2025年名校联盟九年级中考数学试卷（含答案）

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2025年中原名校联盟九年级中考数学试卷
一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确）(共6题；共18分)
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）据统计，到目前为止，北京市常住人口和外来人口的总和已经超过22000000人．将22000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（　　）
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．右视图
4．（3分）小聪上午8：00从家里出发，骑“共享单车”去一家超市购物，然后从这家超市原路返回家中，小聪离家的路程（米）和经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．从小聪家到超市的路程是1300米
B．小聪从家到超市的平均速度为100米/分
C．小聪在超市购物用时45分钟
D．小聪从超市返回家中的平均速度为100米/分
5．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行.若、，则的大小是（　　）
A．167° B．103° C．93° D．90°
6．（3分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．且
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）(共4题；共16分)
7．（4分）以下命题是假命题有（　　）
A．同角的余角相等
B．相等的角是对顶角
C．平行于同一条直线的两直线平行
D．同位角相等
8．（4分）如图，圆柱的底面半径为，高为1，下列关于该圆柱的结论正确的有（　　）
A．体积为π B．母线长为1
C．侧面积为 D．侧面展开图的周长为
9．（4分）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（　　）（多选题）
A．拋物线的开口向下
B．拋物线的对称轴是
C．抛物线与轴有两个交点
D．当时，关于的一元二次方程有实根
10．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M．直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是（　　）
A． B．AB＝OE
C．∠AOD＝∠BAC D．四边形AOCE为菱形
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果）(共4题；共20分)
11．（5分）请写出一个图象经过点，且随的增大而减小的一次函数的解析式：　 　．
12．（5分）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点C'的坐标为 　 　．
13．（5分）小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为　 　．
14．（5分）自然数按一定的规律排列如下：
　 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列
第 1行 1 4 9 16 25 …
第2行 2 3 8 15 24 …
第3行 5 6 7 14 23 …
第4行 10 11 12 13 22 …
第5行 17 18 19 20 21 …
　 　 　 　 　 　 　
从排列规律可知，99排在第　 　行第　 　列．
四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）(共8题；共96分)
15．（8分）（1）（4分）计算：；
（2）（4分）先化简，再求值：，其中．
16．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）（4分）△AEH≌△CFG；
（2）（4分）四边形EGFH为平行四边形．
17．（7分）如图，已知直线与双曲线交于与两点，连接．
（1）（4分）求直线与双曲线的表达式；
（2）（3分）求的面积．
18．（8分）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
（1）（4分）【数据描述】
如图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答下列问题．
①平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
②求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角α的度数．
（2）（4分）【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答下列问题．
商家 统计量
中位数 众数 平均数 方差
甲商家 a 3 3.5 1.05
乙商家 4 b 1.24
①直接写出表中a和b的值，并求的值；
②小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点．
19．（16分） 园林基地计划投资种植花卉及树木，已知种植树木的利润与投资量x成正比例关系，种植花卉的利润与投资量x的平方成正比例关系，并根据市场调查与预测，得到了表格中的数据．
投资量x（万元） 2
种植树木利润（万元） 4
种植花卉利润（万元） 2
（1）（8分）请根据表格填空：利润与投资量x的函数关系式为　 　；利润与投资量x的函数关系式为　 　；
（2）（4分）如果这个基地计划以6万元资金全部投入种植花卉和树木，设投入种植花卉的金额为m万元，种植花卉和树木共获利W万元，求出W关于m的函数关系式，并求该基地至少获得多少利润？基地能获取的最大利润是多少？
（3）（4分）若该基地想获利不低于万，在（2）的条件下，请直接写出投资种植花卉的金额m的范围．
20．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，CD．
（1）（5分）求证：DE是⊙O的切线；
（2）（5分）若CE＝1，，求⊙O的直径．
21．（14分）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量y（单位：kW h 10﹣1 m﹣2 d﹣1）和太阳能板与水平地面的夹角x°（0≤x≤90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．
（1）（4分）求y关于x的函数表达式；
（2）（4分）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？
（3）（6分）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角，CD为支撑杆．已知AB＝2m，C是AB的中点，CD⊥GD．在GD延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得EM＝4m，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆CD的长．（精确到0.1m，参考数据：，）
22．（25分）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）（6分）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝　 　．
（2）（6分）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）（6分）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
（4）（7分）【问题解决】
该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
4．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
5．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
7．【答案】B,D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
8．【答案】B,C
【知识点】圆柱的计算
9．【答案】B,C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
10．【答案】A,B,D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定；圆的综合题；尺规作图-垂直平分线
11．【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
13．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
14．【答案】2；10
【知识点】探索规律-数阵类规律
15．【答案】（1）解：原式=3-2+（-1）
=0.
