玉溪一中2027届高一下学期 月考（一）
数学
总分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集为，集合，，则
A. B. C. D.
2.复数
A. B. C. D.
3.已知向量与向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为
A. B. C. D.
4.在四边形中，满足，且，则四边形为
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
5.如图，在中，为的三等分点且靠近点，为的中点，设，，则向量
A. B.
C. D.
6.若函数+1，+1，的零点分别为，，，则
A. B. C. D.
7.在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心
8.在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则下列结论正确的是
A. 双曲正切函数是偶函数 B. 双曲正切函数是增函数
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共,18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知,关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有
A. B.0 C. D.
10.如图所示，线段是的弦，其中，，点为上任意一点，则以下结论正确的是
A.
B.
C. 当时，
D. 的最大值是72
11.欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有
A. B.复数对应的点位于第二象限
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数的最小值是 ．
13.已知向量，向量与向量的夹角是，则_______．
14.如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是，由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标．若，且点的坐标为，点的坐标为，则_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题需写出必要的演算步骤，或文字说明.
15.（本小题13分）
已知向量，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
16.（本小题15分）
如图，在△中，内角，，的对边分别为，，，，过点作，交线段于点，且，．
(1)求的大小；
(2)求的长．
17.（本小题15分）
在△中，角、、的对边分别为、、，面积为，且．
(1)求；
(2)若，，为边的中点，求的长．
18.（本小题17分）
函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形．
(1)求函数的解析式；
(2)若，，求函数的值域；
(3)若，且，求的值．
19.（本小题17分）
设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”．已知函数．
(1)若，求的准不动点；
(2)若为的一个“准不动点”，且，，求实数的取值范围；
(3)设函数，若，，，，使得成立，求实数的取值范围．玉溪一中2027届高一下学期 月考（一）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
选项 D A C C D B A B ABC ABD BCD 0
单选题：
1.解：因为，所以．故选D．
2.解：．故选A．
3.解：由题意，在方向上的投影向量为：．故选：．
4.解：四边形中，如果，则四边形为平行四边形．再由，可得平行四边形的对角线相等，故四边形是矩形，故选：．
5.解：因为为的三等分点且靠近点，则
为的中点,．故选：．
6.解：函数，，的零点，
即为函数的图象分别与函数的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图象可得，故选B．
7.解：因为，，则=
，若设中的的中点为，则,.
所以，在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心．故选：．
8.解：对：令，
则，所以，故双曲正切函数是奇函数，故A错误；
对：，
由在上单调递增，且，故是增函数，故B正确；
对：,故错误；
对：，
，故错误；故选：．
二、多选题：
9.解：复数，所以，复数对应的点在第四象限，故A正确；已知,关于的方程的一个根是,则得，整理得，所以，；解得：，所以，，故正确；
由得方程，又知道一个根是，所以，结合韦达定理，可得另一个根是，所以，，故正确；两个虚数不能比较大小，故D错误；故选：．
10.解：点为上一动点，可知当点三点共线的时候，的值最大是，故选A；，故选B；当时，即，此时，点在上有两个位置，故不止一个答案，所以，排除C选项.
对于D选项，（方法一）如图1所示，建立平面直角坐标系，则点坐标设为,点坐标是，点坐标是，
则，, ，所以，当时，取得最大值72；
（方法二）如图2所示，借助平面几何知识和平面向量的数量积运算的定义可知：
要取得最大值，当且仅当的值最大，此时，所以，故选ABD；
11.解：因为，所以，，故A错误；
，而，则、，故位于第二象限，故正确；
，故正确；
，所以，又因为，所以，D正确．
故选：．
三、填空题：
12.解：，当且仅当时取等号．
故答案为．
13.解：（方法一）因为，所以，
所以.
（方法二）如图所示，“数形结合”，很容易得到.
14.解：依题意夹角为，所以，
因为，，
所以.
解答题:
15.解：（1）题意得，，，
，，解得；
（2）由题意得，，，
，，解得．
16.解：（1）因为，所以由正弦定理得：，
因为，所以，所以，即，
又因为，所以．
（2）因为，所以，由（1）知，，所以，
又，所以，在△中，由正弦定理，得，又因为，所以,即AB=.
17.解：（1）由三角形面积公式及条件可知：，
由余弦定理知：，
所以，因为，所以；
（2）结合（1）的结论，根据余弦定理有：，
所以，因为为边的中点，所以，
所以，即．
18.解：（1）函数，
由于为正三角形，所以三角形的高为，所以．
所以函数的最小正周期为，所以，从而得到．
（2），，，
函数的值域为
（3）若，则，整理得，
由于，所以，，所以，
所以
19.解：（1）当时，由可得，，令，则，解得或，即或，解得或，的准不动点为0或1；
（2）由可得，，即在，上有解，
令，由，可得，，则在，上有解，故，
当，时，在，上单调递增，，，解得，的取值范围；
（3）由可得，，即，
则，又由指数函数的性质可知在，上单调递增，
（1），，则，即，
令，，，则，，从而，则，
又，在，上均为增函数，则，，，即．
实数的取值范围为：，．
