第二章圆锥曲线与方程

(共10张PPT)
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（一）
f(x,y)=0
0
x
y
我们的目标就是要找x与y的关系式
先找曲线上的点满足的几何条件
1
1
方法小结
课本例
B
例2、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O:
动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数
求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
0
x
y
M
N
Q
例3、求抛物线 的顶点的轨迹方程。(共13张PPT)
双曲线的性质(二)
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
y
x
O
A2
B2
A1
B1
.
.
F1
F2
y
B2
A1
A2
B1
x
O
.
.
F2
F1
A1（- a，0），A2（a，0）
B1（0，-b），B2（0，b）
F1(-c,0) F2(c,0)
F1(-c,0)
F2(c,0)
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
渐进线
无
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
关于x轴、y轴、原点对称
渐进线
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2
F1
x
B1
y
O
.
F2
F1
B2
A1
A2
.
F1(-c,0)
F2(c,0)
F2(0,c)
F1(0,-c)
1、“共渐近线”的双曲线
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2、“共焦点”的双曲线
（1）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表
示为
（2）与双曲线 有共同焦点的双曲线方
程表示为
复习练习：
2. 求与椭圆
有共同焦点，渐近线方程为
的双曲线方程。
3、求以椭圆 的焦点为顶点，以椭圆的
顶点为焦点的双曲线的方程。
例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线
　　的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
　　最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径
　　为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此
　　双曲线的方程(精确到1m).
A′
A
0
x
C′
C
B′
B
y
13
12
25
例题讲解
例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离
和它到定直线　： 的距离的比是常
数 , 求点M的轨迹.　
y
0
d
直线与双曲线问题：
例3、如图，过双曲线 的右焦点
倾斜角为 的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
切点三角形
例4、由双曲线 上的一点P与左、右
两焦点 构成 ，求 的内切圆与
边 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 构成的三角形称之为焦点三角形，其中 和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。
例5、设双曲线C： 与直线
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
（2）设直线l与y轴的交点为P，且 求a的值。
练习：
1、已知双曲线 ，过点P(1,1)的直线l与
双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率。(共19张PPT)
2.4.2抛物线的简单几何性质(3)
复习练习：
1、已知抛物线 ，若 的三个顶点都在该抛物线上，且点A的纵坐标为8， 的重心恰在抛物线的焦点上，求直线BC的斜率。
(4)求证：以抛物线 的过焦点的弦为直径的圆必定与此抛物线的准线相切。
2、过抛物线 的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点。
(1)证明：直线AB过定点；
(3)求 的面积的最小值；
(2)求AB中点M的轨迹方程；
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
复习:
一、直线与抛物线位置关系种类
x
y
O
1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）
与双曲线的情况一样
x
y
O
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离，无交点。
例：判断直线 y = x +2与
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。
x
y
O
2、直线与抛物线相切，交与一点。
例：判断直线 y = x +1与
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。
二、判断方法探讨
x
y
O
3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。
例：判断直线 y = 6
与抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标
二、判断方法探讨
x
y
O
例：判断直线 y = x -1与
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。
4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。
二、判断方法探讨
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行（重合）
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
判断直线是否与抛物线的对称轴平行
不平行
直线与抛物线相交(一个交点)
平行
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
几何画板演示(共22张PPT)
双曲线及其标准方程
1. 椭圆的定义
和
等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0)
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
2. 引入问题：
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
复习
双曲线图象
拉链画双曲线
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
上面 两条合起来叫做双曲线
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
（1）2a<2c ；
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
（2）2a >0 ；
双曲线定义
思考：
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？
说明
（3）若2a=0,则轨迹是什么？
| |MF1| - |MF2| | = 2a
(1)两条射线
(2)不表示任何轨迹
(3)线段F1F2的垂直平分线
F
2
F
1
M
x
O
y
求曲线方程的步骤：
双曲线的标准方程
1. 建系.
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点．
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式
|MF1| - |MF2|=±2a
4.化简
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
若建系时,焦点在y轴上呢
看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
问题
定 义
方 程
焦 点
a.b.c的关系
F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
椭 圆
双曲线
F（0，±c）
F（0，±c）
变式2答案
课本例2
写出适合下列条件的双曲线的标准方程
练习
1.a=4,b=3,焦点在x轴上;
2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
3.a=4,过点(1, )
例2:如果方程 表示双曲线，求m的取值范围.
