5.1.1 平均变化率 教案

平均变化率
一、教材分析
本节课基本内容是平均变化率的概念，平均变化率是学习导数的前奏，有助于学生了解导数概念的实际背景及几何意义：
二、教学目标
（1）通过生活实例直观感知平均变化率的实际意义。
（2）经历由实例抽象出平均变化率的过程，理解平均变化率的内涵。体会由特殊到一般的思想方法。
（3）借助信息技术演示“平均变化率”的动态变化。了解其几何意义，体会数形结合。
三、教学重难点
（1）教学重点：理解平均变化率的概念。
（2）教学难点，从数值意义和几何意义两个方面理解平均变化率的内涵。
四、教学过程
（一）创设情境
情系一:气球膨胀率
在吹气球的过程中，可发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，从数学角度，如何描述这中现象
→气球的体积v（单位：L）与半径r（单位：dm）之间的函数关系是
→用半径r表示体积V的函数，那么
当空气容积V从0增加到1L时，气球半径增加了r(1)-r(0)≈0.62(dm)（半径的变化量与体积的变化量之比表示气球的平均变化率。）
气球平均膨胀率：
类似地，当空气容量从1L增加到2L时，半径增加了r(2)-r(1)≈0.16（dm）
气球平均膨胀率：
当空气容积V从V1增加到V2时，求气球的平均膨胀率
通过图像可知，图像变化越来越huanman ，也可以说明增加越来越慢。
情景二：高台跳水的平均速度
在高台跳水中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在关系。
→
当0≤t≤0.5时，
当1≤t≤2时，
当t1≤t≤t2时，
（二）合作归纳
上述实例中
从12月23日到27日气温的平均变化率为：
气球在V1≤V≤V2的平均膨胀率为：
运动员在t1≤t≤t2的平均速度为：
把上述实例中函数关系用y=f(x)表示，能否描述当x1≤x≤x2时，f(x)的平均变化率？
设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
x2=x1+Δx （△x看作相对于x的一个“增量”，△x可正，可负）
注：
△x是一个整体符号
△x可正，可负，△y可正，可负可为0.
求平均比变化率的步骤
1.求函数值的变化量Δy＝f(x2)－f(x1)
2.求自变量的变化量Δx＝x2－x1
3.求平均变化率
（三）典例分析
例1：已知函数，求f(x)在[1,]内的平均变化率。
解：
图像：
平均变化率的几何意义：直线AB的斜率（割线AB的斜率）
例2
结论：
平均变化率的绝对值越大→图像越陡→变化越快
平均变化率的绝对值越小→图像越平缓→变化越慢
（四）课堂练习
1．已知函数 的图像上的点A（-1，-2）及邻近点B（-1+Δx，-2+Δy），则
解：
B在f(x)上
2．求y=x2在x=x0附近的平均变化率。
解：
找 附近点
五、课堂小结
平均变化率：
求平均变化率的步骤：
1.求Δy＝f(x2)－f(x1)
2.求Δx＝x2－x1
3.求比值
平均变化率的几何意义：表示函数图象上两点A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))连线（割线）的斜率
六、教学反思：
例子过于单一，无法符合所有学生的“数学现实”。曼弗赖登塔尔“数学现实”中的一个基本结论是:每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这也许和我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学现实”来进行。学生的“实际”知识有多少 学生的“数学水平”有多高 学生的“日常生活常识”有多广 这些都是教师面对的“现实”，如果我们只是简单的运用教材中的这一个事例，就未免太狭隘了。