迹为双曲线，且a==510，
c==700
∴b2=c2－a2=（c+a）（c－a）=1210×190
∴M点轨迹方程为－=1
答案：－=1
8. 解析：玻璃球的轴截面的方程为x2+（y－r）2=r2
由x2=2y，x2+（y－r）2=r2，得y2+2（1－r）y=0，由Δ=4（1－r）2=0，得r=1
答案：0＜r≤1
9. 解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=－2py（p>0）
将点（4，－5）代入求得p=
∴x2=－y
将点（2，y1）代入方程求得y1=－
∴+|y1|=+=2（m）
答案：2
10. 解：（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径． ( http: / / www.21cnjy.com / )……………2′
由已知，得A点坐标是（2，6），……………3′
设抛物线方程为y2=2px（p＞0），……………4′
则36=2p×2，p=9 ( http: / / www.21cnjy.com / )……………6′
所以所求抛物线的标准方程是y2=18x，……………7′
焦点坐标是F（，0）……………8′
（2）∵盛水的容器在焦点处，∴A、F两点间的距离即为每根铁筋长． ( http: / / www.21cnjy.com / )
|AF|==（或|AF|=+2=）……………9′
故每根铁筋的长度是6 ( http: / / www.21cnjy.com / )5 m ( http: / / www.21cnjy.com / )……………10′
11. 分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：采用椭圆旋转而成的曲面，如图建立直角坐标系，中心截口BAC是椭圆的一部分，
设其方程为+=1，……………2′
灯丝距顶面距离为p，由于△BF1F2为直角三角形，
因而，|F2B|2=|F1B|2+|F1F2|2=p2+4c2，……………4′
由椭圆性质有|F1B|+|F2B|=2a，所以a=（p+），……………6′
a=（2 ( http: / / www.21cnjy.com / )8+）≈4 ( http: / / www.21cnjy.com / )05 cm，b=≈3 ( http: / / www.21cnjy.com / )37 m……………9′
∴所求方程为+=1……………10′
12. 解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y=ax2，……………1′
则A（10，－2）在抛物线上，
∴－2=ax2，a=－，……………2′
方程即为y=－x2……………3′
让货船沿正中央航行
∵船宽16 m，而当x=8时，y=－·82=1. ( http: / / www.21cnjy.com / )28 m，……………4′
∴船体在x=±8之间通过
由B（8，－1. ( http: / / www.21cnjy.com / )28），……………5′
∴B点离水面高度为6+（－1. ( http: / / www.21cnjy.com / )28）=4. ( http: / / www.21cnjy.com / )72（m），而船体水面高度为5m，…………6′
∴无法直接通过
又5－4. ( http: / / www.21cnjy.com / )72=0. ( http: / / www.21cnjy.com / )28（m），0. ( http: / / www.21cnjy.com / )28÷0. ( http: / / www.21cnjy.com / )04=7，而150×7=1050（t），……8′
∴用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降……………10′
13. 解：（1）设椭圆的方程为+=1 ( http: / / www.21cnjy.com / )……………1′
由题设条件得
a－c=|OA|－|OF2|=|F2A|=6371+200=6571，
a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+350=6721……………3′
解得a=6646，c=75，所以a2=44169316，……………4′
b2=a2－c2=（a+c）（a－c）=6721×6571=44163691……………5′
∴所求椭圆的方程为+=1……………6′
（注：由≈6645 ( http: / / www.21cnjy.com / )5768得椭圆的方程为+ =1，也是正确的）
（2）从15日9时到16日6时共21个小时，即21×3600 s
减去开始的9分50 s，即9×60+50=590（s），再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650（s），得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950（s），……………8′
平均速度是≈8（km/s）……………9′
所以飞船巡天飞行的平均速度是8 km/s……………10′
14. 解：（1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为
y=ax2+bx+c……………1′
由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）、（2，－10），且顶点A的纵坐标为，
所以有c=0，=，4a+2b+c=－10……………2′
解之得a=－, b=，c=0或a=－，b=－2，c=0……………3′
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴－＞0 ( http: / / www.21cnjy.com / )又∵抛物线开口向下，
∴a＜0 ( http: / / www.21cnjy.com / )∴b＞0，后一组解舍去
∴a=－，b=，c=0
∴抛物线的解析式为y=－x2+x……………6′
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为3m时，即x=3－2=时，………7′
y=（－）×（）2+×=－，……………8′
∴此时运动员距水面的高为
10－=＜5……………9′
因此，此次跳水会出现失误 ( http: / / www.21cnjy.com / )……………10′
（3）当运动员在x轴上方，即y＞0的区域内完成动作并做好入水姿势时，当然不会失误，但很难做到……………11′
∴当y＜0时，要使跳水不出现失误，
则应有|y|≤10－5，即－y≤5……………12′
∴有x2－x≤5，……………13′
解得2－≤x≤2+……………14′
∴运动员此时距池边的距离至多为2+2+=4+m……………15′圆锥曲线综合应用及光学性质（通用）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．二次曲线，时，该曲线的离心率e的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
2．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为 （ ）
A． B．
C．mn D．2mn
3．已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长为 （ ）
A．10 B．20 C．2 D．
4．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合， 则此椭圆方程为 （ ）
A． B．
C． D．
5．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围 （ ）
A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
6．以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是 （ ）
A． B．
C．或 D．或
7．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是 （ ）
A． B． C． D．以上答案均有可能
8．过双曲线的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长
为 （ ）
A．28 B． C． D．
9．已知椭圆与双曲线有相同的焦点和.若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
10．过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长
分别为p、q，则等于 （ ）
A．2a B． C． D．
11．如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 （ ）
A． B．
C． D．
12．设P(x , y) (xy≠0)是曲线上的点，F1(－4,0 ) 、F2(4,0), 则 （ ）
A．|F1 P| + |F2 P| <10 B．|F1 P| + |F2 P| >10
C．|F1 P| + |F2 P| ≥10 D．|F1 P| + |F2 P| ≤10
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．设中心在原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 .