解:
方程 表示焦点在y轴双曲线时，
则m的取值范围_____________.
思考：
使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
例3.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
如图所示，建立直角坐标系xOy,
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
即 2a=680，a=340
x
y
o
P
B
A
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
P
B
A
C
x
y
o
几何画板演示第2题的轨迹
练习第1题详细答案
本课小结
解: 在△ABC中,|BC|=10，
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
又因c=5，a=3，则b=4
则顶点A的轨迹方程为(共18张PPT)
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
种类:
相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点)
相离(没有交点)
相切(一个交点)
相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
Ax+By+C=0
由方程组：
<0
方程组无解
相离
无交点
=0
方程组有一解
相切
一个交点
>0
相交
方程组有两解
两个交点
代数方法
= n2-4mp
例1：直线y=kx+1与椭圆 恒有公共点,
求m的取值范围。
l
m
m
例4．
M
l
l1
x
y
F2
F1
O
注： 是椭圆上的点到焦点的距离，常把它们叫做焦半径。
例5 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.
引申:当点P与两焦点连线成钝角时,求P点的横坐标
的取值范围.
例6：求椭圆 上一点P,使得点P与椭圆
两焦点连线互相垂直.
法二
【练习】
(a＞b＞0)上一点， 是两个焦点，半焦距
为c，则 的最大值与最小值之差一定是（ ）.
A. 1 B. C. D.
x
O
y
P
F
Q
D
B
A
(a＞b＞0)，
F为焦点，A为顶点，准线l交x轴于B，P，Q在
椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，则椭圆
（ ）
A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
D
D
２、弦长公式：
设直线 l与椭圆C 相交于A( x1 ，y1) ，B( x2，y2 )，
则 |AB|＝　 , 其中 k 是直线的斜率
１、判断直线与椭圆位置关系的方法：
解方程组消去其中一元得一元二次型方程
△< 0 相离
△= 0 相切
△> 0 相交
３、处理弦中点问题：“点差法”、“韦达定理”
小结(共3张PPT)(共18张PPT)
2.4.2抛物线的简单几何性质(1)
一、温故知新
(一) 圆锥曲线的统一定义
平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,
当e＞1时，是双曲线 .
当0(定点F不在定直线l上)
当e=1时，是抛物线 .
(二) 抛物线的标准方程
(1)开口向右
y2 = 2px (p>0)
(2)开口向左
y2 = -2px (p>0)
(3)开口向上
x2 = 2py (p>0)
(4)开口向下
x2 = -2py (p>0)
范围
1、
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质
对称性
2、
关于x轴
对称
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
则 (-y)2 = 2px
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
顶点
3、
定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
y2 = 2px (p>0)中，
令y=0,则x=0.
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
离心率
4、
P(x,y)
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。
由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
x
y
O
F
A
B
y2=2px
2p
过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
|AB|=2p
通径
5、
2p越大，抛物线张口越大.
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
|PF|=x0+p/2
焦半径公式：
焦半径
6、
x
y
O
F
P
方程 图形 准线 焦点 对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
归纳:
(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
(4)、抛物线的离心率e是确定的为１,
⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.
　　　因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），
解:
所以设方程为：
又因为点M在抛物线上：
所以：
因此所求抛物线标准方程为：
　例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，　　），求它的标准方程.
三、典例精析
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。
抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。
灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变
成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的
设计原理。
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都
经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能
的理论依据。
例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源
位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深
40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
x
y
O
(40,30)
解:
所在平面内建立直
角坐标系,使反射镜
的顶点与原点重合,
x轴垂直于灯口直径.
在探照灯的轴截面
设抛物线的标准方程为:y2=2px
由条件可得A (40,30),
代入方程得:
302=2p·40
解之: p=
故所求抛物线的标准方程为: y2= x,
焦点为( ,0)
2
4
l
例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米. 水下降1米后，水面宽多少？
x
o
A
y
若在水面上有一宽为2米,高
为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？
思考题
2
B
A（2,－2）
x2=－2y
B（1，y）
y=－0.5
B到水面的距离为1.5米
不能安全通过
y=－3代入得
例题3
（1）已知点A（-2，3）与抛物线
的焦点的距离是5，则P = 。
（2）抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|= ，
则焦点到AB的距离为 。
4
2
（3）已知直线x-y=2与抛物线 交于A、B两
点，那么线段AB的中点坐标是 。
四、课堂练习
5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线 上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为( )
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点在直线x-2y-4=0上.
