8.2.3 多项式与多项式相乘 导学案 2024-2025学年沪科版七年级数学下册

8.2.3多项式与多项式相乘
【素养目标】
1.通过几何图形,探究多项式与多项式的乘法法则.
2.通过单项式与多项式乘法法则,探究多项式与多项式的乘法法则.
3.能熟练地进行多项式与多项式的乘法运算,体会整体思想,化归与转化思想.
【重点】
多项式与多项式乘法运算法则.
【自主预习】
请你把计算(a-2)(-a+1)的计算过程写出来.
1.计算(x+1)(x2-2),所得结果的一次项系数是 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.下列多项式相乘的结果为x2-4x-12的是 ( )
A.(x+3)(x-4)
B.(x+2)(x-6)
C.(x-3)(x+4)
D.(x+6)(x-2)
【参考答案】
预学思考
(a-2)(-a+1)=-a2+a+2a-2=-a2+3a-2.
自学检测
1.A　2.B
【合作探究】
多项式与多项式相乘
阅读课本本课时所有内容,思考下列问题.
1.讨论:观察课本“图8-3”,
(1)大长方形两边长分别为a+b,m+n,面积可表示为 .
(2)四个小长方形的面积分别为am,bm,an,bn,总面积可以表示为 ,结论:(a+b)·(m+n)= .
2.思考:对于多项式乘以多项式(a+b)(m+n),
(1)若把(a+b)看作一个整体,则(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n= .
(2)若把(m+n)看作一个整体,则(a+b)(m+n)=(m+n)a+ = .结论:(a+b)(m+n)= .
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的 与另一个多项式的 相乘,再把所得的积 .
1.计算(x-3)(x+m)的结果中一次项为3x,则常数m的值为 ( )
A.6 B.3
C.-3 D.-1
2.当x2+x=5时,(1-x)(2+x)的值是 ( )
A.3 B.-3
C.7 D.-7
多项式与多项式相乘的应用
例1　如图,这是变压器铁芯片的示意图,尺寸如图所示,试求变压器铁芯片的面积S(单位:cm).
变式训练　如图,现有一块长为(4a-b)m,宽为(a+2b)m的长方形地块,规划将阴影部分进行绿化,中间预留部分是边长为am的正方形.
(1)求绿化的面积S(用含a,b的代数式表示,结果需要化简).
(2)若a=3,b=2,绿化成本为20元/m2,则完成绿化共需要多少元
例2　已知整式A=2x+1,B=2x-1.
(1)化简:A-2B.
(2)若无论x为何值,A·B+k(k为常数)的值都是正数,求k的取值范围.
变式训练　关于x的代数式(ax-3)(2x+1)-2x2+m化简后不含x2项与常数项,求a与m的值.
【参考答案】
知识生成
知识点一
1.(1)(a+b)(m+n)　(2)am+bm+an+bn　am+bm+an+bn
2.(1)am+bm+an+bn　(2)(m+n)b　am+bm+an+bn　am+bm+an+bn
归纳总结
每一项　每一项　相加
对点训练
1.A　2.B
题型精讲
例1
解:S=(a+2a+2a+2a+a)×(2.5a+1.5a)-2(2a×2.5a)
=8a×4a-2×(2a×2.5a)
=32a2-10a2
=22a2(cm2).
变式训练
解:(1)由题意,得S=(4a-b)(a+2b)-a2
=4a2+8ab-ab-2b2-a2
=(3a2+7ab-2b2)m2.
(2)当a=3,b=2时,
S=3×32+7×3×2-2×22=27+42-8=61(m2),
20×61=1 220(元).
答:完成绿化共需要1 220元.
例2
解:(1)A-2B=(2x+1)-2(2x-1)=2x+1-4x+2=-2x+3.
(2)A·B+k=(2x+1)(2x-1)+k=4x2-1+k.
因为无论x为何值时,4x2≥0,
若A·B+k的值是正数,则-1+k>0,
解得k>1.
变式训练
解:(ax-3)(2x+1)-2x2+m=2ax2-6x+ax-3-2x2+m=(2a-2)x2+(a-6)x+m-3.
因为化简后不含x2的项与常数项,
所以2a-2=0,m-3=0,
所以a=1,m=3.
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