8.4.1 因式分解的意义 导学案（含答案）2024-2025学年沪科版七年级数学下册

8.4.1因式分解的意义
【素养目标】
1.类比因数分解,理解因式分解的意义.
2.知道因式分解与整式乘法的区别与联系.
3.了解因式分解的作用,体会数与式的转化.
【重点】
因式分解与整式乘法的互逆关系.
【自主预习】
下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是 ( )
A.x2+2x-1=x(x+2)-1
B.x2-4y2=(x-2y)(x+2y)
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.ax2-a=a(x2-1)
下列等式从左到右的变形中,属于因式分解的是 ( )
A.(m+n)(m-n)=m2-n2
B.m2+2m+1=(m+1)2
C.m2+2m-1=m(m+2)-1
D.m(m-2)=m2-2m
【参考答案】
预学思考
B
自学检测
B
【合作探究】
因式分解的意义
阅读课本本课时的所有内容,思考下列问题.
1.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解,哪些不是,为什么
(1)5a2bc=5a·abc;
(2)-1=+1-1;
(3)x2+x-1=x(x+1)-1;
(4)4x2-6x=x(4x-6);
(5)2mn-2my=2m(n-y);
(6)a2+4ab+b2=(a+2b)2.
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫作因式分解,也叫作把这个多项式分解因式.
因式分解的实质是多项式的恒等变形,与整式乘法的过程恰好 .
【学法指导】整式乘法是“积化和差”,而因式分解是“和差化积”,利用这种互逆关系可以检验因式分解结果是否正确.
2.讨论:因式分解应注意哪些细节 具体需要掌握哪些内容
1.下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.a(x-y)=ax-ay
B.x+2=x1+
C.x2+3x+2=x(x+3)+2
D.x3-x=x(x+1)(x-1)
2.将多项式x2+mx+6因式分解,得到(x-2)·(x-3),则m= .
3.下列对多项式的变形,哪些是因式分解 是因式分解的,指出它的各因式.
(1)x2-x=x(x-1);
(2)10x+5y=5(2x+y);
(3)a2-1=(a+1)(a-1);
(4)x2-2x+1=(x-1)2.
因式分解与整式乘法的关系
例1　判断下列等式从左到右变形,哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1)-xy(x-1)=-x2y-xy;
(2)x2-25=(x+5)(x-5);
(3)(a+b)2=a2+2ab+b2;
(4)a2+2ab+b2=(a+b)2.
变式训练　下列各式中,哪些是整式乘法 哪些是因式分解 (填在横线上)
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) ;
(2)2x(x-3y)=2x2-6xy ;
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1 ;
(4)x2+4x+4=(x+2)2 .
例2　若分解因式得x2+mx-15=(x+3)(x+n),则m+n的值是多少
变式训练　x2+3x+c分解因式得x2+3x+c=(x+1)(x+2),则c的值为 ( )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
【参考答案】
知识生成
1.解:(1)不是,因为5a2bc不是多项式.
(2)不是,因为-1不是整式.
(3)不是,因为结果x(x+1)-1不是积的形式.
(4)不是,因为分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数应是1.
(5)是.
(6)不是,分解因式是恒等变形,左右两边必须相等.
归纳总结　相反
2.(1)分解因式的对象必须是多项式;(2)分解因式的结果是积的形式;(3)分解因式的结果中每个因式都必须是整式且不能再分解;(4)分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数是1,如4(2a+2b)应将系数2提出来.
对点训练
1.D　2.-5
2.解:(1)(2)(3)(4)都是因式分解,各因式分别是(1)x,x-1;(2)5,2x+y;(3)a+1,a-1;(4)x-1,x-1.
题型精讲
例1　解:(1)和(3)是整式乘法,(2)(4)是因式分解.
变式训练
(1)因式分解　(2)整式乘法　(3)整式乘法　(4)因式分解
例2
解:因为(x+3)(x+n)=x2+(n+3)x+3n,
所以解得
所以m+n=-7.
变式训练　A
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