(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为
6、已知Q(4,0)，P为抛物线 上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
B
C
五、归纳总结
抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
抛物线的离心率是确定的，等于１；
抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.
1、范围：
2、对称性：
3、顶点：
4、离心率：
5、通径：
6、光学性质：
从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.(共18张PPT)
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是:
a2=b2+c2
当焦点在X轴上时
当焦点在Y轴上时
二、椭圆 简单的几何性质
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
1、范围：
椭圆的对称性
Y
X
O
P（x，y）
P1（-x，y）
P2（-x，-y）
2、对称性：
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。
3、椭圆的顶点
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
(0,b)
(a，0)
(0,-b)
(-a，0)
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
（2）
A1
B1
A2
B2
B2
A2
B1
A1
4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：
叫做椭圆的离心率。
[1]离心率的取值范围：
[2]离心率对椭圆形状的影响：
01）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆
[3]e与a,b的关系:
思考：当e＝0时，曲线是什么？当e＝1时曲 线又是 什么？
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a、b、c的关系
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
a2=b2+c2
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a、b、c的关系
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
a2=b2+c2
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)
(0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 。短轴长是： 。
焦距是： 。 离心率等于： 。
焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。
外切矩形的面积等于： 。
10
6
8
60
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程 明确a、b
2、确定焦点的位置和长轴的位置
练习：已知椭圆 的离心率
求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐
标、顶点坐标。
练习
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。
（1）x2+9y2=81 (2) 25x2+9y2=225
(3) 16x2+y2=25 (4) 4x2+5y2=1
例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；
⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２：１的两部分，且经过点
解： ⑴方法一：设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的坐标方程，求出m＝1/9,n＝1/4。
方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点
，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为
注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： ⑴定位； ⑵定量
⑶
⑵
或
或
练习：
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上
② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)，
Q(0,-3)两点.
③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5）
④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4）
⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。
例3：(1)椭圆 的左焦点
是两个顶点，如果到直线AB的距
离为 ，则椭圆的离心率e= .
(3)设M为椭圆 上一点， 为椭圆的焦点，
如果 ，求椭圆的离心率。
小结：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。
(4)P为椭圆 上任意一点，F1、F2是焦点，
则∠F1PF2的最大值是 .(共20张PPT)
双曲线的性质(三)
椭圆与直线的位置关系及判断方法
判断方法
<0
=0
>0
（1）联立方程组
（2）消去一个未知数
（3）
复习:
相离
相切
相交
一:直线与双曲线位置关系种类
X
Y
O
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)
位置关系与交点个数
X
Y
O
X
Y
O
相离:0个交点
相交:一个交点
相交:两个交点
相切:一个交点
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0 直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0 直线与双曲线相切
Δ<0 直线与双曲线相离
②相切一点: △=0
③相 离: △＜0
一、直线与双曲线的位置关系:
①相交两点: △＞0
同侧： ＞0
异侧: ＜0
一点: 直线与渐进线平行
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支
应 用:
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点;
(2)有两个公共点;
(3)只有一个公共点;
(4)交于异支两点；
(5)与左支交于两点.
(3)k=±1，或k= ± ；
(4)-1＜k＜1 ；
(1)k＜ 或k＞ ；
(2) ＜k＜ ；
1.过点P(1,1)与双曲线
只有
共有_______条.
变题:将点P(1,1)改为
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的
4
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
交点的
一个
直线
X
Y
O
（1，1）
。
2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点
(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________
3.过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的
取值范围是
二.弦的中点问题(韦达定理与点差法）
例2.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求：
(1)以2为斜率的弦的中点轨迹；
(2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；
(3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程.
(4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；
方程组无解，故满足条件的L不存在。
分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。
证明: (1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b
问题三：直线与双曲线相交中的垂直与对称问题
1.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点.
(1)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；
(2)是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称，
若存在，求a;若不存在，说明理由.