14．设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为 .
15．与椭圆具有相同的离心率且过点（2，－）的椭圆的标准方程是 .
16．设双曲线的半焦距为c，直线过（a，0）、（0，b）两点，已知原
点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题（本大题共6题，共74分）
17．（本题满分10分） 已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，
求双曲线方程.
18．（本题满分10分）、求两条渐近线为且截直线所得弦长为
的双曲线方程．
19．（本题满分13分）．双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）
和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求
双曲线的离心率e的取值范围.
20．（本题满分13分）设椭圆的两个焦点是与，且椭圆上存在一点，使得直线与垂直.
（1）求实数的取值范围；
（2）设是相应于焦点的准线，直线与相交于点，若，
求直线的方程.
21．（本题满分14分）．给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．
（Ⅰ）设l的斜率为1，求与的夹角的大小；
（Ⅱ）设，若λ∈[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围.．
22．（本题满分14分）、抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p＞0).一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x－4y－17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示)
（1）设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，
证明：y1·y2=－p2；
（2）求抛物线的方程；
（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点
M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出
此点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
一．选择题 (本大题共12小题, 每小题5分, 共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D A C D D C A C D D
7【解】⑴静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选B；
⑵静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选C；
⑶静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选A。
于是三种情况均有可能，故选D。
二．填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）
13． 14. 15. 或 16. 2
三、解答题（本大题共6题，共74分）
17．（本题满分10分）解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,
从而c=4,a=2,b=2. 所以求双曲线方程为: .
18（本题满分10分）解:设双曲线方程为x2-4y2=.
联立方程组得: ,消去y得，3x2－24x+(36+)=0
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(),B()，那么：
那么：|AB|=
解得: =4,所以，所求双曲线方程是：．
19．（本题满分13分）
解：直线的方程为，即
由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，
同理得到点（－1，0）到直线的距离
由 即
于是得
解不等式，得 由于所以的取值范围是
20．（本题满分13分）本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力.
解：（Ⅰ）由题设有 设点P的坐标为由PF1⊥PF2，得
化简得 ①
将①与联立，解得
由 所以m的取值范围是.
（Ⅱ）准线L的方程为设点Q的坐标为，则
②
将 代入②，化简得
由题设 ，得 ， 无解.
将 代入②，化简得
由题设 ，得 .
解得m=2. 从而，
得到PF2的方程
21．（本题满分14分）本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力．
解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为
将代入方程，并整理得
设则有
所以夹角的大小为
（Ⅱ）由题设 得
即
由②得， ∵ ∴③
联立①、③解得，依题意有
∴又F（1，0），得直线l方程为
当时，l在方程y轴上的截距为
由 可知在[4，9]上是递减的，
∴
直线l在y轴上截距的变化范围为
22．（本题满分14分）命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力。
知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程.
错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时.
技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键.
(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知
光线PQ必过抛物线的焦点F(，0)，
设直线PQ的方程为y=k(x－) ①
由①式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0,由韦达定理，y1y2=－p2.
当直线PQ的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到
y1·y2=－p2.
(2)解：因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(，4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，则
解得
直线QN的方程为y=－1,Q点的纵坐标y2=－1，
由题设P点的纵坐标y1=4，且由(1)知：y1·y2=－p2,则4·(－1)=－p2,
得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.
(3)解：将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4)
将y=－1代入直线l的方程为2x－4y－17=0,得x=,
故N点坐标为(，－1)
由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y－12=0,
设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1)
又M1(,－1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点(，－1)与点M关于直线PN对称.
在解题的过程中，只要注意到各学科知识之间的内在联系，定会有很多巧妙的解题方法．
①
②
