初中数学人教版八年级下册 18.2.2 菱形的性质 教学设计
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级下册 18.2.2 菱形的性质 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 70.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-20 14:53:45 | ||
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文档简介
《菱形的性质》教学设计
教学目标：
理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质；
能运用菱形的性质定理计算或证明，能根据菱形的性质解决简单的实际问题；
会利用对角线的长求菱形的面积。
教学重、难点：
重点：菱形性质定理的运用；
难点：菱形性质定理的理解及灵活运用。
教学准备：
教师准备：教学课件和例题；
学生准备：三角板等画图工具，复习平行四边形的定义和性质，预习本节课内容。
教学过程：
新课引入：
如图：改变平行四边形的边，使之一组邻边相等时，这又是一类特殊的平行四边形——菱形。
二、新知构建：
请一位同学给菱形一个定义：
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
数学语言表达：
四边形ABCD是菱形
让学生举出生活中菱形的例子：菱形的窗格；美丽的中国结；伸缩衣帽架等。
菱形的性质：
菱形的特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，那么它是否具有一般四边形不具有的性质呢？
学生拿出事先准备好的菱形纸片，沿对角线连续对折两次，回答以下问题：
菱形的轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴有怎样的
位置关系？
菱形有有哪些相等垢线段？相等的角？
通过活动，学生不难发现：
菱形是轴对称图形，有2条互相垂直的对称轴；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。
下面我们来一起证明同学们的发现。
求证：（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC.
又∵AB=AD,
∴AB=BC=CD=AD.
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
从而得到菱形的两个性质定理：
性质定理1：菱形的四条边都相等；
性质定理2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。
数学语言表达为：
1、菱形的四条边都相等.
∵四边形ABCD是菱形
∴AB = BC = CD =AD；
2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∵四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
要点归纳：菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质 平行四边形的性质
1.对称性：是轴对称图形. 2.边：四条边都相等. 3.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 1.角：对角相等. 2.边：对边平行且相等. 3.对角线：相互平分.
菱形面积的特殊计算方法：
想一想:
（1）菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
让学生利用菱形与平行四边形间的关系直接得到菱形的面积等于底乘以高。
（2）前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
要点归纳：菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半.
例题讲解：
例1：如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）
例2 （补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CB=CD， CA平分∠BCD．
∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，
∴ △BCE≌△COB（SAS）．
∴ ∠CBE=∠CDE．
∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE
三、随堂练习
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．
3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
四、作业设计：
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．
2．四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积
教学目标：
理解菱形的定义，掌握菱形的特殊性质；
能运用菱形的性质定理计算或证明，能根据菱形的性质解决简单的实际问题；
会利用对角线的长求菱形的面积。
教学重、难点：
重点：菱形性质定理的运用；
难点：菱形性质定理的理解及灵活运用。
教学准备：
教师准备：教学课件和例题；
学生准备：三角板等画图工具，复习平行四边形的定义和性质，预习本节课内容。
教学过程：
新课引入：
如图：改变平行四边形的边，使之一组邻边相等时，这又是一类特殊的平行四边形——菱形。
二、新知构建：
请一位同学给菱形一个定义：
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
数学语言表达：
四边形ABCD是菱形
让学生举出生活中菱形的例子：菱形的窗格；美丽的中国结；伸缩衣帽架等。
菱形的性质：
菱形的特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，那么它是否具有一般四边形不具有的性质呢？
学生拿出事先准备好的菱形纸片，沿对角线连续对折两次，回答以下问题：
菱形的轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴有怎样的
位置关系？
菱形有有哪些相等垢线段？相等的角？
通过活动，学生不难发现：
菱形是轴对称图形，有2条互相垂直的对称轴；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。
下面我们来一起证明同学们的发现。
求证：（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB = BC = CD =AD；
AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC.
又∵AB=AD,
∴AB=BC=CD=AD.
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
从而得到菱形的两个性质定理：
性质定理1：菱形的四条边都相等；
性质定理2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。
数学语言表达为：
1、菱形的四条边都相等.
∵四边形ABCD是菱形
∴AB = BC = CD =AD；
2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
∵四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
要点归纳：菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质 平行四边形的性质
1.对称性：是轴对称图形. 2.边：四条边都相等. 3.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 1.角：对角相等. 2.边：对边平行且相等. 3.对角线：相互平分.
菱形面积的特殊计算方法：
想一想:
（1）菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
让学生利用菱形与平行四边形间的关系直接得到菱形的面积等于底乘以高。
（2）前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
要点归纳：菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半.
例题讲解：
例1：如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）
例2 （补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CB=CD， CA平分∠BCD．
∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，
∴ △BCE≌△COB（SAS）．
∴ ∠CBE=∠CDE．
∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE
三、随堂练习
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．
3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
四、作业设计：
1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．
2．四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积