解：将y=ax+1代入3x2-y2=1
又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),
得(3-a2)x2-2ax-2=0,
它有两个实根，必须△>0,
∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，
∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,
∴(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,
解得a=±1.
例3、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。
问题四：切点三角形
例4、由双曲线 上的一点P与左、右
两焦点 构成 ，求 的内切圆与
边 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 构成的三角形称之为焦点三角形，其中 和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。
例5、设双曲线C： 与直线
相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
（2）设直线l与y轴的交点为P，且 求a的值。
1 .位置判定
2.弦长公式
3.中点问题
4.垂直与对称
5.设而不求(韦达定理、点差法)
小结：
拓展延伸(共17张PPT)
2.4.2抛物线的简单几何性质(2)
复习： 1、抛物线的几何性质
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
2、通径：
通过焦点且垂直对称轴的直线，
与抛物线相交于两点，连接这
两点的线段叫做抛物线的通径。
|PF|=x0+p/2
x
O
y
F
P
通径的长度：2P
P越大,开口越开阔
3、焦半径：
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。
通过焦点的直线，与抛物
线相交于两点，连接这两点的
线段叫做抛物线的焦点弦。
x
O
y
F
A
补、焦点弦：
焦点弦公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。
B
方程
图
形
范围
对称性
顶点
焦半径
焦点弦的长度
y2 = 2px
（p＞0）
y2 = -2px
（p＞0）
x2 = 2py
（p＞0）
x2 = -2py
（p＞0）
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
x∈R
y≥0
y≤0
x∈R
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
（0,0）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
例1、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。
例2、已知过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于 两点。
（1） 是否为定值？ 呢？
（2） 是否为定值？
x
O
y
F
A
B
这一结论非常奇妙,
变中有不变,动中有不动.
x
y
O
A
B
D
F
l
例3、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
x
y
O
F
A
B
D
变式题（2001年高考题）
设抛物线 的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC||x 轴，证明：直线AC经过原点O。
x
O
A
B
D
F
l
y
由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。
因为x轴垂直于AB，且 ，
例4、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。
解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22
即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,
y
x
o
A
B
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.
X1>0，X2>0，2p>0,
X1=X2.
所以
(x1,y1)
(x2,y2)
例5.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。
.
x
o
y
F
A
B
M
C
N
D
解：
1.过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，
若PF与FQ的长分别是 ( )(A)2a (B) (C)4a (D)
y
x
F
.
P
Q
2.已知A、B是抛物线 上两点，O为坐标原点，若
的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方
程是：( )
(A) (B) (C) (D)
A
B
O
F
.
y
x
C
D(共31张PPT)
2.4.1抛物线及其
标准方程
喷泉
复习回顾：
我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.
·
M
F
l
0＜e ＜1
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(1)当0(其中定点不在定直线上)
l
F
·
M
e＞1
那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？
·
F
M
l
·
e=1
如图，点 是定点， 是不经过点 的定直线。 是 上任意一点，过点 作 ，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？
提出问题：
M
F
几何画板观察
问题探究：
当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
探究？
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)
M
·
F
l
·
e=1
我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
M
·
F
l
·
e=1
在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
点F叫抛物线的焦点,
直线l 叫抛物线的准线
d 为 M 到 l 的距离
准线
焦点
d
一、抛物线的定义:
解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点 ，由抛物线定义得：
化简得：
.
M(X,y)
.
x
y
O
F
l
二、标准方程的推导
解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程为
设动点 ，由抛物线定义得
化简得：
二、标准方程的推导
l
解法三：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
两边平方,整理得
x
K
y
o
M(x,y)
F
二、标准方程的推导
依题意得
这就是所求的轨迹方程.
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是:
焦点坐标是
准线方程为:
想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？
﹒
y
x
o
方案(1)
﹒
y
x
o
方案(2)
﹒
y
x
o
方案(3)
﹒
y
x
o
方案(4)
焦点到准线的距离
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
准线方程
焦点坐标
标准方程
图 形
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
y2=2px
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
P的意义:抛物线的焦点到准线的距离
方程的特点:
(1)左边是二次式,
(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.