（2）解：原式==
=，
∵a=2，
∴原式=.
故答案为：.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
16．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠EAH＝∠FCG，
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，
∴AH＝CG，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA）；
（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
17．【答案】（1）反比例函数的解析式是；一次函数的解析式是；
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
18．【答案】（1）解：①由题意可得，平台从甲商家抽取了12÷40%＝30个评价分值，
从乙商家抽取了3÷15%＝20个评价分值，
∴甲商家4分的评价分值个数为30﹣2﹣1﹣12﹣5＝10个，
乙商家4分的评价分值个数为20﹣1﹣3﹣3﹣4＝9个，
补全条形统计图如下：
②；
（2）①∵甲商家共有30个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，
∴，
由条形统计图可知，乙商家4分的个数最多，
∴众数b＝4，
乙商家平均数；
②小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
19．【答案】（1）；
（2）解：因为种植花卉m万元，则投入种植树木（）万元，
∴
，
∵，，
∴当时，W的最小值是10，
∵，
∴当时，W随m的增大而增大，
∵，
∴当时，W的最大值是，
答：该基地至少获得万元利润，他能获取的最大利润是18万元；
（3）解：由题意得，，
解得或4，
∵，，
∴当利润不低于万元时，m的取值范围是．
【知识点】二次函数的其他应用
20．【答案】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线.
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
即∠DAB+∠ABC+∠DBC＝90°，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠EAD+∠ADC+∠CDE＝90°，
∴∠DAB+∠ABC+∠DBC＝∠EAD+∠ADC+∠CDE，
∵∠BAD＝∠EAD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠DBC＝∠CDE，
∵∠DBC＝∠CAD，∠DCB＝∠BAD，∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDE＝∠DBC＝∠DCB＝∠BAD，
∴BD＝CD，，
在Rt△CDE中，，
∴CD＝3CE＝3×1＝3，
∴BD＝3，
在Rt△ABD中，，
∴AB＝3BD＝3×3＝9，
即⊙O的直径为9．
【知识点】切线的判定；已知正弦值求边长；圆周角定理的推论
21．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为y＝ax2+bx+c，
将（0，40），（10，45），（30，49）代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：
∵a<0， 0≤x ≤90
∴当x=30时，日平均太阳辐射量最大
故太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大.
（3），
延长NF与过点A作AH⊥GM的线交于点H，令FH＝a，
∴AH＝a，AN＝2AH＝2a，
∴，
∵HN＝HF+FN＝4+a，
∴，
∴，
∴，
延长AN交GM与J点，
∵∠AJG＝∠AGJ，
∴AJ＝AG，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
22．【答案】（1）0.785
（2）解：不能，理由如下：
对于任意的n，喷洒面积，而草坪面积始终为324m2．
因此，无论n取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接EF，
要使喷洒覆盖率ρ＝1，即要求，其中s为草坪面积，k为喷洒面积．
∴⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4都经过正方形的中心点O，
在Rt△AEF中，EF＝2r，AE＝x，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AF＝18﹣x，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
∴4r2＝x2+（18﹣x）2，
∴
∴当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，
解得：．
（4）解：由（3）可得，当⊙O1的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为，
而草坪的边长为18m，，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；圆与四边形的综合
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