8.3 第1课时 完全平方公式 导学案（含答案） 2024-2025学年沪科版七年级数学下册

8.3第1课时 完全平方公式
【素养目标】
1.根据多项式的乘法法则,推导完全平方公式并熟记完全平方公式的结构特征.
2.经历用图形的面积验证完全平方公式的过程,体会数形结合的思想.
3.能灵活运用完全平方公式进行相关计算.
【重点】
运用完全平方公式进行计算.
【自主预习】
1.多项式与多项式是如何相乘的
2.计算:(1)(x+2)2;(2)(x-2)2.
1.计算(x+1)2的结果是 ( )
A.x2-x+1 B.x2-2x+1
C.x2-x-1 D.x2+2x+1
2.计算:(a+2b)2= ;
(x-3)2= .
【参考答案】
预学思考
1.先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
用字母表示为(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq.
2.解:(1)原式=x2+4x+4.
(2)原式=x2-4x+4.
自学检测
1.D
2.a2+4ab+4b2　x2-6x+9
【合作探究】
代数推导完全平方公式
阅读课本本课时“在进行多项式相乘时,……”至“观察”的内容,思考下列问题.
1.算一算:
(1)(a+b)2=(a+b)(a+b)= ;
(2)(a-b)2=(a-b)(a-b)= .
几何验证完全平方公式
阅读课本本课时“观察”至“例1”中的内容,解决下列问题:
1.思考: 完全平方公式的几何解释.
(1)如图,有一个边长为a的正方形广场,现要扩建该广场,要求将其边长增加b,试问这个正方形广场的面积有多大
①图中四块方形的面积分别为 ;
②若用两种方法表示广场的总面积,从整体看,边长为 的大正方形面积S= ;从部分看,四块方形的面积之和S= ,由此得到结论: .
(2)观察下列图形,由图形的面积关系得到如下一个等式:(a-b)2=　.
2.明晰概念:
完全平方公式:(a b)2=a2+2ab+b2,(a b)2=a2-2ab+b2.
(a+b)2= ;(a-b)2= .
上面两个等式称为完全平方公式.
完全平方公式用语言叙述是:两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍.
【学法指导】应用完全平方公式时,应注意整体思想的运用,公式中的a,b可以是数、单项式、多项式.
1.计算:(3x-1)2= ( )
A.6x2-6x+1 B.9x2-6x+1
C.9x2-6x-1 D.9x2+6x-1
2.计算的结果为 ( )
A.1-m2 B.1-m+m2
C.m2+1 D.1+m+m2
完全平方公式的变式与求值
例　已知(x+y)2=2,(x-y)2=1,求x2+y2的值.
·方法归纳·
(x+y)2与(x-y)2等形式的相互转化要记清:①(x-y)2+4xy= ;②x2+y2= ;③ =(x-y)2+2xy.这些转化对解综合题大有帮助.
变式训练
1.已知a-b=3,ab=10.
(1)求a2+b2的值;
(2)求(a+b)2的值.
2.现有长为a、宽为b的长方形卡片(如图1)若干张,某同学用4张卡片拼出了一个大正方形(不重叠、无缝隙,如图2).
(1)图2中,大正方形的边长是 ,阴影部分正方形的边长是 .(用含a,b的代数式表示)
(2)用两种方法表示图2中阴影部分正方形的面积(不化简),并用一个等式表示(a+b)2,(a-b)2,ab三者之间的数量关系.
(3)已知a+b=8,ab=7,求图2中阴影部分正方形的边长.
【参考答案】
知识生成
知识点一
1.(1)a2+2ab+b2　(2)a2-2ab+b2
知识点二
1.(1)①a2,ab,b2,ab　②a+b　(a+b)2　a2+2ab+b2　(a+b)2=a2+2ab+b2
(2)a2-2ab+b2
2.+　-
归纳总结
a2+2ab+b2　a2-2ab+b2
对点训练
1.B　2.B
题型精讲
例
解:由题意,得x2+2xy+y2=2,x2-2xy+y2=1,
两式相加,得2(x2+y2)=3,
所以x2+y2=.
方法归纳
①(x+y)2　②(x+y)2-2xy　③x2+y2
变式训练
解:(1)因为a-b=3,ab=10,
所以a2+b2=(a-b)2+2ab=32+2×10=29.
(2)因为a-b=3,ab=10,
所以(a+b)2=a2+b2+2ab=29+2×10=49.
2.解:(1)a+b;a-b.
(2)方法一:因为S阴影=图2中大正方形的面积-4×图1中长方形的面积,
所以S阴影=(a+b)2-4ab.
方法二:因为S阴影=图2中小正方形的面积,
所以S阴影=(a-b)2,所以(a+b)2-4ab=(a-b)2.
(3)因为a+b=8,ab=7,所以82-4×7=(a-b)2,
即(a-b)2=36.因为a-b>0,所以a-b=6,
所以阴影部分正方形的边长为6.
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