四．四种抛物线的对比
P66思考：
二次函数 的图像为什么是抛物线？
当a>0时与当a<0时，结论都为：
y
x
o
y=ax2+bx+c
y=ax2+c
y=ax2
例1
（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求抛物线的标准方程
（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程
（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程
焦点F ( , 0 )
3
2
准线：x =－
3
2
x 2 =－8 y
y 2 =－4 x
y 2 = x 或 x 2 = y
4
3
9
2
看图
看图
看图
课堂练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程 是x = ；
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =12x
y2 =x
y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 = 20x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
焦点坐标 准线方程
(1)
(2)
(3)
(4)
（5，0）
x=-5
（0，—）
1
8
y= - —
1
8
8
x= —
5
（- —，0）
5
8
（0，-2）
y=2
例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。
设抛物线的标准方程是 ，由已知条件
可得，点A的坐标是 ，代入方程，得
即
所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是
4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:
每一对焦点和准线对应一种形式.
3.p的几何意义是:
焦 点 到 准 线 的 距 离
（2000.全国）过抛物线 的焦点 作一条直线
交抛物线于 ， 两点，若线段 与 的长分别为 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
分析：抛物线 的标准方程为 ，其
焦点为 .
取特殊情况，即直线 平行与 轴，
则 ，如图。
故
x
y
o
l
F
（0,－2）
返回
解：（2）因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且
p
2
= 2，p = 4 ，所以所求抛物线的标准方程是 x2 =－8y .
x
y
o
l
F
X = 1
返回
解：（3）因为准线方程是 x = 1，所以 p =2 ，且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是 y2 =－4x .
返回
x
y
o
(3,2)
解：（4）因为(3，2)点在第一象限，所以抛物线的开口方向只能是向右或向上，故设抛物线的标准方程是 y2 = 2px（p>0），或 x2 = 2py（p>0），将（3，2）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为
y 2 = x 或 x 2 = y
4
3
9
2(共20张PPT)
双曲线的性质(一)
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c)
2、对称性
一、研究双曲线 的简单几何性质
1、范围
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心。
x
y
o
-a
a
(-x,-y)
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
课堂新授
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x
y
o
-b
b
-a
a
如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长
（2）
实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线
（3）
M(x,y)
4、渐近线
N(x,y’)
Q
慢慢靠近
x
y
o
a
b
（1）
（2）
利用渐近线可以较准确的
画出双曲线的草图
（3）
动画演示
5、离心率
离心率。
c>a>0
e >1
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（1）定义：
（2）e的范围：
（3）e的含义：
（4）等轴双曲线的离心率e=
( 5 )
x
y
o
-a
a
b
-b
（1）范围:
（2）对称性:
关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点:
(0,-a)、(0,a)
（4）渐近线:
（5）离心率:
小 结
或
或
关于坐标
轴和
原点
都对
称
性质
双曲线
范围
对称
性
顶点
渐近
线
离心
率
图象
例1 :求双曲线
的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c=
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
渐近线方程:
144
16
9
2
2
=
-
x
y
1
3
4
2
2
2
2
=
-
x
y
5
3
4
2
2
=
+
4
5
=
=
a
c
e
例题讲解
例2
1、若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的离心率为 。
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的交角为 。
课堂练习
例3 :求下列双曲线的标准方程：
例题讲解
法二：巧设方程,运用待定系数法.
⑴设双曲线方程为 ,
法二：设双曲线方程为
∴ 双曲线方程为
∴ ,
解之得k=4,
1、“共渐近线”的双曲线的应用
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
4. 求与椭圆
有共同焦点，渐近线方程为
的双曲线方程。
解：
椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
双曲线的渐近线方程为
解出
1
2
=
+
b
y
a
x
2
2
2
（ a＞ b ＞0）
1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
( a＞ 0 b＞0)
2
2
2
=
+
b
a
(a＞ 0 b＞0)
c
2
2
2
=
-
b
a
(a＞ b＞0)
c
椭 圆 双曲线
方程
a b c关系
图象
y
X
F1
0
F2
M
X
Y
0
F1
F2
p
小 结
渐近线
离心率
顶点
对称性
范围
准线
|x| a,|y|≤b
|x| ≥ a，y R
对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点
对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点
（-a,0) (a,0)
(0,b) (0,-b)
长轴：2a 短轴：2b
(-a,0) (a,0)
实轴：2a
虚轴：2b
e =
a
c
( 0＜e ＜1 )
a
c
e=
(e 1)
无
y =
a
b
x
±(共17张PPT)
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
复习:
练习：判断下列直线与双曲线的位置关系
相交(一个交点)
相离
2.过点P(1,1)与双曲线
只有
共有_______条.
