8.3 第2课时 平方差公式 导学案（含答案） 2024-2025学年沪科版七年级数学下册

8.3第2课时 平方差公式
【素养目标】
1.能用多项式乘法推导平方差公式,会用图形的面积割补验证平方差公式.
2.掌握平方差公式的结构特征,能运用平方差公式进行计算.
3.知道对复杂算式进行转化或应用整体的思想,会用乘法公式简化运算.
【重点】
理解并掌握平方差公式的运算法则.
【自主预习】
计算:(2x+1)(2x-1).
1.在下列多项式的乘法中,不能用平方差公式的是 ( )
A.(x-3)(x+3) B.(x+3)(-x-3)
C.(-x+3)(-x-3) D.(x+3)(3-x)
2.计算:(x+2y)(x-2y)= .
【参考答案】
预学思考
(2x+1)(2x-1)=(2x)2-12=4x2-1.
自学检测
1.B　2.x2-4y2
【合作探究】
平方差公式
阅读课本本课时“思考”和“例3”的内容,思考下列问题.
1.算一算:(a+b)(a-b)= + + + = .
2.思考:平方差公式的几何解释.
如图,边长为a的正方形纸板缺了一个边长为b的正方形角,经裁剪后拼成了一个长方形,你能分别表示出裁剪前后的纸板的面积吗 你能得到什么结论
(a+b)(a-b)= ,称为 公式.
平方差公式用语言叙述是两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的 差.
能将复杂的算式通过 与 思维看作(a+b)2或(a-b)2或(a+b)(a-b)的形式的,即可使用 公式,不能使用公式的部分则根据多项式的乘法法则运算.
1.选择计算(-4xy2+3xy)(4xy2+3xy)的最佳方法是 ( )
A.运用多项式乘多项式法则
B.运用平方差公式
C.运用单项式乘多项式法则
D.运用完全平方公式
2.若a4=3,则(a-1)(a+1)(a2+1)的值为 ( )
A.4 B.2 C.0 D.-2
3.已知a+b=13,b-a=5,则b2-a2= .
乘法公式的综合应用
阅读课本本课时“例4”和“例5”的内容,思考下列问题.
计算:(2y-x-3z)(-x-2y-3z).
此题从表面上看不能用平方差公式,仔细观察,此题有三个特点:(1)两因式的 相同;(2)两式中多项式的 相同;(3)两式中相同字母的系数 或 .因此可以进行灵活组合转化为平方差公式的结构.
1.化简“(m-2n)2-(m+2n)(m-2n)”的结果是 ( )
A.8n2-4mn B.-4mn
C.3n2-2mn D.2m2-2mn+3n2
2.已知代数式b(a-4b)-(a+2b)(a-2b).
(1)化简这个代数式.
(2)若a2-2ab+b2=0,求原代数式的值.
平方差公式的几何意义及应用
例　(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 .(写成平方差的形式)
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,它的宽是 ,长是 ,面积是 .(写成多项式乘法的形式)
(3)比较图1、图2阴影部分的面积,可以得到公式 .
(4)计算:2 0232-2 021×2 025.
变式训练　如图1,边长为a的大正方形四个角各有一个边长为b的小正方形(a>2b).
(1)请你计算图1中阴影部分的面积.
(2)小明将阴影部分拼成了一个长方形,如图2,这个长方形的长与宽分别是多少 面积是多少(写成两式乘积的形式)
【参考答案】
知识生成
知识点一
1.a2　ab　(-ab)　(-b2)　a2-b2
2.裁剪前纸板的面积为a2-b2,裁剪后拼成的长方形纸板的面积为(a+b)(a-b),得到的结论是(a+b)(a-b)=a2-b2.
揭示概念
a2-b2　平方差　平方
归纳总结
转化　整体　乘法
对点训练
1.B　2.B　3.65
知识点二
解:原式=[(-x-3z)+2y][(-x-3z)-2y]
=(-x-3z)2-(2y)2
=x2+6xz+9z2-4y2.
归纳总结
(1)项数　(2)字母　(3)相同　互为相反数
对点训练
1.A
2.解:(1)b(a-4b)-(a+2b)(a-2b)=ab-4b2-(a2-4b2)=ab-4b2-a2+4b2=ab-a2.
(2)因为a2-2ab+b2=0,
所以(a-b)2=0,即a=b,
所以原式=a2-a2=0.
题型精讲
例　解:(1)a2-b2.
(2)(a-b);(a+b);(a+b)(a-b).
(3)(a+b)(a-b)=a2-b2.
(4)原式=2 0232-(2 023-2)(2 023+2)=2 0232-2 0232+4=4.
变式训练
解:(1)图1中阴影部分的面积为a2-4b2.
(2)图2中长方形的长是a+2b,宽是a-2b,面积是(a+2b)(a-2b).
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