变题:将点P(1,1)改为
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的
4
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
交点的
一个
直线
X
Y
O
（1，1）
。
3.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点
(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________
4.过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的
取值范围是
x
y
O
直线与抛物线的位置关系
一、直线与抛物线位置关系种类
x
y
O
1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）
与双曲线的情况一样
x
y
O
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离，无交点。
例：判断直线 y = x +2与
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。
x
y
O
二、判断方法探讨
2、直线与抛物线相切，交与一点。
例：判断直线 y = x +1与
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。
x
y
O
二、判断方法探讨
3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。
例：判断直线 y = 6
与抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标
x
y
O
二、判断方法探讨
例：判断直线 y = x -1与
抛物线 y2 =4x 的位置关系
计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。
4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。
三、判断位置关系方法总结(方法一)
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线相交(一个交点)
计算判别式
1、判别式大于 0，相交(2交点）
2、判别式等于 0，相切
3、判别式小于 0，相离
三、判断位置关系方法总结(方法二)
判断直线是否与抛物线的对称轴平行
不平行
直线与抛物线相交(一个交点)
计算判别式
判别式大于 0，相交
判别式等于 0，相切
判别式小于 0，相离
平行
例1 过抛物线 y2=2x的焦点做倾斜角为450的弦AB,则AB的长度是多少
答: 4
变1 已知抛物线 截直线y=x+b所得弦长为4,求b的值.
变2 已知抛物线 截直线y=kx+1所得弦长为4,求k的值.
例2 求过定点P（0，1）且与抛物线
只有一个公共点的直线的方程.
由{ 得 {
故直线 x=0与抛物线只有一个交点.
解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是
由方程组 { 消去 y 得
(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是
y=kx+1,
x=0.
故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 .
当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则
此时直线方程为
综上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或
点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。
当 k=0时，x= ,y=1.
例3 求抛物线 被点P(-1,1)平分的弦所在直线方程.
变形:求斜率为4且与抛物线 相交的平行弦的中点轨迹方程.
直线y= -1在抛物线内的部分
例4 求抛物线 上一点到直线x-2y+4=0
的距离最小值及该点坐标.(共10张PPT)
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（二）
评讲作业题巩固步骤
复习：
练习：
1、已知A(-a,0),B(a,0) 若动点M与两定点A，B构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。
2、在 中，已知顶点A(1,1),B(3,6),且 的面积等于3，求顶点C的轨迹方程。
3、（江苏，06）已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面内的动点，满足 。则动点P(x,y)的
轨迹方程为 。
思考2
例2、已知 中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲线 上移动，求 的重心轨迹方程。
例3、已知G是 的重心，A(0,-1),B(0,1),在x轴上
有一点M满足 求点C的轨迹方程。
点差法
返回
返回(共13张PPT)
直线与椭圆的位置关系
复习回顾：
1、弦长公式：
若直线AB与椭圆相交于 两点，则
例1、如图，已知椭圆 与直线x+y-1=0交
于A、B两点， AB的中点M与椭圆中心连线的
斜率是 ，试求a、b的值。
o
x
y
A
B
M
例2．
M
l
l1
x
y
F2
F1
O
注： 是椭圆上的点到焦点的距离，常把它们叫做焦半径。
引申:当点P与两焦点连线成钝角时,求P点的横坐标
的取值范围.
例3：求椭圆 上一点P,使得点P与椭圆
两焦点连线互相垂直.
法二
例4、 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，
(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.
【练习】
(a＞b＞0)上一点， 是两个焦点，半焦距
为c，则 的最大值与最小值之差一定是（ ）.
A. 1 B. C. D.
x
O
y
P
F
Q
D
B
A
(a＞b＞0)，
F为焦点，A为顶点，准线l交x轴于B，P，Q在
椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，则椭圆
（ ）
A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
D
D
２、弦长公式：
设直线 l与椭圆C 相交于A( x1 ，y1) ，B( x2，y2 )，
则 |AB|＝　 , 其中 k 是直线的斜率
１、判断直线与椭圆位置关系的方法：
解方程组消去其中一元得一元二次型方程
△< 0 相离
△= 0 相切
△> 0 相交
３、处理弦中点问题：“点差法”、“韦达定理”
小结(共15张PPT)
标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
离心率
a、b、c的关系
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
a2=b2+c2
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)
(0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴
都对称的是（ ）
A、X2=4Y B、X2+2XY+Y=0 C、X2-4Y2=X
D、9X2+Y2=4
C
D
练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为 。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为 。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为 。
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
则其离心率e=__________
(±a,0)
a
(0, ±b)
b
(-a,0)
a+c
(a,0)
a-c
6、
5、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率 。
例1 如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B距地面2384km.并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程（精确到1km).
X
O
F1
F2
A
B
X
X
Y
解：以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，AB与地球交与C,D两点。
由题意知：
|AC|=439,
|BD|=2384,
D
C
∴b≈7722.
2、2005年10月17日，神州六号载人飞船带着亿万中华儿女千万年的梦想与希望，遨游太空返回地面。其运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，设其近地点距地面m(km)，远地点距地面n(km)，地球半径R(km)，则载人飞船运行轨道的短轴长为（ ）
A. mn(km) B. 2mn(km)
D
H
d
思考上面探究问题，并回答下列问题：
探究：
（1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹
（2）给椭圆下一个新的定义
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
定义 1 图 形 定义 2
平面内与
练 习
（a>b>0）左焦点为F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径.
（a>b>0）下焦点为F1，上焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，则|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径.
说明：
P
F1
F2
X
Y
O
练习：已知椭圆 P为椭圆在第一象限内的点，它
与两焦点的连线互相垂直，求P点的坐标。
法二
定义：
注：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，
而相应的把另一个定义称为椭圆的第一定义。
定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。(共14张PPT)
焦点在y轴上,中心在原点：
焦点在x轴上,中心在原点：
椭圆的标准方程:(这两种坐标系下的方程形式,是最简的)
1
2
y
o
F
F
M
x
(1)
(2)
b2=a2— c2
c
a
b
1
2
y
o
F
F
x
1
o
F
y
x
2
F
M
其中F1(-c,0)，F2(c,0)
其中F1(0,-c)，F2(0,c)
M
知识概括
椭圆的定义
图形
标准方程
焦点坐标
a,b,c的关系
焦点位置的判断
F1(-c,0)，F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
看分母的大小,焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上.
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
例1
c
a
b
M
2答案
注:①这样设不失为一种方法.
动画演示
例3、如图，在圆　　　　　上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解:设点M坐标为M(x,y), 点P的坐标为
P(x’,y’),则
由题意可得：
因为
所以
即
这就是点M的轨迹方程，它表示一个椭圆。
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
o
x
y
P
M
D
例5：已知 是椭圆 的两个焦点，
P是椭圆上任一点。
（1）若 求 的面积。
（2）求 的最大值。(共24张PPT)
天体的运行
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？
生活中的椭圆
一.课题引入：
椭圆的画法
注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;(常记作2c)
（3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定. (常记作2a,
且2a>2c)
1 .椭圆定义：
　　平面内与两个定点　　的距离和等于常数（大于
　　）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
二.讲授新课：
思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的
椭圆较扁（　　线段）;两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（　　圆）.由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．
若2a=F1F2轨迹是什么呢？
若2a轨迹是一条线段
轨迹不存在
求动点轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）
表示曲线上任意一点M的坐标;
（2）写出适合条件 P（M） ;
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ;
（4）化方程为最简形式;
（5）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略
不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
坐标法
探讨建立平面直角坐标系的方案
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
M
O
x
y
2.求椭圆的方程：
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)
(对称、“简洁”)
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x, y)是椭圆上任意一
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正
常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是( c,0)、(c,0) .
x
F1
F2
M
0
y
（问题：下面怎样化简？）
由椭圆的定义得，限制条件：
代入坐标
两边除以 得
由椭圆定义可知
整理得
两边再平方，得
移项，再平方
叫做椭圆的标准方程。
它所表示的椭圆的焦点在x轴上，
焦点是 ，中心在坐标原点
的椭圆方程 ,其中
如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢
如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，
调换x,y轴）如图所示,焦点则变成
只要将方程中 的 调换，即可得
.
p
0
x
y
（０，a）
(0,-a)
(
a
2
2
2
)
0
b
a
1
y
b
x
2
>
>
=
+
也是椭圆的标准方程。
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式
焦点在y轴：
焦点在x轴：
3.椭圆的标准方程:
1
o
F
y
x
2
F
M
1
2
y
o
F
F
M
x
图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
定 义
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 项分母较大.
例1：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。
解：以两焦点　　　所在直线为X轴，线段 　　的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy。
则这个椭圆的标准方程为:
根据题意:2a=3,2c=2.4,
所以：b2=1.52-1.22=0.81
因此，这个椭圆的方程为：
F1
F2
x
y
0
M
待定系数法
练习1.下列方程哪些表示椭圆？
若是,则判定其焦点在何轴？
并指明 ，写出焦点坐标.

练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；
(1)a= ,b=1,焦点在x轴上；
(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
练习3. 已知椭圆的方程为： ，请填空：
(1) a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.
(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
并且CF1=2,则CF2=___.
变式： 若椭圆的方程为 ,试口答完成（1）.
5
4
3
6
(-3,0)、(3,0)
8
练习4.已知方程 表示焦点在x轴 上的椭圆，则m的取值范围是 .
(0,4)
变1：已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 .
(1,2)
变2：方程 ，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：
①表示一个圆；
②表示一个椭圆；
③表示焦点在x轴上的椭圆。
例2、过椭圆 的一个焦点 的直线与椭圆交于A、B两点，求 的周长。
y
x
o
A
B
三、回顾小结：
求椭圆标准方程的方法
一种方法：
二类方程:
三个意识：
求美意识， 求简意识，前瞻意识
已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的台球盘，点A、B是它的两个焦点，焦距是2c，椭圆上的点到A、B的距离的和为2a，当静放在A的小球（半径不计）沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点A时，求小球经过的路程。(共13张PPT)
2.1曲线和方程
—— 2.1.1曲线和方程
主要内容：
曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基本问题
重点和难点：
曲线和方程的概念
曲线和方程之间有
什么对应关系呢？
？
（1）、求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系
点的横坐标与纵坐标相等
x=y（或x-y=0）
第一、三象限角平分线
得出关系：
x-y=0
x
y
0
（1）
上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 上
曲线
条件
方程
分析特例归纳定义
满足关系：
（1）、如果
是圆上的点，那么
一定是这个方程的解
分析特例归纳定义
·
0
x
y
M
·
（2）、方程
表示如图的圆
图像上的点M与此方程 有什么关系？
的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。
（2）、如果
是方程
（3）、说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2
②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上
结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
0
x
y
2
A
分析特例归纳定义
给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足
（1）曲线上的点坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程
这条曲线C叫做这个方程的曲线
定义
f(x,y)=0
0
x
y
分析特例归纳定义
曲线的方程，方程的曲线
2、两者间的关系：点在曲线上
点的坐标适合于此曲线的方程
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点
在曲线C上的充要条件
是
分析特例归纳定义
例1判断下列结论的正误并说明理由
（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3
（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2
（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1
对
错
错
学习例题巩固定义
例2：解答下列问题，并说明理由：
（1）判断点A（-4，3），B ，C 是否在方程 所表示的曲线上。
（2）方程 所表示的曲线经过点A
B（1，1），则a= ,b= .
下列各题中，图3表示的曲线方程是所列出的方程吗？如果不是，不符合定义中的关系①还是关系②？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线，方程为(x-y)(x+y)=0;
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线，方程为x+ =0;
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到X轴，Y轴的距离乘积为1的点集，方程为y= 。
1
0
x
y
-1
1
0
x
y
-1
1
-2
2
1
0
x
y
-1
1
-2
2
1
图3
例3、如果曲线C上的点坐标(x,y)都是方程F(x,y)=0的解，那么（ ）
A、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。
B、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。
C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。
D、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线C上。
D
例4、证明与两坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的
点的轨迹方程是
例5、判断方程|x-1|+|y-1|=1所表示的曲线形状。
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤
第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.
在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，本节课正是这一思想的基础。
小结：